江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数的虚部为( )
A.2B.C.-1D.
2．( )
A.B.C.D.
3．已知非零向量a，b，c，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．把函数的图象按向量平移后,得到新图象的解析式为( )
A.B.
C.D.
5．在中,D为的中点,E为的中点,设,,则( )
A.B.C.D.
6．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,,则的面积为( )
A.B.C.或D.
7．如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部,把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上,得到的曲线对应的方程为（,）（x,y的单位：）,若该游客整个运动过程中相位的变化量为,则的值为( )
A.B.C.D.
8．锐角的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若向量,,满足,,则
B.240°化成弧度数为
C.若向量,满足,,,则
D.在4:30时刻,时针与分针所夹的锐角为,则
10．已知复数,,则( )
A. B.在复平面内对应的点位于第一象限
C.D.为纯虚数
11．在棱长为2的正方体中,M为的中点,则下列说法正确的有( )
A.若点O为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为
B.若点N为线段上的动点（含端点）,则的最小值为
C.若点P为线段的中点,则平面与正方形的交线长为
D.若点Q在正方形内（含边界）,且,则Q的轨迹长度为
三、填空题
12．若圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的高为____________.
13．如图,莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史,该古树枝繁叶茂,以优美的形状挺立在文塘村,几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度,在古树旁水平地面上共线的三点A,B,C处测得古树顶点P的仰角分别为45°,45°,30°,若米,则该古树的高度为___________米.
四、双空题
14．已知函数（,）的图象如图所示,则__________;上两点的横坐标分别为,,则______________.
五、解答题
15．在平面四边形中,,,,.
（1）求的值;
（2）若,求.
16．如图,在直三棱柱中,,,,D是的中点.
（1）求证：平面;
（2）求二面角的余弦值.
17．已知函数（,）在区间上单调递增,,且________.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上,再解答.
①;
②,在区间上至少有2个零点.
（1）求函数的解析式;
（2）对任意的,恒成立,求实数m的取值范围.
18．如图,某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景,计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（C,D在上,E,F在半圆上,O为圆心）,已知全长.
（1）求枫叶林面积的最大值;
（2）为方便游客休憩打卡,计划在的另一侧修建观景木质栈道,已知段每米的造价为a元,段每米的造价是段的两倍,,求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用a表示）.
19．设有维向量,,称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合.
（1）若,存在,使得,写出所有满足条件的;
（2）令,若,证明：为偶数;
（3）若表示能从中选出向量的个数的最大值,且满足选出的向量互相之间的内积均为0,猜测的值,并给出一个实例.
参考答案
1．答案：A
解析：,
复数的虚部为2.
故选：A.
2．答案：D
解析：
3．答案：B
解析：由，得，所以或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
4．答案：A
解析：
5．答案：D
解析：因为E为的中点,则,
因为D为的中点,则,
所以,
故选：D.
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：由旋转滑梯高为知,投影到轴截面上后,游客对应在横轴上移动的距离是,当时,初相为,且游客一直滑到底部,则最后的相位为,故整个运动过程中,相位的变化量为,解得.
8．答案：C
解析：由题知,,
当且仅当时取等号;又因为三角形是锐角三角形,所以,
即,解得,即,
又,设,,,
因为在上单调递减,在上单调递增,
且,所以的取值范围为.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：28
解析：
14．答案：3,.
解析：
15．答案：（1）
（2）5
解析：（1）在中,由正弦定理得,
代入数值并解得,
又因为,所以,即为锐角,
所以;
（2）在中,由余弦定理得,
,
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接交于点O,则O是中点,连接,
因为D是的中点,所以,
又平面,平面,
故平面;
（2）由题知,,
因为平面,平面,所以,
,所以平面,
平面,故,即是二面角的平面角,
在中,,,则,
在中,,则,
则,则,
即二面角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）【选条件①】由题知,的最大值为2,
在上单调递增,,,
则,解得,,所以,
又,所以,又,所以,
所以;
【选条件②】因为,在区间上至少有2个零点,所以,
又因为在上单调递增,所以,即,
所以,,所以,
又,所以,又,所以,
所以;
（2）因为,所以,则,
令,则在内恒成立,即在内恒成立,
令,,由基本不等式可知,在处取得最小值,
任取,有,,,
即,故在上单调递减;
同理可得在上单调递增,
则,故只需,
所以实数m的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,且,,
所以,
当,即时,矩形枫树林面积取得最大值为;
（2）因为,所以,记,
由正弦定理有,
则,
则
,
,其中,,且,
当时,取得最大值,
所以修建观景木质栈道所需的费用最多为元.
19．答案：（1）,,,,,
（2）为偶数
（3）
解析：（1）由定义,只需满足,
故所有满足条件的有6个,为：,,,,,;
（2）由题知,存在,与,,,使,
当时,;当时,,.
若有个,则有个,则,
所以为偶数;
（3）猜测符合要求的4维向量最多有4个,即,举例如下：
不妨取,,,,
则有,,,,,,
若存在使,则或或,
当时,;当时,;
当时,,.
故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0,即.