广东省惠州市惠阳区惠州市知行学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方运算先比较与的大小，然后再根据正数大于，大于负数，即可解答．
【详解】解：，，
，
，
在四个实数：，，，中，
，
最小的数是，
故选：．
本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键．
2. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，正确化简二次根式是解题的关键．
直接利用二次根式的性质分别化简，逐一判断即可得出答案．
【详解】A、，9的算术平方根为3，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，根号下是负数无意义，故此选项不符合题意；
D、，根号下是负数无意义，故此选项不符合题意．
故选：A
3. 下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只会改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意．
故选D．
4. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）
A. 检测某批次汽车的抗撞击能力
B. 调查全国中学生视力和用眼卫生情况
C. 调查黄河的水质情况
D. 检查我国“神舟十三号”飞船各零部件的情况
【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、测某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项不符合题意；
B、调查全国中学生视力和用眼卫生情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
C、调查黄河的水质情况，适合抽样调查，故选项不符合题意；
D、检查我国“神舟十三号”飞船各零部件的情况，适合全面调查，故选项符合题意；
故选：D．
本题主要考查的是调查的两种方式：普查与抽样调查的区别用法，掌握其适用范围是解题的关键．
5. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，结合，可求出，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，
又，
，
，
，
故选：B．
6. 若，则下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A．因为a＞b，
所以a-3＞b-3，故本选项不合题意；
B．因为a＞b，
所以-3a＜-3b，故本选项符合题意；
C．因为a＞b，
所以-a＜-b，
所以1-a＜1-b，故本选项不合题意；
D．因为a＞b，
所以，故本选项不合题意；
故选：B．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
7. 一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，
故选：D．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 不等式的解集是，则应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：先解不等式得，
∵解集为，
∴
∴．
故选B．
9. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第二象限，则m，n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，再根据第二象限内点的坐标符号可得．
【详解】解：点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点，即，
∵点Q位于第二象限，
∴，
解得：，
故选：C．
本题考查了点平移规律、平面直角坐标系的象限特点，依据题意求出点Q的坐标是解题关键．
10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五运动到点，第六次运动到点，…，按这样的运动规律，点的纵坐标是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．先探究点的运动规律，再结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象知，动点P每运动6次为一个循环，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0；
∵，
∴经过策次运动后，动点P的纵坐标是．
故选：A．
二．填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 的平方根是__________，的算术平方根是__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】先将计算出来，再求平方根；先计算，再求的算术平方根．
【详解】解：∵，
∴的平方根是；
∵，
∴的算术平方根是．
故答案为：；．
本题考查平方根和算术平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根．正确理解和掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到x轴距离是5．
故答案为：5．
本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离．
13. 如表，每一行x，y，t的值满足方程ax+by＝t．如，当第二行中的3，2，5分别对应方程中x，y，t的值时，可得3a+2b＝5．根据题意，b－a的值是 _____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：由题意得2，3，15分别对应x，y，t的值，
∴2a+3b＝15，
联立方程3a+2b＝5得
由②－①得b－a＝10，
故答案为：10．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意列出方程组求解．
14. 关于的不等式组恰好只有两个整数解，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题目给出的不等式组解出带a的解集，再根据题目描述不等式组恰好只有两个整数解，即可进一步解出的取值范围.
【详解】先根据题目给出不等式组解出带a的解集为a-1＜x6，而不等式组恰好只有两个整数解，说明不等式组两个整数解为6和5，所以4a-1＜5，则的取值范围为.
本题考查了学生根据答案来反推条件的能力，这是一道带有参数的不等式组，掌握先解出带有a的解集后通过题目限制条件来求a的范围是解决此题的关键.
15. 已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．
【详解】解：如图3，过作，过作，设，，
交于，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】首先把关于，方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【详解】解：方程组整理为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）计算：．
（2）解下列方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查的是实数的混合运算和解二元一次方程组，掌握绝对值的性质、立方根的定义、算术平方根的定义和利用代入消元法解二元一次方程组是解决此题的关键．
（1）根据绝对值的性质、立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（2）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
把①代入②得：，
解得：，
把代入①，得：，
∴这个方程组的解为．
18. 如图，，．
（1）求证：；
（2）若于点C，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据可得，结合已知条件，进而可得，根据平行线的判定定理即可得证；
（2）根据（1）的结论，结合垂直的定义即可求得的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
由（1）可知，
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）①画出三角形；
②求出三角形的面积．
【答案】（1）；
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中的平移问题，画平移图形，坐标系中的面积计算．
（1）根据平移规律，横坐标减去6，纵坐标加上2，依次计算即可；
（2）①根据画图形即可；②运用割补法计算面积即可．
【小问1详解】
解：∵任意一点，经平移后对应点为，
∴，，平移后的坐标依次为：
，
故；
【小问2详解】
①∵，，平移后的坐标依次为，
故，
画图如下：

②根据题意，．
20. 为了控制学生的书面作业量，规范中小学生的作息时间，某中学随机抽查部分学生，调查他们平均每天作业时间，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分：
平均每天作业时间分组统计表
请结合图表完成下列问题：
（1）在统计表中，m=_____________，n=_____________；
（2）扇形统计图中“B组”所对应的圆心角的度数=__________；
（3）请你补全频数分布直方图；
（4）若该校共有750名学生，如果平均每天作业时间在1.5小时以内，说明作业量对该生比较适中，请你估算这所学校作业量适中的学生人数
【答案】（1）2，20；（2）72°；（3）见详解；（4）480
【解析】
【分析】（1）根据“组别D”的频数和所占的百分比可求出调查总数，进而求出m、n的值；
（2）求出“B组”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）根据频数即可补全频数分布直方图；
（4）求出样本中平均每天作业时间在1.5小时以内的人数所占调查人数的百分比，即可估计总体中的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】解：（1）14÷28%＝50（人），n＝50×40%＝20（人），
m＝50−4−14−20−10＝2（人），
故答案为：2，20；
（2）360°×＝72°，
故答案为：72°；
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）750×＝480（名），
答：估算这所学校作业量适中的学生人数为480人．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率＝频数÷总数是正确计算的前提．
21. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你解不等式组；
（2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键．
（1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可；
（2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可；
【小问1详解】
解：
解不等式得，
∴，
∴
解不等式得，
∴，
∴
∴不等式组的解集为．
【小问2详解】
解：，
设常数“□”为m，
∵，
∴，
∴
∴不等式的解集为
又∵不等式的解集为，
而不等式组的解集为
∴，
∴．
∴．
22. 超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
（1）求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
【答案】（1）A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元；
（2）至少购进A种商品100件．
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用：
（1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
（2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
【小问1详解】
解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元，
根据题意，得，解得：，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
【小问2详解】
解：设A种商品购进a件，则B种商品件，
根据题意，得，
解得：，
答：至少购进A种商品100件．
23. 【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；
【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】[发现]平行，理由见解析；[探究]；[延伸]或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
[发现]根据角平分线的定义分别求出，，可得，即可判定平行；
[探究] 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出；
[延伸]分平分，平分，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果．
【详解】解：[发现]平行，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
[探究]如图，过M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
[延伸]如图，若平分，
∴，
同上可得：，
∴，
∴，即；
若平分，
∴，
同上可得：，
∴；
综上：与之间的数量关系为或．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、在坐标轴上，其中，，且满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段平移到．点A对应点是．点的对应点是．且、两点也在坐标轴上，过点作直线，垂足为，交于点．请在图1中画出图形，直接写出点的坐标，并证明；
（3）如图2，将平移到、点A对应点，连接、，交轴于点，若的面积等于12，求点的坐标及的值．
【答案】（1）点A的坐标为，点的坐标为
（2）图见解析，，证明见解析
（3）点的坐标为，的值为
【解析】
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值，即可得出答案；
（2）根据平移得出，，根据平行线的性质得出，即可得出；根据点的坐标确定平移方式，然后再根据平移方式，求出点D的坐标即可．
（3）过点作轴于点，根据的面积等于12，求出即可；过作于，过A作于，根据的面积等于12，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，且，
，，
点A的坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
解：如图1，由平移的性质可知：，，
，
∴，
∴，
；
∵将线段平移到，点A的对应点是．即将线段向左平移4个单位，向下平移3个单位；
故点的对应点．
．
【小问3详解】
解：如图2，过点作轴于点，
由（1）可知，A、两点坐标为，，
，，
点的坐标为，
，，
的面积等于12，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为；
过作于，过A作于，
则，，，，
，
的面积等于12，
，
即，
解得：，
，
，
即点的坐标为，的值为．
本题主要考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等，平移的性质．组别
作业时间x
人数
A
0≤x<05
m
B
0.5≤x<1
10
C
1≤x<1.5
n
D
1.5≤x<2
14
E
x≥2
4