初中苏科版2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题

这是一份初中苏科版2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题，文件包含专题08解题技巧专题利用等腰三角形的三线合一作辅助线之三大类型原卷版docx、专题08解题技巧专题利用等腰三角形的三线合一作辅助线之三大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26556" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26556 \h 1
\l "_Tc9493" 【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 PAGEREF _Tc9493 \h 1
\l "_Tc1657" 【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 PAGEREF _Tc1657 \h 14
\l "_Tc4594" 【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 PAGEREF _Tc4594 \h 24
【典型例题】
【类型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，，分别与边、交于E、F两点．下列结论：①，②，③S四边形CEDF，④始终为等腰直角三角形．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，F是边上的中点，点D，E分别在边上运动，且保持．连接，则面积的最大值为 ．

3．（2023·山东菏泽·校考三模）如图，中，，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且．求证：．
4．在中，，，点O为的中点．
(1)若，两边分别交于E，F两点．
①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则 ．
(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．
5．（2022秋·山东威海·八年级校考期中）在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．

(1)观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；
(2)观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；
(3)把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由．
6．（2023春·四川达州·八年级校考期末）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．
【类型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知，点C在边上，，点D，E在边上，，若，求的长．

2．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．
3．已知在中，，且=．作，使得．
(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；
(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．
4．（2023春·四川成都·七年级统考期末）已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；
(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
【类型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（2023春·江苏南通·七年级统考期末）如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．

(1)当时，求的度数；
(2)当时，求证：；
(3)试探究线段之间的数量关系．
【变式训练】
1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 证明，则，（即点C为的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．
2．【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下：
在和中，
平分
≌（___________）
在括号内填写全等判定方法字母简称
（___________）
在括号内填写理由依据
【问题探究】
如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：；
【拓展延伸】
如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．
3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；
(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，
①求证：；
②，，求的值．