(含解析)上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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2024.06
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．双曲线的渐近线方程 ．
2．已知是第四象限角，，则 ；
3．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 .
4．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是 ．
5．已知向量满足，且的夹角为，则 ．
6．若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
7．已知中，，则 ．
8．已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 .
9．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ．
10．已知函数，若，，使得，则正数的最小值为 .
11．设，P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为 .
12．如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）.
A．B．
C．D．
14．若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（ ）.
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线的一支
15．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为1，则（ ）.
A．0B．
C．D．
16．在圆锥曲线中，我们将焦距与长轴长的比值称为离心率，已知椭圆与x轴正半轴交于点A，若该椭圆上总存在点P（异于A），使（O为坐标原点），则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（共有5大题，满分78分）
17．已知关于的实系数一元二次方程的两根为.
(1)若为虚数，，且，求和的值；
(2)若，求的值.
18．在平行四边形中，是的中点，交于点．
(1)若，求实数与的值；
(2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．
19．某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设；
(1)求，（用表示）；
(2)当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值.
20．已知双曲线中，离心率为，且经过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
(3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.
(1)当面积最大时，求椭圆的方程；
(2)当时，若是线段的中点，求直线的方程；
(3)当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
1．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为y=±
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
2．
【分析】：由同角三角关系求解
【详解】：，设，由同角三角关系可得．
【点睛】：三角正余弦值的定义为，．
3．
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】由直线与直线互相平行，得，
则直线与直线的距离为：.
故答案为：
4．2
【分析】由，及，对应的复数，再根据复数的模即可求解．
【详解】因为，
所以对应的复数是，则，
故答案为：2．
5．
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由题意，向量满足且的夹角，可得，
则，所以.
故答案为：.
6．
【分析】利用投影向量的计算公式得到答案.
【详解】向量，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：
．.
故答案为：
7．
【分析】由余弦定理求出，由同角三角函数的平方关系求出，最后由三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理可得：，
解得：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
8．8
【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值．
【详解】由题意抛物线的准线的方程是，
过作于，则，所以
当且仅当三点共线时，取得最小值，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
9．
【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可.
【详解】由题意所在的直线方程为：，即.
将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为1，
由圆的几何性质可得．
故答案为：.
10．
【分析】根据正弦函数的有界性可得函数在上能取到最大值和最小值，从而利用正弦函数性质得，求解即可.
【详解】若，，使得，则，或，
即函数在上能取到最大值和最小值，
因为，所以，所以，所以，
即正数的最小值为.
故答案为：
11．##
【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.
【详解】
由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为，
因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行，
则两直线之间的距离即为的最大值，此时.
故答案为：
12．
【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解.
【详解】由函数的图象，不妨令，则，所以，
设，，
因为，可得，解得，
所以
，所以，
又由图可知，所以.
故答案为：.
13．D
【分析】根据题意得到，即可求解.
【详解】由题意，角和的终边关于y轴对称，
则.
故选：D.
14．B
【分析】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论.
【详解】设，
由，得，
整理得，
所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆.
故选：B
15．D
【分析】通过作辅助线，将相关向量线性表示出来，再利用数量积定义式和运算律计算即得.
【详解】
如图，连接，延长交于点，延长交于点.
则由题意和图形的对称性，可知，
且，，
由题意可知，
.
故选：D.
16．B
【分析】设，利用可得关于的方程，再结合该点在椭圆上可得，利用可求离心率的范围.
【详解】由椭圆方程可得，
设，则，
因为，故，故，
又，故，整理得到：，
因为当时，，故方程有一个解为.
所以此方程的另一个解为，故的横坐标为，
所以，即即，所以，
故选：B.
【点睛】方法点睛：椭圆离心率的范围计算，一般利用题设条件构建关于的不等式关系，构建时常依据坐标的范围、几何量的范围等.
17．(1)，
(2)或.
【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解；
（2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果.
【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，
可得，即，
设，由，解得，
所以，；
（2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为，
①若方程有两个实根，则，可得，且，
则，解得；
②若方程有两个虚根，则，可得，
设，不妨设，可得，解得，
所以.
综上可得，实数的值为或.
法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为，
则，
，
解得或.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）以为基底可表示出，再以为基底表示出，进而得到的值；
（2）设，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合的范围可得结果.
【详解】（1）
，，；
，，，
，
，.
（2）

设，则，
，
，，即的取值范围为.
19．(1)，
(2)三角形绿地的最大面积是平方米，此时
【分析】（1）利用锐角三角函数表示出、；
（2）依题意可得，则，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.
【详解】（1）在中，，，
∴（米），
又，所以，
在中，可得（米）.
（2）由题可知，
∴的面积
，
又，，
∴当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米，此时.
20．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；
（3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点，
则，解得，所以，双曲线的方程为.
（2）解：设直线交双曲线于点、，
联立可得，
因为直线与双曲线左支有两个交点，则，
解得，故实数的取值范围是.
（3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设点、，因为为线段的中点，则，
将点、的坐标代入双曲线的方程可得，
作差可得，即，
即，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，则，
因此，不存在满足题设条件的直线.
21．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据椭圆的性质及三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解；
（2）根据已知条件及两点的斜率公式，利用直线的点斜式及中点坐标公式即可求解；
（3）利用（2）的结论及向量的数量积的坐标表示，结合点在椭圆上即可求解.
【详解】（1）由题意得，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，此时面积最大，
故椭圆方程为.
（2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为，
因而,直线的方程为,
所以,
同理,
由,解得
所以直线的方程为,即.
（3）设，由（2）得
将代入上式，得
若定值，则必有.
把代入得，
所以存在点使得为定值.