初中3.1 勾股定理课时练习

这是一份初中3.1 勾股定理课时练习，文件包含专题03勾股定理知识串讲+热考题型+真题训练原卷版docx、专题03勾股定理知识串讲+热考题型+真题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

【考点1】勾股定理．
版【考点2】勾股定理的证明．
【考点3】勾股定理的逆定理．
【考点4】勾股数．
【考点5】勾股定理的应用．
【考点6】平面展开﹣最短路径问题．
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
理解勾股定理的一些变式：
，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.
知识点3：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
知识点4：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点5：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型六、应用勾股定理解决航海问题
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题
【考点1】勾股定理．
1．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为（ ）
A．B．5C．或5D．5或7
2．（2023春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则AD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023春•华容县期末）如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝（ ）
A．10B．13C．8D．11
4．（2023春•楚雄州期末）如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若其中S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，则正方形BCFG的面积是（ ）
A．3cm2B．9cm2C．16cm2D．41cm2
5．（2022秋•鹤壁期末）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春•江津区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．15B．61C．69D．72
版【考点2】勾股定理的证明．
7．（2023春•杜尔伯特县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春•中江县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝60，大正方形的面积为169．则小正方形的边长为（ ）
A．7B．13C．10D．17
9．（2023春•顺庆区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，
（1）求BC的长；
（2）求AD的长．
10．（2023春•会昌县期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．
【考点3】勾股定理的逆定理．
11．（2023春•增城区期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，2
12．（2023•雁塔区校级开学）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝7：3：11B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝7：24：25D．a2＝9，b2＝1，c＝
13．（2023春•黄岩区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点4】勾股数．
14．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，1，
C．5，12，13D．1，，2
15．（2023春•嘉鱼县期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，C．1，2，D．5，12，13
【考点5】勾股定理的应用．
16．（2023春•清原县期末）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米B．8米C．10米D．12米
17．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．
A．5B．12C．13D．17
18．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．5米B．6米C．7米D．8米
19．（2023春•浉河区校级期末）如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
​
A．北偏东40°B．北偏东50°C．东偏北60°D．东偏北70°
20．（2023春•青秀区校级期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（ ）
A．11尺B．12尺C．13尺D．14尺
21．（2023春•江陵县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
22．（2022秋•桥西区期末）为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（ ）
A．0.5米B．1.2米C．1.3米D．1.7米
23．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10mB．15mC．18mD．20m
24．（2023春•罗庄区期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（ ）
A．5≤a≤12B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13
25．（2023春•武都区期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（ ）米路．
A．20B．30C．40D．50
26．（2022秋•南阳期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
（2）求△ABC的面积．
27．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中着色部分的面积．
28．（2023•滕州市校级开学）如图，一架梯子AB长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
29．（2023春•公安县期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN＝30°，点A处有一所学校．AP＝240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）
30．（2023春•涧西区期中）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为10米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
31．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
32．（2023春•凤庆县期末）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
33．（2023春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
34．（2023春•余干县期中）如图是某小区为迎接十四运，方便群众活动健身设计的秋千示意图，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，当秋千到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离DB′等于1.2m，距地面1m，求秋千AB的长．
35．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）
（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
36．（2023•中山市三模）某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm．双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为60×80×100（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由．
【考点6】平面展开﹣最短路径问题．
37．（2023•中原区校级开学）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ）
A．100cmB．120cmC．130cmD．150cm
38．（2023春•容县期末）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）cm（杯壁厚度不计）．
A．14B．18C．20D．25
39．（2023•禄劝县校级开学）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 cm．
一．选择题（共11小题）
1．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．C．4，5，6D．8，12，13
2．如图是一个矩形空地ABCD，如果AB＝40，AD＝30，那么要从A走到C，至少要走（ ）
A．70B．50C．140D．40
3．下列4组数中，是勾股数的为（ ）
A．，，2B．4，5，6
C．0.4，0.3，0.5D．7，24，25
4．如图所示，在2×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．△ABC的顶点都在小正方形的格点上，则点A到BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（ ）
A．36B．25C．16D．6
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为（ ）
A．16B．9C．4D．3
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积，其中S2＝6π，S3＝10π，则S1为（ ）
A．4 πB．8πC．12πD．16π
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．
10．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（ ）
A．120B．110C．100D．90
11．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．51B．49C．76D．无法确定
二．填空题（共8小题）
12．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于 ．
13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．
14．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积＝ ．
15．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
16．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为 ．
17．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．
18．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝ ．
三．解答题（共6小题）
20．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
21．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 ；
②当t＝3时，PQ的长为 ；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
23．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
（1）在网格中画出长为的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．
24．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
25．如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？