四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸州市2024届高三第二次教学质量诊断性考试文科数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
2．若复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A.2B.1C.D.
3．中，“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是( )
A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5
C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低
5．函数的部分图象大致是( )
A.B.
C.D.
6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为( )
A.250B.240C.200D.190
7．已知点P在椭圆上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为( )
A.2B.4C.6D.8
8．已知函数的图象关于直线对称，则b的值为( )
A.B.C.D.1
9．定义域为R的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为( )
A.5B.6C.7D.8
10．已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则C的离心率( )
A.B.C.D.3
11．已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，平面平面，则其外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
12．已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.若，则
C.函数的图像关于直线对称
D.
二、填空题
13．已知向量，满足，，，则________.
14．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值等于________.
15．若函数有零点，则实数a的取值范围是________.
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为________.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求n.
18．如图，为圆柱底面的内接四边形，为底面圆的直径，为圆柱的母线，且.
（1）求证：；
（2）若，点F在线段上，且，求四面体的体积.
19．某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分.工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.
（1）估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意.据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？
（3）在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率.
附：，其中.
20．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求实数a的取值范围.
21．设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若.
（1）求H的方程；
（2）过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角.
23．已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，函数的最小值为m，若a，b，c均为正数，且，求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，，
所以.
故选：A
2．答案：B
解析：因为，
所以.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为，由大角对大边可得，
由正弦定理得，且，
所以，，故，充分性成立，
同理当时，，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
故选：C
4．答案：B
解析：对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误；
从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误；
乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20
乙得分的中位数为，故B正确.
乙得分的平均数为，
从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m，
其中，
故其平均数为，故D错误.
故选：B.
5．答案：C
解析：，
定义域为R，关于原点对称，
由，
所以为奇函数，排除BD；
当时，，因为为R上减函数，为R上的增函数，
则为R上的减函数，且当，，则当，
，故，排除A.
故选：C.
6．答案：C
解析：程序运行时，变量值变化如下：
，，，，不满足；，，，不满足；，，，满足，输出.
故选：C.
7．答案：B
解析：因为椭圆
所以该椭圆，，则，
设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为Q，连接，
因为，所以，
因为O，Q分别为，的中点，所以，
又，所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
9．答案：D
解析：因为定义域为R的函数满足，即，
所以是以4为周期的周期函数，
又，则，
所以关于对称，又，
又，
又当时，函数，所以，则，
令，即，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：
由图可得与有4个交点，交点横坐标分别为，，，，
且与关于对称，与关于对称，
所以，，
所以方程的所有实数根之和为.
故选：D
10．答案：B
解析：因为双曲线的渐近线方程为，
而以线段为直径的圆的方程为，
联立，结合，解得或，
因为M在第一象限，所以，
又，则，
而，，所以，
所以，即，则，
所以双曲线C的离心率为.
故选：B.
11．答案：D
解析：因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，
所以，则，
设，的外接圆的半径分别为，，
则在等边中，，
在中，，
所以，
则，，
设三棱锥的外接球的半径为R，因为平面平面，
则，
所以其外接球的表面积为.
故选：D.
12．答案：D
解析：对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
13．答案：1
解析：因为，，，
所以，
所以，解得，
故答案为：1
14．答案：
解析：
如图，画出可行域和目标函数，
可得在点处取得最大值，
此时.
故答案为：.
15．答案：
解析：函数的定义域为，
又，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，时，
又函数有零点，所以，即，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
16．答案：
解析：由余弦定理得,，
两式相减得，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，,不同时为，，，故，，
所以，
又，所以，则，故，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
当时，，所以，
当时，，
所以，整理得，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为;
（2）因为，，
由题意得：，即，
所以.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为为底面圆的直径，且，即，
又，所以，所以，
所以，
又为圆柱的母线，即平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）在.中、，
所以，又，则，
设，
所以在中，，，所以，则，连接，所以，因为平面，平面，
所以平面，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，且，平面，
所以平面，
所以.
19．答案：（1）；
（2）有的把握认为“学生满意度与性别有关”；
（3）
解析：（1）根据频率分布直方图知，
，
所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为70分.
（2）由（1）及已知得列联表如下：
则的观测值为：，
所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”.
（3）由（2）知满意度分值低于70分的学生有48位，其中男士18位，女士30位，
用分层抽样方式抽取8位学生，其中男士3位，女士5位，
记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，
从中随机抽取两位的事件为：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计28个基本事件，
其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人的概率为.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）因为，且，
所以当时，，单调递减，
当或时，，单调递增；
不妨令，
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，，，
所以，此时符合题意；
当，即时，在和单调递增，在单调递减，
显然在处取得极小值，此时极小值为，
而，，，
所以，
要使，则必有，解得，故，
综上:a的取值范围是.
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）依题意，点F的坐标为，
又，，所以点P的横坐标为，
由拋物线的定义得，所以，
所以拋物线H的方程为.
（2）由（1）知点F的坐标为，设直线l的方程为，
联立，消去x，得，易知，
设,，则,，故，
因为H的准线为，因为直线平行于x轴，
所以点C的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点G的纵坐标为，
所以点G的横坐标为，
所以
，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）将，，，
代入曲线C的极坐标方程中，
得曲线C的直角坐标方程为，即；
（2）因为点在直线l上，
将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，
整理得，满足，
设点A,B对应的参数分别为,，则,，
由参数t的几何意义，不妨令,，
所以，
当时，，，
所以，则，
所以直线l的倾斜角为.
23．答案：（1）；
（2）3
解析：（1）当时，
所以不等式等价于或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
（2）当时，
当且仅当，即时取等号，
所以，
又a，b，c均为正数，所以，
所以，当且仅当，即、时取等号，
所以的最大值为3.
不满意
满意
总计
男
18
32
50
女
30
20
50
总计
48
52
100