江西省吉安市峡江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份江西省吉安市峡江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．
解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（ ）
A. (2，5)B. (－8，5)C. (－8，－1)D. (2，－1)
【答案】D
【解析】
【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标．
解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．
故选D．
【点睛】本题考查点的坐标变换，熟练掌握点的坐标变换规律：左减右加，上加下减是解答的关键.
3. 若，则下列式子中错误的是（）
A. x－3>y－3B. C. x+3>y+3D. －3x>－3y
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可．
A、由于x>y，则x−3>y−3，故A正确；
B、由于x>y，则，故B正确；
C、由于x>y，则x+3>y+3，故C正确；
D、由于x>y，则−3x＜−3y，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查不等式基本性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
4. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（）
A. B.
CD.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的运用，理解题目中数量关系，列分式方程即可求解，掌握分式方程的运用是解题的关键．
解：设规定时间为天，则慢马的时间为天，快马的时间为，
∵快马的速度是慢马的速度的倍，
∴，
故选：A ．
5. 一次函数的图象如图所示，点在该函数的图象上，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察函数图象得到即可．
解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用函数图象求不等式的解集,正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
6. 如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（）个
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误；
利用：四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故④错误；
，故③正确；
过作交延长线于，根据三角形的面积公式即可得到，故⑤正确．
解：在和中，
，
，
．
可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确；
如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，
点与的距离为8，故②错误；
在中，，，，
是直角三角形，．
面积，
又等边面积，
四边形的面积为，④错误；
，③正确；
如图2，过作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 一个正方形的面积是，则此正方形的边长是_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用完全平方公式进行因式分解，从而得出答案．
解：，
即正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是关键．
8. 若关于x的分式方程有增根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
解：关于的分式方程，
去分母可化为，
又因为关于的分式方程有增根，
所以是方程根，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键．
9. 因式分解：=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
10. 用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．
【答案】36
【解析】
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
解：，是等腰三角形，
度，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
11. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判断和性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质，角平分线的性质可得，由此即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
同理，，，
∴，
∴，
故答案为： ．
12. 已知中，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与顶点对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握平移的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据含30度角的直角三角形的性质可得的值，根据平移的性质，等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，边的数量关系即可求解．
解：根据题意，，，
∴，，，
∵沿平移个单位得到，
∴，，，，，
第一种情况，如图所示，，是等腰三角形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，；
第二种情况，如图所示，，是等腰三角形，
∴，
∵，
∴；
第三种请，如图所示，，是等腰三角形，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，以点为顶点的三角形是等腰三角形时，的值为或或，
故答案为：或或 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原方程解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．
14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】分别求出两个不等式，找到不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
解：解不等式，可得
解不等式，可得，
不等式组的解集为：，
表示在数轴上为：
【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，注意“>”和“<”用空心圆点，“≥”和“≤”用实心圆点表示．
15. 先化简，再求值：，其中
【答案】；6
【解析】
【分析】根据分式的减法和除法运算法则，先化简，再代入求值，即可．
原式=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
16. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转到的位置，连接，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求出的值，连接，根据旋转的性质可得，可判定是等边三角形，根据等边三角形的性质可得垂直平分线段，结合等腰直角三角形的性质即可求解．
解：如图所示，连接，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵绕点逆时针旋转到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
17. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）如图1，点E是边上一点，请画出，并在边上画点F，使得平分的面积；
（2）如图2，点M为与网格线的交点，请画出线段，使得．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查格点作图、平行四边形的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键．
（1）先根据格点的特点作出，再根据过对角线交点的直线平分面积即可解答；
（2）根据格点的特点以及平行四边形的性质即可解答．
【小问1】
解：如图：和点F即为所求．
【小问2】
解：如图：线段即为所求．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若点F为BC的中点，求EF的长．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】（1）由AE平分∠CAB可得∠CAE＝∠BAE，由CE⊥AE可得∠AEC＝∠AED＝90°．然后根据ASA可得△AEC≌△AED，则CE＝DE．
（2）在Rt△ABC中根据勾股定理可求得AB=10，由△AEC≌△AED可得AD＝AC＝6，则BD=4，由点E为CD中点，点F为BC中点可知EF是△BCD的中位线，因此
【小问1】
证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
在△AEC和△AED中，
，
∴△AEC≌△AED（ASA），
∴CE＝DE；
【小问2】
在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵△AEC≌△AED，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB－AD＝4，
∵点E为CD中点，点F为BC中点，
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
19. 如图，△ABC在平面直角坐标系中，A、B、C三点都在格点上．
（1）请写出△ABC各顶点的坐标；
（2）若把△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A′B′C′，写出A′、B′、C′的坐标，并在图中画出平移后图形；
（3）求出三角形ABC的面积．
【答案】（1）A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2）；（2）（0，1）、（5，4）、（2，5），画图见解析；（3）7
【解析】
【分析】（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）A（﹣2，﹣2），B（3，1），C（0，2）；
（2）如图，即为所求，（0，1）、（5，4）、（2，5）；
（3）三角形ABC的面积＝5×4﹣×5×3﹣×1×3﹣×4×2＝7．
【点睛】本题主要考查作图－平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，正确作出图形，属于常考题型．
20. 某中学初三学生在开学前去商场购进两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买款书包共花费元，购买款书包共花费元，且购买款书包数量是购买款书包数量的倍，已知购买一个款书包比购买一个A款书包多花元．
（1）求购买一个款书包、一个款书包各需多少元？
（2）为调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了两款书包，每款书包不少于个，总花费恰好为元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，款书包销售单价比第一次购买时提高了，款书包按第一次购买时销售单价的九折出售，求此次款书包有几种购买方案．
【答案】（1）购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元
（2）此次A款书包有三种购买方案
【解析】
【分析】本题主要考查分式的运用，不等式的运用，二元一次方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握分式方程的运用是解题的关键．
（1）设B款书包有x个，则A款书包有个，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购买m个A款书包，n个B款书包，根据数量关系列式，再根据每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，由此即可求解．
【小问1】
解：设款书包有个，则款书包有个，根据题意列方程得，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴款书包有（个），款书包有个，
∴，，
∴购买一个款书包需要元，购买一个款书包需要元；
【小问2】
解：设购买个款书包，个款书包，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴能被整除，
∴或或，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴此次款书包有三种购买方案．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．，得．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
例如：将式子分解因式
解：．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）若可分解为两个一次因式的积，求整数所有可能的值．
【答案】（1）
（2）整数的值可能为或或或
【解析】
【分析】本题考查阅读理解，根据材料中“十字相乘法”定义及解析过程解决问题即可，理解“十字相乘法”分解因式的方法是解决问题的关键．
（1）阅读材料，理解“十字相乘法”，按方法分解因式即可得到答案；
（2）阅读材料，理解“十字相乘法”，按方法分解因式即可得到答案．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：，
或或或，
故整数的值可能为或或或．
22. 在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标；
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）把，分别代入直线，即可求出对应和的值，即得到、的坐标，解直线和直线的方程组即可求出坐标；
（2）设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式；
（3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质分情况写出点的坐标即可．
【小问1】
解：直线，当时，，当时，，
，，
联立方程组，解得，
，
综上所述，，，；
【小问2】
解：设，
的面积为12，
，解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得，
解得，
，即直线的函数表达式是；
【小问3】
解：存在点，分以下三种情况：
①以为对角线时，
，，
点即为点向上平移6个单位，
；
②以为对角线时，
，，
点即为点向下平移6个单位，
；
③以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．
六、解答题（本大题共12分）
23. （1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位线的性质可得，可判定是等腰三角形，由此即可求解；
（2）根据中位线的性质可得，结合（1）中的知识即可求解；
（3）取的中点，根据（2）的证明可得是等边三角形，根据点是的中点，可得，可求出，由此即可求解．
解：（1）是的中点，是的中点，
∴，
同理，，
，
.
；
（2）是的中点，是的中点，
∴，
∴，
同理，，
由（1）可知，
∴；
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
已知是的中点，
∴，，
同理，，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
是等边三角形，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查中位线的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定，掌握中位线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．