高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后测评，共30页。试卷主要包含了柱、锥、台和球的侧面积和体积，等积法等内容，欢迎下载使用。
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
[难点正本 疑点清源]
1．几何体的侧面积和全面积
几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．
2．等积法
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？
（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
举一反三
1．已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．
2．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分)
题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
(1)求正四棱锥P - ABCD的体积；
(2)求正四棱锥P - ABCD的表面积.
举一反三
1．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.
2．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
题型三：圆柱、圆锥、圆台台的侧面积与表面积
例3已知某圆柱底面半径和母线长都是.
(1)求出该圆柱的表面积和体积；
(2)若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.
举一反三
1．在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，求圆柱的表面积．
2．圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)
题型四：圆柱、圆锥、圆台台的体积
例41．如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的体积．
13．设圆台的高为3，在轴截面中母线与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积及体积.
举一反三
1．某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？为什么？
题型五：球的体积与表面积
例51．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积（其中）及其体积．
举一反三
1．有一种空心钢球，质量为，测得外径为，求它的内径（钢的密度为，结果精确到）．
2．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．
巩固提升
一、单选题
1．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）
A．8πB．4πC．8D．4
2．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为（ ）
A．B．C．8D．12
3．若一个正方体的全面积是72，则它的对角线长为（ ）
A．B．12C．D．6
4．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥的侧面积为
8．在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比不可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是_____.
10．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式（其中L，N，M，h分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为．类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为，若用距离球心O都为2cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为______．
四、解答题
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及委米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有多少斛．
12．如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2)
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝eq \f(1,2)Ch′
V＝eq \f(1,3)Sh
正棱台
S侧＝eq \f(1,2)(C＋C′)h′
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S球面＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
8.3简单几何体的表面积与体积（讲义+例题+小练）
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
[难点正本 疑点清源]
1．几何体的侧面积和全面积
几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．
2．等积法
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
题型一：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1（1）．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？
【答案】3.4
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．
【详解】
如图，连接SE：
表示塔的顶点，表示底面的中心，则是高，设是斜高，
在中，根据勾股定理得，
所以，
答：制造这种塔顶需要铁板约．
（2）．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【答案】(1)；
(2)侧面积；表面积.
【解析】
【分析】
（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比；
（2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积.
(1)
设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
(2)
因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
举一反三
1．已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．
【答案】.
【解析】
【分析】
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．即可得出四面体的表面积．
【详解】
如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．
四面体的表面积为．
2．底面是菱形的直四棱柱中，体对角线长分别为9和15，高是5，求该直四楼柱的侧面积.(本题需自己作图并指明长度，无图不得分)
【答案】
【解析】
【分析】
设题中直四棱柱为，作出图形，设底面对角线，其交点为，由题意知，根据题意求出底面菱形的边长，进而可以求出侧面积.
【详解】
设题中直四棱柱为，如图所示，设底面对角线，其交点为，由题意知,
所以，
所以.
因为底面是菱形，所以,
所以，
即,
所以该直四棱柱的侧面积为.
题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图为正四棱锥P - ABCD，PO⊥平面ABCD，BC = 3，PO = 2.
(1)求正四棱锥P - ABCD的体积；
(2)求正四棱锥P - ABCD的表面积.
【答案】(1)6；
(2)24.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合锥体体积公式，即可求解；
（2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解.
(1)
根据题意，得.
(2)
如图所示，作的中点，连接，，
则，
故正四棱锥P - ABCD的表面积.
举一反三
1．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.
【答案】96
【解析】
【分析】
在上取点，在上取点，使得，连接，则几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，分别求出三棱柱和四棱锥的体积，即可得出答案.
【详解】
解：在上取点，在上取点，使得，连接，
则几何体为直三棱柱，
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，
，，
则多面体是四棱锥，高为8，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.
2．某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？
【答案】 L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,
当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
题型三：圆柱、圆锥、圆台台的侧面积与表面积
例3已知某圆柱底面半径和母线长都是.
(1)求出该圆柱的表面积和体积；
(2)若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）、根据圆柱的表面积和体积公式计算即可；
（2）、先求出圆锥母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可.
(1)
圆柱底面半径和母线长都是,
；；
(2)
由题意可知圆锥底面半径､高为，
圆锥母线长为
.
举一反三
1．在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，求圆柱的表面积．
【答案】
【解析】
【分析】
根据底面积之比可得半径之比，进一步得到母线长与圆锥的高之比，最后根据圆柱表面积公式计算即可.
【详解】
因为圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，
所以圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为1∶2，
所以圆柱的母线长与圆锥的高之比为1∶2，
所以圆柱的底面半径为1，母线长为．
所以圆柱的表面积
2．圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)
【答案】表面积为1100πcm2.
【解析】
【分析】
计算得到，，，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.
【详解】
如图，设圆台的上底面周长为c.
因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA＝2π×10，故SA＝20.
同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，
因此S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋＋＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1100π(cm2).
故圆台的表面积为1100πcm2.
题型四：圆柱、圆锥、圆台台的体积
例41．如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的体积．
【答案】（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的体积．
【解析】
【分析】
（1）根据圆锥的母线长和结构特征求出圆锥的高和底面半径，即可求出侧面积；
（2）根据圆锥体积公式可求.
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，，
∴，即圆锥的高h=1，圆锥的底面半径r=1．
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的体积．
13．设圆台的高为3，在轴截面中母线与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积及体积.
【答案】侧面积为，体积为.
【解析】
【分析】
根据条件求出圆台的上下底面半径和母线长，然后用公式求面积和体积.
【详解】
如图：作出轴截面，设上下底面半径，母线长分别为，作与，
则，
，
所以圆台的侧面积
圆台的体积
圆台的侧面积为，体积为.
举一反三
1．某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？为什么？
【答案】(1)方案一：(m3)；方案二：96π(m3).
(2)方案一：S1= 32π(m2) ；方案二：S2= 60π(m2).
(3)方案二比方案一更加经济，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）按照圆锥体积公式S·h求得两种方案的仓库体积即可；
（2）分别求得两种方案的母线长，从而根据半径等求得表面积；
（3）比较两种方案的体积大小及表面积大小，判断经济性.
(1)
若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积为V1=S·h=×π××4=(m3).
若按方案二，仓库的高变成8 m，
则仓库的体积为V2=S·h=×π××8=96π(m3).
(2)
若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m.
圆锥的母线长为l1==4(m)，
则仓库的表面积为S1=π×8×4=32π(m2).
若按方案二，仓库的高变成8 m.
圆锥的母线长为l2==10(m)，
则仓库的表面积为S2=π×6×10=60π(m2).
(3)
由（1）、（2）知，V1