浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A. B.C.D.
2．已知M,N,P,Q是平面内四个互不相同的点,,为不共线向量,,,则( )
A.M,N,P三点共线B.M,N,Q三点共线
C.M,P,Q三点共线D.N,P,Q三点共线
3．已知复数,则( )
A.B.C.2D.
4．若,则( )
A.B.
C.D.
5．AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且,则二面角的大小为( )
A.60°B.30°C.45°D.15°
6．已知函数,若存在非零实数,使得成立､则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为( )
A.B.或C.D.或
8．正项数列中,（k为实数）,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知x,,且,,则( )
A.B.C. D.
10．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有( )
A.所有可能的方法有种
B.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种
C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种
11．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有( )
A.若2为的周期，则为奇函数
B.若为奇函数，则2为的周期
C.若4为的周期，则为偶函数
D.若为偶函数，则4为的周期
三、填空题
12．若随机变量,,若,,则_______________.
13．如图,已知正方形的边长为4,若动点P在以为直径的半圆E(正方形内部,含边界),则的取值范围为_________________.
14．已知函数,若函数有三个极值点,,若,则实数a的取值范围是________________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
（1）求角B的大小;
（2）若,求周长的最大值.
16．已知点,点A在x轴上,点B在y轴的正半轴上,点M在直线上,且满足,.
（1）点A在x轴上移动时,求动点M的轨迹C的方程;
（2）设Q为（1）中的曲线C上一点,直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直,l与曲线C相交于另一点R,当（O为坐标原点）时,求直线l的方程.
17．如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，
(1)求证：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知函数,,其中且.
（1）若,试证明：,恒成立;
（2）若,求函数的单调区间;
（3）请判断与的大小,并给出证明.（参考数据：,,,）
19．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为.
（1）求，的值；
（2）求的值（用n表示）；
（3）求证：的数学期望为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：由可得：或,
又因为,所以,故A是错误的;
而或,故B是错误的;
由于,故C是错误的,D是正确的;
故选：D.
2．答案：B
解析：,
所以,所以M,N,Q三点共线,即B对.
同理,其它各项对应三点均不共线.
故选：B.
3．答案：A
解析：由,可得,
故选：A.
4．答案：C
解析：.
故选：C.
5．答案：C
解析：平面ABC,.
易得,平面PAC,
,为二面角的平面角.
在中,,
.
故选：C.
6．答案：A
解析：不妨设,
当时,,,
所以不存在非零实数,使得成立;
当时,若存在非零实数,使得成立,
则方程有正根,即函数与有交点,
先考虑函数的图象与直线相切的情况,
设切点为,则,得,
令,则,
所以函数在上单调递增,则,
所以方程的根只有一个,即,
所以,
所以函数的图象与直线相切时,切点为原点,
所以要使函数的图象与直线有交点,只需,即,
所以实数k的取值范围为.
故选：A.
7．答案：B
解析：在单调,故,故,,故,
若,则,取满足题设条件;
若,则是的一条对称轴,是其相邻的对称中心,
故,,.
综上所述：或
故选：B.
8．答案：A
解析：因为,且,所以且为等比数列,公比为k,
因为,所以,
所以,
所以
令,当且仅当时取等号,
化简可得,
令,因为,所以,
所以,所以,
所以的取值范围是.
故选：A.
9．答案：ACD
解析： ,,同理,
在时递增,故,故A正确;
, B错误;
,,,当且仅当时等号成立,而,故,∴C正确;
,即,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,
每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,
故有种选择方案,错误;
对于选项B,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有（种）,正确;
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有（种）,正确;
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有（种）,
错误.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：对于A：若2是的周期，则，
由，可得，
所以，所以为奇函数；故A正确；
对于B：若为奇函数，则，
由，可得，所以2是的周期，故B正确；
若4是的周期，则，
由，可得
，
所以，所以为奇函数；故C不正确；
对于D：若为偶函数，则，
由，可得，所以，
所以，所以4是的周期，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：0.2
解析：由题意知随机变量,,
所以,即,
即,
而,则,
故答案为：0.2.
13．答案：
解析：因为正方形的边长为4,取的中点E,连接,
当P在A点或B点时,,
当当P在弧中点时,,
所以的取值范围为,
由于,,,
所以,
因为,所以,故,
所以,即的取值范围为.
故答案为：.
14．答案：
解析：,令,得,
则与有3个不同的交点,
,
令得,,令得,或,
故在,上单调递减,在上单调递增,且,
又时,恒成立,故,
,故,结合题设,令,故,即,
令,则,,
令,,则,
当时,,故在上单调递减,
故,故在上恒成立,
故在上单调递减,故,
又在上单调递增,故,
由于,,
所以实数a的取值范围.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,即,
可得
又因为,则,可得,
且,可得.
（2）法一：由正弦定理可得,则,
可得
,
因为,则,可得,
所以周长的最大值为
法二：由余弦定理可得,
可得,当且仅当时,等号成立,
解得,
所以周长的最大值为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设,则由射影定理,有,
故,即.
由,易得,故M的轨迹方程为.
（2）设,Q点处的切线斜率为,
故.代入拋物线方程,
解得.
由,
得,
整理得.
所以l的方程为或.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：取AD中点N，连接NE,NC，
因为ADE是正三角形，
所以，
因为平面平面ABCD,平面ADE，平面平面
所以平面ABCD，又因为平面ABCD，
所以，又因为，
所以四边形ENCF是平行四边形，所以，
又因为平面ABCD,平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）连接AC,BD交于O，取AF中点M，连接OM，
所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为OA,平面ABCD，所以，
又因为四边形ABCD是菱形，所以，
所以OA,OB,OM两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
,,,,,,，,，
设平面AEF的法向量为，
，
令,
平面AFC的法向量为，
设二面角的大小为，
.
所以二面角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
（3）,证明见解析
解析：（1）证明：设函数,则,
当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以,
所以,即,恒成立.
（2）已知,从而,
若,则在单调递增;
若,当时,当时,
所以在单调递增,在单调递减.
（3）由（2）可知在上单调递增,
因为
从而由（2）知道在上单调递增.所以.
.
又,所以,即,
所以.
由此可知.即,
从而,故.
19．答案：（1），
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为.
由题意知，，
所以.
（2）因为，
所以.
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
（3）因为①，
②.
所以①②，得.
又因为，所以.所以.
所以的概率分布列为：
所以.
所以的数学期望为定值1.
0
1
2
p