陕西省安康市教育联盟2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份陕西省安康市教育联盟2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，若复数，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数，则的虚部为（ ）
A.B.7C.D.
3.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（ ）
A.24B.26C.30D.36
4.若为奇函数，则的值为（ ）
A.B.0C.1D.2
5.已知向量，满足，，，则（ ）
A.B.C.8D.40
6.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示：
下列说法正确的是（ ）
A.29是这18人年龄的一个25%分位数B.40是这18人年龄的一个80%分位数
C.34是这18人年龄的一个中位数D.这18人年龄的众数是4
7.已知事件，，两两互斥，若，，，则（ ）
A.B.C.D.
8.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若复数，则（ ）
A.
B.
C.复数的实部与虚部不相等
D.复数在复平面内对应的点在第四象限
10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，，则
11.已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.的最小值为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则_________.
13.已知，，则__________.
14.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）如图，在正四棱锥中，，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求四棱锥的表面积.
16.（本小题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求的最小值.
17.（本小题满分15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
（1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表）
（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
18.（本小题满分17分）函数（，）的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点，，为最高点，的面积为.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且（）.
（1）若二面角的大小为45°，求的长；
（2）当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.
安康教育联盟2023~2024学年第二学期高一期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 由题意知，，所以.故选B.
2.D 因为，所以，所以的虚部为.故选D.
3.A 由题意，从全校2000人中抽取80人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽（人）.故选A.
4.D 由题得：由，有，可得.故选D.
5.B 因为向量，满足，，，
所以，
则，故选B.
6.B 对选项A：，第25%分位数为30，故A错误；对选项B：，第80%分位数为40，故B正确；对选项C：这18人年龄的中位数是，故C错误；对选项D：这18人年龄的众数是32，故D错误.故选B.
7.B 因为事件，，两两互斥，所以，所以.故选B.
8.B 因为，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，故三角形为直角三角形.故选B.
9.BCD 由题意知，则，故A错误；
，故B正确；
复数的实部为，虚部为，故C正确；
复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D正确，故选BCD.
10.BC 若，，则或，故A错误；
若，，，则，故B正确；
若，，则，故C正确；
在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，但，故D错误.故选BC.
11.AD 由题意知，，所以，即，解得，故A正确；B错误；
，当且仅当时等号成立，又，所以，故C错误；
因为，当且仅当时等号成立，又，所以，故D正确.故选AD.
12. 因为，所以.
13.2 因为，，所以，所以，.
设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，
所以两人都没有击中靶心的概率为，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.
15.解：（1）连接，，记，连接，如图所示.易得平面，
又平面，所以，所以，
所以四棱锥的体积；
（2）取的中点，连接，，如图所示.
因为平面，平面，所以，所以，
所以四棱锥的表面积.
16.解：（1）
，即，
即
（2）由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故的最小值为1.
17.解：（1）由题意知，
解得，
数学成绩的平均数为.
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
（2）抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为，，，，在内的1人为，
从5人中任取3人，
有，，，，，，，，，，共10种，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共6种，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
18.解：（1）由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
（2）由，则，得，
即.由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
19.解：（1）取中点，过点作，交于点，连接.
因为底面是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形.
由直四棱柱，可得平面，
平面，，
，，，
所以和全等，可得.
因为为中点，所以.
又因为，
所以为二面角的平面角，即.
在平面中，，，
所以，则有，所以.
在中，，，
则，解得；
（2）因为平面，所以，
.
因为三棱锥的体积为，所以，解得，
因为平面，所以.
在中，，，所以.
设到平面的距离为，在中，，，
所以，所以.
因为，所以，解得.
在中，由余弦定理得，
所以.
设与平面所成的角为.
所以.
令，则.
因为，所以，所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是.
年龄
45
40
36
32
30
28
26
人数
3
2
3
4
2
3
1