湖北省2024届高三下学期4月调考（三模）数学试卷(含答案)

这是一份湖北省2024届高三下学期4月调考（三模）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知，，若，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知点，和向量，若，则实数的值为( )
A.B.C.D.
3．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为( )
A.B.C.1D.
4．双曲线两渐近线的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知是奇函数，当时，(其中e为自然对数的底数)，则( )
A.3B.-3C.8D.-8
6．在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c则“"是“"的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．球类运动对学生的身心发展非常重要，现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“兵兵球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选3门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修—学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有( )
A.210种B.78种C.150种D.144种
8．在三棱锥中，平面平面PBC，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则( )
A.B.C.D.
10．已知，则下列结论正确的有( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最小值为3D.
11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，A点位于B点右方，若，则下列结论一定正确的有( )
A.B.
C.D.直线AF的斜率为
三、填空题
12．设函数对任意的均满足，则______.
13．已知x，y之间的一组数据：
若y与满足回归方程，则此曲线必过点______.
14．若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数，在点处对x的偏导数，记为，即；
若当时无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数，在点处对y的偏导数，记为，即
已知二元函数，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知三棱柱中，，，，
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若：且P是AC的中点，求平面和平面的夹角的大小
16．襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
（1）从样本中随机抽查两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10000元的概率;
（2）若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)假定襄阳市常住人口为500万人，试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上;
(ii)若在襄阳市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值
附：若，则，
，
17．已知函数
（1）讨论的单调区间;
（2）若函数，证明：
18．如图，四边形OFHG（O为坐标原点）是矩形，且，，点，点，分别是OF，FH的等分点，直线和直线的交点为
（1）试证明点在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程;
（2）已知点P是圆上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围
注：椭圆上任意一点处的切线方程是：
19．在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行有j个数，例如，表示第4行第3个数该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中：)
已知，，
（1）求m及;
（2）记除以3的余数为，，的前n项为，求.
参考答案
1．答案：D
解析：，
因为，且，
所以，
故选：D.
2．答案：B
解析：由题得，
因为，
所以，.
故选：B
3．答案：D
解析：1，a，3成等差数列，可知：，；
1，b，4成等比数列，可知：，所以，
所以，故选：D.
4．答案：A
解析：双曲线两渐近线方程为，所以双曲线两渐近线的夹角为.
5．答案：D
解析：，
是奇函数，
当时，，
则
故选：D.
6．答案：C
解析：本题主要考查正弦定理与余弦定理。
充分性：在中，若，则，所以，充分性成立;
必要性：在中，若，则由正弦定理有，所以，即，
所以，所以，必要性成立。
所以“"是“”的充要条件。
故本题正确答案为C
7．答案：A
解析：根据题意，分2种情况讨论：
①五门选修课放在2年选完，先将五门课程分为2组，再在三年中选出2年来学习，有种安排方法，
②五门选修课放在3年选完，先将五门课程分为3组，再安排在三年中选完，有种安排方法，则有种安排方法.
故选：A.
8．答案：D
解析：设BC中点为T，的外心为，的外心为，过点作平面ABC的垂线，过点作平面PBC的垂线，两条垂线的交点O，
则点O即为三棱锥外接球的球心，
因为和部是边长为的正三角形，
可得，
因为平面平面ABC，，平面ABC，平面平面，
所以平面PBC，又平面PBC，所以，
又.所以四边形是边长为1的正方形，
所以外接球半径，
所以M到平面ABC的距离，
即点M到平面ABC距离的最大值为.
故选：D.
9．答案：BD
解析：在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，
则，故B正确;
，解得，故A错误，
，故C错误;
，故D正确.
故选:BD.
10．答案：BD
解析：
11．答案：ABC
解析：由题意得，，，
当直线l的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线l的方程为，不妨设，
联立，可得，易得，
设，，则，，
则，，
则，，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，，
即.
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
则，，解得，，
故，
当时，同理可得到，故A正确;
，故B正确；
，故C正确;
当时，，则，即，
此时.
由对称性可得，当时，，
故直线AF的斜率为，故D错误.
12．答案：1
解析：因为，
又因为，所以函数为偶函数，
即，，
，
所以.
故答案为：1.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：依题意，所以，，
则，
所以的最小值是.
故答案为：
15．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图，
则有，因，，
，平面，于是得平面，
而平面，则，由，得，，AC，平面，
从而得平面，
又平面ABC，所以平面平面ABC
（2）方法一：在平面内过作，
由（1）知平面平面ABC，平面平面，则平面ABC，以C为原点，以射线CA，CB，Cz分别为x，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，，则，，，，则有，，
设平面的一个法向量，则有，
解得：
令得，而平面的一个法向量，
依题意，
设平面和平面的夹角的夹角是，则
，
所以平面和平面的夹角是
方法二：由（1）知平面，而平面
在等边中，为AC的中点，
又
平面ABC
又PC，PB在平面ABC内
，
即为二面角的平面角
在，，
所以平面和平面的夹角是
16．答案：（1）；（2）（i）11375万；（ii）分布列见解析，均值为
解析：（1）样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有33人，所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为;
（2）(i)计算，
所以，，X服从正态分布，
，
（万），
估计襄阳市有11375万市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ii）由（i）知，，
则，
所有可能的取值为0，1，2，3
，，
，；
所以随机变量的分布列为：
均值为
17．答案：（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明见解析
解析：（1）由题知，函数的定义域为，，
①当时，有，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增;
②当时，有，，
所以在上单调递增;
③当时，有，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，
所以，当时，，即，，，，
所以
18．答案：（1）在同一个椭圆上，该椭圆方程为；
（2）
解析：（1）设，又，，
则直线，①
直线，②
点的坐标是方程①②的解，①②可得，
化简得，
所以在同一个椭圆上，该椭圆方程为
（2）设，，，则，
切线PA方程为：，切线PB方程为：，
两直线都经过点，所以得：，，
从而直线AB的方程是：，当时，
由得，则
当时，
由，消y得：，
由韦达定理，得：，，
，
，
点P到直线AB的距离，
，
其中，
令，则，，令，
则0，
在上单调递增，
综上所述，面积的取值范围是
19．答案：（1），；（2）
解析：（1）由题意，可知，
，，
，
化简整理，得，
解得(舍去)，或，
，
（2）
等于除以3的余数
当为奇数时
①时，，；
②时，，；
③时，，
当为偶数时
①时，，
②时，，
③时，，
时，，
当时，，
当时，
综上，
x
0
1
4
9
y
1
298
501
701
组别
(支出费用)
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
0
1
2
3
P