北京市房山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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七年级数学
本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长只有微米．其中微米米，把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：D．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除以单项式等知识，根据相关运算法则计算后，即可得到答案．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
3. 下面图中与是对顶角的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的定义．根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：A、与不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、与是对顶角，故本选项符合题意；
C、与不是对顶角，故本选项不符合题意；
D、与不是对顶角，故本选项不符合题意；
故选：B
4. 如图，直线被所截，下列条件不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、因为，，则，则，故本选项不符合题意；
D、不能判断，故本选项符合题意；
故选：D
5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意；
B. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意．
C.，该等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意；
D. 该等式左边和右边不相等，故本项不合题意；
故选：B．
6. 下列调查中，适合采用全面调查（普查）方法的是（ ）
A. 选出某校短跑最快的学生参加全市比赛
B. 调查一批手机电池的使用寿命
C. 调查某品牌汽车的抗撞击情况
D. 了解某市中学生平均一周的体育锻炼时间
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据此特征进行判断．
【详解】解：A、选出某校短跑最快学生参加全市比赛，适合采用全面调查（普查）方法，故本选项符合题意；
B、调查一批手机电池的使用寿命，适合采用抽样调查方法，故本选项不符合题意；
C、调查某品牌汽车的抗撞击情况，适合采用抽样调查方法，故本选项不符合题意；
D、了解某市中学生平均一周的体育锻炼时间，适合采用抽样调查方法，故本选项不符合题意；
故选：A
7. 有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（ ）
A. 1次B. 2次C. 3次D. 4次
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了等式的性质，把6个小正方体分成3组，每组2个，再根据等式的性质进行判断即可．
【详解】解：把6个小正方体分成3组，每组2个，第一次，把其中两组分别放在天平的两端，若天平平衡，则质量略重的小正方体在未称的2个中，若天平不平衡，则质量略重的小正方体在较重的2个中；第二次，把含有质量略重的小正方体的2个分别放在天平的两端，天平不平衡，则较重的1个就是质量略重的小正方体．所以用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是2次．
故选：B
8. 将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
【详解】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为，
在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为，
由于两个阴影部分面积相等，所以有成立．
故选：C．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平均数也随之增大
B. 一组数据中最大的数据增大时，这组数据的众数也随之增大
C. 一组数据中最大的数据增大时，这组数据的中位数也随之增大
D. 一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平均数、中位数、众数等知识，根据平均数、中位数、众数的意义分别进行判断即可．
【详解】解：A．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平均数也随之增大，故选项正确，不符合题意；
B．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的众数不一定随之增大，故选项错误，不符合题意；
C．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的中位数不一定随之增大，故选项错误，不符合题意；
D．一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一个数据，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
10. 甲、乙、丙三人做写数字的游戏，三个人写的数字要同时满足以下四个条件：
①乙写的数字的一半大于甲写的数字；
②丙写的数字不大于甲写的数字；
③丙写的数字的3倍大于乙写的数字；
④甲、乙、丙三人写的数字均为正整数．
则三人所写数字之和的最小值为（ ）
A. 4B. 7C. 9D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质和正整数解问题，由①可得，，由②可得，，由③可得，，根据x、y、z均为正整数进行分析即可得到答案．
【详解】解：设甲、乙、丙写的数字分别为x、y、z，且x、y、z均为正整数，
由①可得，，
由②可得，，
由③可得，，
由可取时，
此时，不合题意，
若，，则不成立，舍去，
若，，则，即，
此时三人所写数字之和的最小值为
故选：C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 若，则的余角是_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了余角的概念和计算，根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求解，掌握余角的概念是解题的关键．
【详解】解：，
∴的余角为，
故答案为： ．
12. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：
13. 如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是_________．
【答案】同角的余角相等
【解析】
【分析】此题考查了余角的性质，，，那么，即可得到依据是同角的余角相等．
【详解】解：将一副三角板直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是同角的余角相等，
故答案为：同角的余角相等
14. 定义：如图1，直线，被所截，图中与位于截线同侧，被截线，的外部，我们把具有图中与位置关系的角称为“同旁外角”．如图2，当时，，则的“同旁外角”的大小为_________．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
根据两直线平行，同位角相等，得出的度数，再根据“同旁外角”的定义求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故的“同旁外角”的大小为50，
故答案为：50．
15. 用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝_________，b＝_________，c＝_________．
【答案】 ①. 3 ②. 4 ③.
【解析】
【分析】此题考查了举反例和不等式的性质，真假命题，根据题意举出反例即可．
【详解】解：当时，满足，但是，，
∴“如果，那么”是假命题，这组值可以是．
故答案为：（答案不唯一）
16. 为传承发展中国优秀语言文化，厚植青少年家国情怀，某校开展了“诵读中国”经典诵读大赛．校学生会随机对该校20名同学一周内诵读中华经典的时间进行了调查，统计如下：
若20名同学诵读时间众数为45，则a为_________，中位数为_________．
【答案】 ①. 45 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了求众数和求中位数，把一组数据从大到小（从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数，出现最多的数据是众数．根据众数和中位数的定义，即可求解．
【详解】解：若20名同学诵读时间的众数为45，由表格可知出现次数最多数据是a，共出现了7次，
∴众数是a，即a为45，
根据题意得：把这20个数据从大到小排列后，位于第10位和第11位分别为40，45，
∴这20名同学这天完成作业时间的中位数是
故答案为：45，
17. 如图，，，则的大小为_________．
【答案】89
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行，并能依此正确画出辅助线是解题关键．
过点作平行于，可得，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：过点作，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：89．
18. 如图所示是一组有规律的图案，每个图案都由若干个“”组成，第1个图案由5个“”组成，第2个图案由15个“”组成，第3个图案由30个“”组成，则第4个图案由_____个“”组成，第n个图案中“”的个数为______（用含n的代数式表示）．
【答案】 ①. 50 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查图形规律，根据前三个图形的组成个数即可找到第4个和第n个的组成表达式．
【详解】解：第1个图案由5个“”组成，可以表示为；
第2个图案由15个“”组成，可以表示为；
第3个图案由30个“”组成，可以表示为；
则第4个图案由个“”组成，
第n个图案由；
故答案为：50，．
三、解答题〔本题共64分，第19，20题，每题8分；第21，24题，每题6分；第22，25题，每题5分；第23题4分；第26，27题，每题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式是解题的关键．
（1）计算负整数指数幂、零指数幂、乘方后，再进行加减法即可；
（2）利用完全平方公式和去括法则展开，再进行加减法即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，利用提公因式法和公式法分解因式即可．
（1）提取公因式a后，利用平方差公式分解因式即可；
（2）提取公因式3后，利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
21. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】；整数解为2，3，4
【解析】
【分析】此题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式的解法是关键．
求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到答案．
【详解】解：，
由①得，
由②得，解得，
故此不等式组的解集为：，
故所有整数解为：2，3，4．
22. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
①得：
③，
②③得：
，
把代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
23. 已知a+b=2，求代数式a2-b2+4b的值
【答案】4
【解析】
【分析】根据平方差公式的逆运算即可化简求值.
【详解】∵a+b=2
∴a2-b2+4b
=(a+b)(a-b)+4b
=2(a-b)+4b
=2a-2b+4b
=2a+2b
=2(a+b)
=4
24. 已知：如图，直线，被，所截，平分，，，，求的大小．
补充完成下列推理过程：
（已知），
，
（_______），
_______（_______）．
（已知），
（等量代换）．
平分（已知），
（角平分线定义）．
（已证），
（_______）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
根据题中思路运用平行线判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换）．
平分（已知），
（角平分线定义）．
（已证），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等．
25. 在技术创新和消费升级的双重作用下，新的网购模式悄然而至．直播电商购物、短视频电商、社交电商、社区团购等新模式走进大众视野，与传统购物网站形成互补．为了解某市市民选择直播电商购物的主要原因，统计部门在全市范围内开展随机调查．参与调查人员需从A、B、C、D、E五个选项中任选一项（必选且只选一项）．
a．参与调查人员选择直播电商购物的主要原因的统计表如下：
b、参与调查人员选择直播电商购物的主要原因的扇形统计图如下：
（1）本次调查中，随机调查了______名市民；
（2）统计表中，______；
（3）补全扇形统计图（标注选项“B，C”及相应百分比）；
（4）如果该市共有市民约2170万人，请你估计以“节约了货比三家的挑选时间和精力”为主要原因的消费者有_______万人．
【答案】（1）4000
（2）500 （3）见详解
（4）估计以“节约了货比三家的挑选时间和精力”为主要原因的消费者有434万人
【解析】
【分析】本题考查统计表、扇形统计图以及样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）用组的频数除以组所占百分比可得样本容量；
（2）用样本容量乘组所占百分比可得的值；
（3）算出组和组所占百分比，进而补全扇形统计图；
（4）用2170乘组所占百分比可得答案．
【小问1详解】
解：本次调查的市民人数是：，
故答案为：4000；
【小问2详解】
解：人，
故答案为：500；
【小问3详解】
解：扇形统计图中“组”所对应的百分比是：，
扇形统计图中“组”所对应的百分比是，
补全扇形统计图如下：
【小问4详解】
解：(万人)，
答：估计以“节约了货比三家的挑选时间和精力”为主要原因的消费者有434万人．
26. 已知：如图1，点D，E，F分别是线段上的点，．
（1）猜想与的数量关系，并证明．
（2）用画图工具在备用图中作的平分线交于点M，过点A作交的延长线于点N．
①补全备用图；
②若，求的大小．
【答案】（1），证明见解析
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算、基本作图等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质即可证明结论；
（2）①根据角平分线和垂线的作图步骤作图即可；②由平行线的性质求出，由垂线的定义，则，又由角平分线的定义即可得到．
【小问1详解】
，
证明：∵．
∴，
∵
∴，
∴
【小问2详解】
①补全备用图如下：
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的平分线交于点M，
∴，
∴
27. 某校科学小组用弹簧等器材，进行了测量物体质量的实验探索．
实验一：如图，在弹簧下方悬挂钩码，发现弹簧会伸长，记录实验数据如下表：
例如：当弹簧下方所挂钩码的质量为200克时，弹簧长度为11厘米．
实验二：在弹簧下方悬挂不同的实验物块，记录实验数据如下表：
（1）已知每个同类型物块的质量都相同，求出每个A物块和每个B物块的质量分别是多少克；
（2）该弹簧的长度伸长到15厘米时就不能继续伸长，实验将不能继续．在某次实验中，弹簧下方悬挂A物块和B物块共计30个时，符合实验要求，其中A物块不多于22个，那么有多少个B物块？（求出所有情况）．
【答案】（1）每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克；
（2）可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块．
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键．
（1）设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据弹簧长度为12厘米和13厘米时的质量分别为克和克列出方程组，解方程组即可；
（2）设有m个B物块，则有个A物块，A物块不多于22个，总质量不超过克列出不等式组，解不等式组求出整数解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每个A物块的质量为x克，每个B物块的质量是y克,根据题意得，
解得
答：每个A物块的质量为30克，每个B物块的质量是40克；
【小问2详解】
解：设有m个B物块，则有个A物块，
则，
解得，
∵m是正整数，
∴或或，
即可以有8个B物块或9个B物块或10个B物块．
28. 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
（1）若，在中，的“3系数补角”是________；
（2）在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
【答案】（1）
（2）①；②或或或
【解析】
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键．
（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可．
小问1详解】
解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：
【小问2详解】
①设，
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
∴，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②
联立①②得，
解得
即是；
②∵是的“2系数补角”，
∴
∴
如图1，∵与两个角的平分线交于点M．
∴，
∵
，
过点H作，
∵，
∴
则
∴∴
如图2，
同理可得，，
则
如图3，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
如图4，
同理可得，，
∴
如图5，
同理可得，，
∴
如图6，

同理可得，，
∴
综上可知，的大小为或或或诵读时间/分钟
35
40
a
50
人数/人
4
6
7
3
选项
主要原因
人数/人
A
优惠力度大、性价比高
1380
B
节约了货比三家的挑选时间和精力
C
商品介绍清晰明了、可以实时互动
1000
D
购买界面简洁易懂、下单十分方便
E
被带货主播人格魅力吸引
320
钩码质量（单位：克）
0
200
400
600
800
1000
弹簧长度（单位：厘米）
10
11
12
13
14
15
次数
A物块（单位：个）
B物块（单位：个）
弹簧长度（单位：厘米）
第一次
4
7
12
第二次
8
9
13