福建省南平市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

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数学试题
(考试时间: 120分钟 满分: 150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号。考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷 (选择题部分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z=52-i, 则z在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中 ∠x'O'y'=45∘,O'B'=O'C'=1,O'A'=32,
则△ABC中, AC=
A. 2 B. 7
C. 3 D. 4
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则
A. A与C对立 B. B与C不互斥
C. A与B互斥 D. B与C对立
4. 已知向量a=(1,1), b=(0,t), 若a⊥(a+2b), 则b=
A.22 B. l C. 2 D. 2
5.已知α， β为两个不重合的平面，l， m为两条不同的直线，
A. 若l∥m, m∥α, 则l∥α B. 若l⊥m, m⊥α, 则l∥α
C. 若α∩β=m, l∥m, 则l∥α D. 若l⊂β, β∥α, 则l∥α
6、在△ABC中, BD=2DC, 点E是线段AD的中点，则 BE=
A.-23AB+16AC B.-56AB+13AC
C.56AB+13AC D.16AB+13AC
7.如图，在某座山的山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A向上走了600米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ=
A. 300米 B.3002米
C.3003米 D.3006米
8.在正四棱台. ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AB=4,A1B1=2,AA1=3,若球O与上底面A₁B₁C₁D₁以及棱AB, BC, CD, DA均相切, 则球O的体积为 A.1216π B.412π C. 25π D.1256π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则
A. 频率分布直方图中a的值为0.08
B. 这100名学生中体重不低于55kg的人数为60
C. 这100名学生体重的第80百分位数为65
D.这100名学生体重的众数小于平均数
10. 已知△ABC的三个内角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,
A. 若sinA>sinB, 则A>B
B. 若△ABC是边长为2的正三角形，则 AB⋅BC=2
C. 若acsA=bcsB, 则△ABC是等腰三角形
D. 若 a=3,BC的中线AD长为1, 则bc的最大值为74
11. 如图, 圆锥的顶点为S, 底面圆心为O, AB为底面直径, AB=12, SA=12,N是底面圆周上一点， ∠AON=23π, M是线段SA上的动点，则
A. 圆锥SO的体积为 2163π
B.当M是SA的中点时，线段MN在圆锥底面上的射影长为 37
C. 存在点M, 使得MN⊥SA
D.直线MN与平面SAB所成角的正切值的最大值为 23
第II卷 (非选择题部分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量a=(-3,4), b=(2,2), 则a在b上的投影向量的坐标是 .
13.从长度为1，3， 5， 7， 9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是 .
14.如图，在棱长为6的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中, M, N分别为棱A₁D₁, C₁D₁的中点, 则过M, N, B三点的平面截此正方体所得截面的周长是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知复数：z=a+bi(a,b∈R, a>0), (2+i)z为纯虚数, 且 |z|=5.
(1) 求复数z;
(2)若复数z是关于x的方程. x²+mx+n=0的一个根，求实数m， n的值.
16. (15分)
现有3个北方城市A₁, A₂, A₃和3个南方城市B₁, B₂, B₃, 旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游.
(1)求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；
(2)若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为 13，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率.
17. (15分)
已知 △ABC 的三个 内 角 A , B , C 所对应 的边 分 别为 a , b , c , 且 acsB+3asinB-c-b=0.
(1) 求A;
(2) 若 a=3,且△ABC的面积为 3164b2+c2, 求△ABC的周长.
18. (17分)
如图, 在正方形ABCD中, 点E, F分别是AB, CD的中点. 现将 △ADE沿DE折起,得到四棱锥A-BCDE.
(1) 证明: BF∥平面 ADE;
(2) 当△ACD为等边三角形时, 证明: 平面AEF⊥平面BCDE ;
(3) 在(2) 的条件下, 求二面角A-DE-C的余弦值.
19. (17 分)
某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据：
记抽取的第i个女生的身高为. xii=123⋯10,样本平均数 x=160,方差 s2=110∑xi=110xi-x2=110∑xi=110xi2-10x-2=15.
参考数据： 15≈3.9,1592=25281,1692=28561.
(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在[160，165]范围内的人数；
(2)如果女生样本数据在 x-2sx+2s之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
(3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求μ, σ的值.抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163