湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,则( )
A.1B.C.D.
2．某校高一学生550人,高二学生500人,高三学生450人,现有分层抽样,在高三抽取了18人,则高二应抽取的人数为( )
A.24B.22C.20D.18
3．已知向量,满足,且,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．已知,,是三个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,则( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,且,则
5．下表是足球世界杯连续八届的进球总数
则进球总数的第一四分位数是( )
A.145B.146C.147D.166
6．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面体两次,并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”,事件为“两次记录的数字和大于4”,事件C为“第一次记录的数字为奇数”,事件D为“第二次记录的数字为偶数”,则( )
A.A与D互斥B.C与D对立
C.A与B相互独立D.A与C相互独立
7．点O,G,P为所在平面内的点,且有,,,则点O,G,P分别为的( )
A.垂心,重心,外心B.垂心,重心,内心
C.外心,重心,垂心D.外心,垂心,重心
8．在三棱锥中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：
则下列结论正确的为( )
A.平均数为48B.极差为9
C.中位数为47D.第75百分位数为51
10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若.则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
11．如图,在正方体中,,点P为线段上的一动点,则( )
A.三棱锥的体积为定值
B.当时,直线与面所成角的正切值为
C.直线PB与直线AC所成角的余弦值可能为
D.的最小值为
三、填空题
12．已知向量,,若,则实数__________.
13．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如,在不超过11的素数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率是________(用分数表示).
14．《九章算术・商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马如图平面点E,F分别在线段AB,BC上,则当空间四边形PEFD的周长最小时,直线PA与平面PFD所成角的正切值为_________.
四、解答题
15．已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.
16．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点P，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.
17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况,对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位:小时),得到样本数据,并绘制如图3所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间;(每组数据用该组的区间中点值作代表)
(3)将(2)所得到的日平均阅读时间保留为整数,并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差.
18．如图所示,长方形ABCD中,,,点M是边CD的中点,将沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图的四棱锥.
（1）求四棱锥的体积的最大值;
（2）若棱PB的中点为N,求CN的长;
19．若函数在时,函数值y的取值区间恰为,就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数,当时,.
（1）求的解析式;
（2）求函数在内的“倒域区间”;
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
参考答案
1．答案：D
解析：,
所以
故选:D.
2．答案：C
解析：设高二应抽取的人数为人,则,解得人.
故选：C.
3．答案：C
解析:因为,且,所以在上的投影向量,
,
故选:C.
4．答案：B
解析：
对于A:若,,则或m与n相交或m与n异面,故A错误;
对于B:根据面面平行的性质定理可知,若,且,,则,故B正确;
对于C:若,,则,又,则或m与l相交或m与l异面,故C错误;
对于D:若,且,则或,故D错误.
故选:B
5．答案：B
解析：将八届进球总数按照从小到大的顺序重新排列为：141,145,147,161,169,171,172,
由可得,
第一四分位数应该是第二个数和第三个数的平均数,
即,所以进球总数的第一四分位数是146.
故选：B.
6．答案：D
解析：连续抛掷这个正四面体两次,基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,.
其中事件A包括:,,,,,,,.
事件B包括:,,,,,,,,,.
事件C包括:,,,,,,,.
事件D包括:,,,,,,,.
对于A:因为事件A与D有相同的基本事件,,,,,故A与D互斥不成立.故A错误;
对于B:因为事件C与D有相同的基本事件,,,,,故C与对立不成立.故B错误;
对于C:因为,,而.因为,所以A与B不是相互独立.故C错误;
对于D:因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响,且,所以A与C相互独立.故D正确.
故选:D
7．答案：A
解析:由,得,
即,
则,
得
所以,则,同理可得,,
即O是三边上高的交点,则O为的垂心;
由,得,
设AB的中点为M,则,即G,M,C三点共线,
所以G在的中线CM上,同理可得G在的其余两边的中线上,
即G是三边中线的交点,故G为的重心;
由,得,即,
又M是AB的中点,所以P在AB的垂直平分线上,
同理可得,P在,AC垂直平分线上,
即P是三边垂直平分线的交点,故P是的外心,
故选:A
8．答案：A
解析：在中,,
即,又,
为等边三角形
根据题意,有如下示意图:
如图,设的外接圆的圆心为,
连接,,,连接PH.
由题意可得,且,.
由上知:且,又,
,由,平面ABC.
设O为三棱锥外接球的球心,连接,OP,OC过O作,垂足为D,则外接球的半径R满足,,,代入解得,即有,
三棱锥外接球的表面积为.
故选:A.
9．答案：BC
解析：对于A项，平均数为，故A项错误；
对于B项，极差为，故B项正确；
对于C项，这组数从小到大排序为：43、45、45、46、47、47、48、49、51、52，
所以中位数为47.故C项正确；
对于D项，因为，所以第75百分位数为49.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：由，得
，即
得，又，故，
∴，即所以A正确；
，所以B错误；
，所以C正确；
由，可知
得解得：，，故，所以D正确．
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：由题意得P到平面的距离为定值2,所以,A正确.
如图1,当,即P为的中点时,取的中点Q,连接PQ,,易证平面,所以直线与平面所成的角为,得,B错误.
延长DA到点E,使得,连接PE,BE,易证,所以直线PB与直线AC所成的角为,
易得,,则,因为,
所以,C正确.易知,则,
将平面和平面沿着展开得到的矩形如图2所示,
连接,则.
12．答案：
解析：因为向量,,
所以,,
又,
所以,
解得,
故答案为:.
13．答案：/
解析：因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数,
从中选取两个不同的数的基本事件有,,,,,,,,,共10件;
其中和为偶数的基本事件有,,,,,共6件;
所以和为偶数的概率为.
故答案为:.
14．答案：
解析：把平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面的的位置,如图1,延长DC到,使得,连接则因为PD的长度为定值,所以要使空间四边形PEFD的周长最小,只需使是小,即四点共线,此时,在图2中,过点A作的延长线于点G,连接PG,易得平面PAG,因为平面PFD,所以平面平面PFD,过A作于点H,易得平面PFD,故即直线PA与平面PFD所成的角.如图1,因为所以所以,所以所以在中,.
15．答案：（1）单调增区间为，；；
（2）.
解析：（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以.
16．答案：(1)证明见讲解；
(2)当点P为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解.
解析：（1）过点B作，垂足为D，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又,平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当点P为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：
过点P作，交于点Q，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
设点P到平面的距离为h，
则，
所以，即到平面的距离为1，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以Q到平面的距离为1，即，
故为中点，所以P为中点时，四棱锥的体积为.
17．答案：(1)0.01
(2)9.16
(3)13.28
解析：(1)由概率和为1得:,解得.
(2)由题意知,为全校师生日平均阅读时间,则
,
所以全校师生日平均阅读时间为(小时).
(3)将保留整数则,由题意知:
所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）取AM的中点G,连接PG,
因为,则,
当平面⊥平面ABCM时,P点到平面ABCM的距离最大,
四棱锥的体积取得最大值,
此时PG⊥平面ABCM,且,
底面ABCM为梯形,面积为,
则四棱锥的体积最大值为
（2）取AP中点Q,连接NQ,MQ,
则因为N为PB中点,所以NQ为的中位线,
所以且,
因为M为CD的中点,四边形ABCD为矩形,
所以且,
所以且,
故四边形CNQM为平行四边形,
所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）和
解析：（1）当时,则,
由奇函数的定义可得,
所以,..
（2）设,因为函数在上递减,且在上的值域为,
所以,,解得,
所以,函数在内的“倒域区间”为.
（3）在时,函数值的取值区间恰为,
其中且,,所以,,则,
只考虑或,
①当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,
故当时,,则,所以,,所以,,
由（2）知在内的“倒域区间”为;
②当时,在上单调递减,在上单调递增,
故当时,,所以,,所以,.
,
因为在上单调递减,则,解得,
所以,在内的“倒域区间”为.
综上所述,函数在定义域内的“倒域区间”为和.
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172