千阳县中学2023届高三下学期第十三次模考数学（文）试卷(含答案)

这是一份千阳县中学2023届高三下学期第十三次模考数学（文）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，且，则a可以为( )
A.-2B.-1C.D.
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A.B.C.D.
3．下列函数中是增函数的为( )
A.B.C.D.
4．当时，函数取得最大值，则( )
A.B.1C.D.2
5．已知，则( )
A.B.C.D.
6．已知点，.若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
7．在中，，，，则( )
A.B.4C.D.
8．已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则( )
A.B.C.D.
9．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.或2
10．在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
11．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为πB.的最大值为
C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点
12．如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则( )
A.5B.10C.13D.26
二、填空题
13．函数的值域为________.
14．经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______.
15．若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为______.
三、双空题
16．已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______.
四、解答题
17．设函数.
（1）列表并画出，的图象；
（2）求函数在区间上的值域.
18．下图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020（2021年后代码依此类推）.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：，，，.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
19．如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离.
20．已知点P是平面直角坐标系异于O的任意一点过点P作直线及的平行线，分别交x轴于M，N两点，且.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）在x轴正半轴上取两点，，且，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：.
21．设函数
（1）若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；
（2）若函数在内没有极值点，求a的范围.
22．已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为上任意一点，求的取值范围.
23．已知函数，M为不等式的解集.
（1）求M；
（2）证明：当a，时，.
参考答案
1．答案：B
解析：，，，
可知，，，故A、C、D错误；，故B正确.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是，
可得，所以.
故答案为：A.
3．答案：D
解析：对于A，为R上的减函数，不合题意，舍去.
对于B，为R上的减函数，不合题意，舍去.
对于C，在上为减函数，不合题意，舍去.
对于D，为R上的增函数，符合题意.
4．答案：C
解析：由题知，即，得到，
所以，定义域为，故，
又因为时，函数取得最大值，
则是的极大值点，
故，得到，
经检验，满足题意.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D.
7．答案：C
解析：，，，所以，解得，，
因为，所以，.
故选：C.
8．答案：B
解析：由题意，，
在等差数列中，首项，
设公差为d，前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，
，解得：，
，
即，
故选：B.
9．答案：B
解析：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B.
10．答案：C
解析：如图，连接，，交于N，连接，，
在长方体中，平面与平面的交线为，
而平面，且平面，
所以，
又，，
所以，故C正确
对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；
对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；
对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.
故选：C.
11．答案：D
解析：A.，故A错误；
B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；
C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
D.，即，，
即或，解得：，π，
所以函数在区间上有3个零点，故D正确.
故选：D.
12．答案：C
解析：N是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C.
13．答案：
解析：因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：.
14．答案：2
解析：由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，
联立方程，消去x可得，，
韦达定理得，，
因为，所以，即，
所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，
所以.
故答案为：2.
15．答案：
解析：如图，设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，
过O作，垂足为G，，
.
因为，所以，解得.
因为，所以，解得，
即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为.
故答案为：.
16．答案：；
解析：由题意知，，由，得，，
又等差数列的公差为，
所以，
即，解得，
所以，解得，
当时，，
得，
当时，，与题意中的相符，
所以.
故答案为：；.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）列表：
作图：
（2）由已知
，
由已知，
，
，
函数在区间上的值域是.
18．答案：（1）答案见解析
（2），1.92亿吨
解析：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，
，
所以，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
（2）由及（1）得，
所以，y关于t的回归方程为：.
将2023年对应的代入回归方程得：，
所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨.
19．答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：（1）由题意证明如下，
连接，，.
在长方体中，且，
四边形为平行四边形.
E为的中点，
在中，E，F分别为和AB的中点，
.
平面，平面，
平面.
（2）由题意，
与平面所成角为.连接.
长方体中，所以.所以.
长方体中，平面，平面，
.
为直线与平面所成角，即.故，
为等腰直角三角形，则.
在中，
知.
在中，
，，，，
，
，
设点A到平面CEF的距离为h.
由知，，得.
点A到平面CEF的距离为1.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意，
设点P坐标为，则根据题意，得，，
由得：，
化简得：，所以轨迹C的方程为：.
（2）由题意，
当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，成立.
当直线l的斜率存在，由题意，设直线l的方程为：、、，
由得：，
有得：，且，，
则，
又，
因为，
所以，则.
综上所述，.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
因为有三个互不相同的零点，所以，
即有三个互不相同的实数根.
令，则.
令，令，
所以在和均为减函数，在为增函数，
即的极小值为，极大值为，
故m的取值范围.
（2）由题意可知，在上没有变号零点，
又因为，所以，解之得.
故a的范围为.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由已知可得，，
，，
即，，，，
（2）设，令，
则，
，S的取值范围是.
23．答案：（1）
（2）详见解析
解析：（1），
当时，由得，解得；
当时，；
当时，由得，解得.
所以的解集.
（2）由（1）知，当a，时，，，从而，
因此.
0
π
x
1
4
7
10
y
0
2
0
0