四川省眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期6月期末联合考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
直线的方程可化为，
所以斜率为，
因为，所以.
故选：B.
2. 若向量，向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的加减法法则求解即可.
【详解】因为向量，向量，
所以.
故选：C
3. 已知直线：和直线：垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线垂直的充要条件列出关于的方程，解方程即可.
【详解】因为直线：和直线：垂直，
所以，解得.
故选：D.
4. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.
【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），
（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），
（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为．
故选：C.
5. 在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的运算法则即可得，再由三角形法则即可求得.
【详解】根据题意可得，；
再由，
可得.
故选：A
6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2，
若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，
又直线的一般方程为，
，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线即，恒过定点，
曲线即表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知当时，与曲线有两个不同交点，即实数k的取值范围是.

故选：B.
8. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为
故选：B
二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则A，B相互独立
C. 若A与B相互独立，则D. 若A与B相互独立，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】A，若，则，A错误；
B ，因为，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
10. 若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A. 线段AB中垂线方程为
B. 公共弦AB所在直线方程为
C. 若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D. 过点作圆：的切线方程为圆
【答案】BD
【解析】
【分析】线段AB中垂线即为直线，直接求解可判断A；圆和圆方程作差可判断B；令，代入圆的方程，通过方程有解判断C；通过点在圆上，直接写出切线方程可判断D.
【详解】圆：的圆心，
圆：的圆心，
对于A：线段AB中垂线即为直线，方程为，即，A错误；
对于B：圆和圆方程作差得，整理得，B正确；
对于C：令，则，代入得
，整理得，
方程有解，故，解得，
则的最大值为，C错误；
对于D：点在圆：上，
故切线方程为，即，D正确.
故选：BD.
11. 已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的纵坐标为4B.
C. 的周长为D. 的内切圆半径为
【答案】BC
【解析】
【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得；根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径.
【详解】依题意，不妨设点，由可得故，
则的面积为解得：，
对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误；
对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故，
又由知，故B项正确；
对于C选项，因点在椭圆上，故有
于是的周长为故C项正确；
对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得：
，解之得：
故D项错误.
故选：BC.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）

A. 的最小值为1
B. 四面体的体积为
C. 存在无数条直线与垂直
D. 点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
【答案】AC
【解析】
【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B；根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C；利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.
【详解】对于A：因为是正方体，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为1，故A正确；
对于B：因为是正方体，
所以平面平面，且平面，
所以平面，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，所以，所以B错误；
对于C：连接，因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，当不在线段端点时，过作交于，过作交于，平面交线段于，

因为平面，平面，
故平面，同理平面，又平面，
所以平面平面，故平面，又平面，
所以，因为点在线段上，所以存在无数条直线与垂直，故C正确；
对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，

故的外接圆半径为，
所以可得等腰的外接圆圆心为，设四面体的外接球球心为，则平面，
所以可设四面体的外接球球心为，
由，可得，解得，
所以四面体的外接球的半径为，故D错误.
故选：AC．
解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，则实数m的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意，根据椭圆方程中即可求解.
【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，
所以，且，
所以实数m的值为5.
故答案为：5.
14. 已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
因为两圆外切，所以，解得.
故答案为：2.
15. 在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是_________
【答案】
【解析】
【分析】设，则，，可得，将作为空间向量的一组基底，表示出,然后利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】设，则，，
所以，所以为直角三角形，即，
所以，
因，
所以，
因为，
所以，
,
设异面直线OB与AC所成的角为（），
则，
因为，所以，
即异面直线OB与AC所成的角为，
故答案为：.
.
16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.
【详解】由题意得，
由正弦定理得，故，
由椭圆定义可知，，
故，
又，
由余弦定理得
，
即，解得，
故，
解得，
因为，所以，解得.
故答案为：
四.解答题：
17. 已知直线经过点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用两直线平行设出直线的方程，代入点坐标即可求得直线方程；
（2）分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果.
【小问1详解】
根据题意可设直线的方程为,
将点代入计算可得，
可得直线的方程为.
【小问2详解】
若在两坐标轴上截距为0，则可得直线方程为，即；
若在两坐标轴上的截距不为0，设为，
则直线的方程为，代入点可得，
可得直线的方程为；
综上可知，直线的方程为或
18. 已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；
（2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程.
【小问1详解】
令，由M为线段的中点，，则，
而A是圆C上一动点，故，
整理得，即，
所以动点M的轨迹方程为.
【小问2详解】
由（1）知：曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外，
若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足；
若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离，
所以，此时；
综上，直线l的方程为或.
19. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元，都付2元的概率，都付4元的概率，都付6元的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率．
（2）设两人费用之和8、10、12的事件分别为、、， ， ， ，设两人费用之和大于或等于8的事件为，则，由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率．
【详解】解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元.
都付2元的概率为；
都付4元的概率为；
都付6元的概率为；
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、
；
；.
设两人费用之和大于或等于8的事件为，则
所以，两人费用之和大于或等于8的概率
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
20. 已知椭圆：，其中一个焦点坐标是，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求的方程；
（2）设直线：与交于，两点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，，即可解出得出椭圆方程；
（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.
【详解】（1）解：由题意得，，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得．
，，，，
，
∵，∴，，
所以，.
本题考查椭圆方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.
21. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
（1）求证：；
（2）若，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点E为线段中点
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明侧面，进而可得；
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角大小为可表示出关于的关系式，求解即可.
【小问1详解】
证明：连接交于点，
因，D为中点，则
由平面侧面，且平面平面，平面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，平面ABC，所以.
又，侧面，从而侧面，
又侧面，故.
【小问2详解】
假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为，
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量，
所以，解得，
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
22. 如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.

（1）证明直线过定点，并求出定点的坐标；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析，定点；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为0得解；
（2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可；
（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.
【小问1详解】
由题，圆的圆心坐标，半径为1，
所以，，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，
即，所以，
所以直线过定点；
【小问2详解】
由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为，直线过的定点为，
易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆，
，，
∴点的轨迹方程为；
【小问3详解】
设过点P的圆M的切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.