[数学][期末]广西壮族自治区河池市2022-2023学年高一下学期7月期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]广西壮族自治区河池市2022-2023学年高一下学期7月期末试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由，得，所以.
故选：B.
2. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】由正弦定理可得.
故选：C.
3. 在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生10人，则该高校抽取的志愿者总人数为（ ）
A. 100B. 150C. 200D. 250
【答案】D
【解析】根据题意知分层抽样比例为，
所以该高校抽取的志愿者总人数为.
故选：D.
4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】对选项A，若，，则与的位置关系是平行或者异面，故A错误；
对选项B，若，，则与的位置关系是平行或相交，故B错误；
对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，
故C正确；
对选项D，若，，则与的位置关系是平行或者在内，故D错误.
故选：C.
5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ）
A. 事件1与事件3互斥B. 事件1与事件2互为对立事件
C. 事件2与事件3互斥D. 事件3与事件4互为对立事件
【答案】D
【解析】事件1可表示为：，事件2可表示为：，
事件3可表示为：，事件4可表示为：，
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，B错误；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，为必然事件，所以事件3与事件4互为对立事件，
D正确.
故选：D.
6. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，
“两个球颜色不同”为事件C，则，，且，
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选：C.
7. 将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得，由，所以，
因为，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径，
而等边三角形的边长为4，故，故．
故选：C．
8. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设向量，的夹角为，因为，所以，
则，即恒成立，
所以，解得，
因为，所以，故，的夹角的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
67 57 37 40 46 62 31 47 31 30
则这组数据的（ ）
A. 众数是31B. 中位数是40
C. 极差是37D. 分位数是30.5
【答案】ACD
【解析】这组数据中31出现了2次，出现次数最多，因此众数是31，A正确；
从小到大排列10个数据分别为30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，
第5位和第6位为40和46，因此中位数是，B错误；
最大值为67，最小值为30，因此极差为，C正确；
是整数，则分位数应取第1位与第2位的平均值，
即30和31的平均值30.5，D正确.
故选：ACD.
10. 如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A B.
C. 向量与垂直D.
【答案】AB
【解析】对于A，平移至，至，则，
所以A正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，平移向量至，
因为，
，则与不垂直，即与不垂直，所以C错误；
对于D，因为，所以D错误.
故选：AB.
11. 一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】方案一：“选到3号球”的概率，
方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，
第二次1号球，则“选到3号球”的概率，
方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，
“选到3号球”包含共2个基本事件，“选到3号球”的概率，
∴，，，，ABD正确，C错误.
故选：ABD.
12. 如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A. 点M的轨迹长度为
B. 三棱锥的体积不为定值
C. 的最小值为
D. 取最小值时三棱锥的体积为
【答案】ACD
【解析】如图，因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
若，则点M的轨迹为，因为正方体的棱长为2，
所以点的轨迹长度为，故A正确；
三棱锥就三棱锥，底面积和高都不变，因此体积不变，故B错误；
将平面翻折到与平面重合，如图，
此时A，M，三点共线，取得最小值A，
是边长为的等边三角形，
是边长为2的等腰直角三角形，且M是的中点，
所以，，取得最小值为，故C正确；
设M到平面ABCD的距离为h，由三角形面积相等，有，则，
，于是，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. _________.
【答案】
【解析】，
∴.
故答案为：
14. 如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
【答案】路
【解析】由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”.
故答案为：路.
15. 若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则________.
【答案】4
【解析】根据题意得平均数，
方差，
所以，且，解得或所以.
故答案为：4.
16. 已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为，，在上的投影向量为，则的值为___．
【答案】1
【解析】∵，则O为BC的中点，
注意到△ABC的外接圆的圆心为O，故BC是外接圆的直径，即，
则在上的投影向量为，
可得，即，
∵，
∴.
故答案为：1.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）若，，求的值；
（2）若，求角B，C的大小.
解：（1）根据余弦定理，，
已知，，
则，解得.
（2）因，，
因此得到，
则，即，所以，因此三角形为等腰三角形，
又知道，所以.
18. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求证：AF⊥平面PCD．
解：（1）设是的中点，由于是的中点，所以，
由于是的中点，四边形是矩形，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，所以，
因为，、平面，
所以平面.
19 设，向量，，，且，.
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值.
解：（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则.
（2）因为，，
所以，
设向量与夹角为，
则.
20. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
（1）估计田径队测试的平均成绩；
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做领队，求领队来自不同队伍的概率.
解：（1）由田径队的频率分布直方图得：，
解得.
其中“田径队”的平均成绩为：
.
（2）“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人），
所以抽取的比例为，
在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取（人），记作A，B，C，
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，
AC，BC，共21个，
领队来自不同队伍包含的基本事件aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，
共12个，
故领队来自不同队伍的概率为.
21. 如图，在直三棱柱中，.
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的大小.
解：（1）连接与相交于点，如下图所示：
在直棱柱中，平面平面，，
又，平面，∴平面，
又平面，，
，四边形为菱形，即，
又，且平面，
平面，又平面，
.
（2）取的中点，连接，如下图所示；
，，
又平面平面，，
又，且平面，
平面，
是在面内的射影，是与平面所成角的平面角，
在中，易知，
，，
即与平面所成的角的大小为.
22. 2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行．某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中只有两道题目．已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．若两人答对题目数相同的概率为．
（1）求的值；
（2）求两人共答对两道题的概率．
解：（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，，
所以，，，
，，，
因为两人答对题目数相同的概率为，
所以，
解得或（舍），即的值为.
（2）由（1）可得：，，，
两人共答对两道题的概率
，
即两人共答对两道题的概率为.