陕西省西安市西安高新区第三初级中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市西安高新区第三初级中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，拓展题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024年是农历甲辰年(龙年)，为寄托对新的一年的美好憧憬，人们会制做一些龙的图标、饰品、窗花等．下列龙的图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．
解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选D．
2. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算以及完全平方公式，合并同类项；根据同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，幂的乘方进行计算即可求解．
解：A．，故该选项不正确，不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C
3. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得，，再结合角的和差关系可得答案．
解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺两边互相平行，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
4. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一条直线上，，，添加下列一个条件，不能判定的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
解：∵，
∴，即，
添加条件，结合，，不可以利用证明，故A符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故C不符合题意；
添加条件，结合，，可以利用证明，故D不符合题意；
故选：A．
5. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
∴，
故选B．
6. 小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用拼接法得出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．
解：∵经过拼接阴影部分的面积＝4个小正方形的面积，
网格纸板的总面积＝9个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，解题的关键是求出阴影部分的面积．
7. 为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（）
A. 在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量
B.随的增大而增大
C. 当刹车时车速为时，刹车距离是
D. 在限速的高速公路上，最大刹车距离为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可得刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，逐项判断即可得出答案．
解：在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故A正确，不符合题意；
由表格可得：随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，故B正确，不符合题意；
当刹车时车速为时，刹车距离是，故C错误，符合题意；
在限速的高速公路上，最大刹车距离为，故D正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（）秒时，与全等．
A. 12或B. 2或或10C. 1或D. 2或或12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
当，
则，
∴，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 在，，，，，，中无理数有_______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．也考查了求算术平方根．
解：∵，
∴在，，，，，，中无理数有，，，共个，
故答案为：．
10. 某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按8.5折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件，则应付货款y（元）与商品件数x的关系式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，所以应付货款超过100的按8.5折优惠后的部分，进行计算即可解答．
解：，
，
，
应付货款（元与商品件数的函数关系式是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．
11. 请将“”“”填入方框内，则代数式能构成完全平方式的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式、根据概率公式求概率，先写出所有可能的情况，从中找出符合题意得情况，再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
解：由题意得：填入的情况有：，，，，共种情况，
其中，，故共种情况能构成完全平方式，
∴代数式能构成完全平方式的概率为，
故答案为：．
12. 规定一种新运算，如，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义直接代入求解即可得到答案；
】解：由题意可得，
，
故答案：；
【点睛】本题考查根据新定义计算，解题的关键读懂新定义．
13. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等可得结论．
解：，，，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，动点在内，且使得的面积为3，点为动点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，作于，先由三角形面积公式得出，作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点，则，作于，交于，连接，当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．
】解：如图，作于，
，
∵的面积为3，
∴，
∴，
作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点，
∴，，
∴，
作于，交于，连接，
当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，
∵在中，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共58分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解．
解：
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项，最后计算除法即可化简，根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：
，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴原式．
17. 已知：，过点A画的平行线
（说明：只允许尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见
【解析】
【分析】用尺规做平行一般要做角相等；用到知识点为：内错角相等，两直线平行．
可做的内错角，作直线即可．
解：如图，直线即为所求．
18. 如图，点、在上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，由题意得出，由平行线的性质得出，利用证明，得出，即可得证．
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在的三个顶点在格点上．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标________．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求．
【小问1】
解：如图，即为所求；
【小问2】
如图，点即为所求；
由图可知：．
20. 把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于．
（1）求证：长方形各内角均为；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解．
【小问1】
证明：由折叠的性质知，，．
四边形是长方形，
∴，
在和中，
，
，
；
【小问2】
解：四边形是长方形，
，，
，
由（）知，
，
，
，
∴．
21. 吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点处，为附近的一条街道，已知点与直线上两点、的距离分别为和，，若吊车周围以内会受噪声影响．
（1）求的度数；
（2）街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由．
【答案】（1）
（2）会受到影响，会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）过点作于点，根据等面积法求出，结合题意可得街道上的居民会受到噪声的影响，当，时，此范围内的居民会受影响．由勾股定理得，推出，即可求解．
【小问1】
解：，，，
，，
是直角三角形，
；
【小问2】
街道上的居民会受到噪声的影响，
理由如下：如图，过点作于点，
由（1）得，
，
，
解得：，
吊车周围以内会受到噪声的影响，
街道上的居民会受到噪声的影响．
当，时，此范围内的居民会受影响．
，
，
即会影响位于吊车垂直位置左右街道上的居民，即范围内的居民会受影响．（说法合理即可）
22. 某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离书店的路程，（单位：米）与出发时间单位：分）之间的函数图象如图所示．
（1）学校和文具店之间的路程是________米，小亮的速度是小明的速度的_________倍；
（2）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距30米．
【答案】（1），2
（2）小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距30米
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据函数图象中的数据和题意，可直接写出学校和文具店之间的路程以及小亮的速度是小明速度的几倍；
（2）先求出小明与小亮的速度，设小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟两人相距30米，分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【小问1】
解：由图象可得：
学校和文具店之间的路程是米，
∵小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具(购买文具时间忽略不计)，然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校，
∴小亮的速度是小明速度的2倍；
【小问2】
解：设小明的速度为米/分钟，则小亮的速度为米/分钟，
由题意得：，
解得：，
∴小明的速度为米/分钟，则小亮的速度为米/分钟，
设小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟两人相距30米，
当小亮未达到文具店时，，
解得：；
当小亮从文具店返回学校时，，
解得：，
综上所述，小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距30米．
23. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：平分．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解；
（2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证；
【小问1】
分别为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2】
证明：过点作的垂线，垂足分别为点，
，
，
又，
，
，
，
同理，
平分．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键．
24. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12－x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB＋DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题：
（1）代数式的最小值为；
（2）变式训练：求代数式的最小值；
（3）拓展练习：解方程（利用几何方法解答）
【答案】（1）13；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
（1）AG＝3＋2＝5，GD＝12
AD＝
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如（1）图，
AC＝4，DF＝2，CF＝10
AG＝4＋2＝6，GD＝10
AD＝
∴的最小值是
（3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝3，BC＝4，如图所示：
设CD＝x，则AD＝，BD＝
∴AB＝
∵
∴∠ACB＝90°
∴
∴
另外，也满足方程．
∴方程的解是．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
四、拓展题（本大题共2小题，共20分）
25. （1）若多项式能被和整除，则_________．
（2）如图，在中，，为内一点，使得，，则的度数为_________．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设多项式的第三个因式为，根据题意得出，从而得出，，，求出、、，代入计算即可得出答案；
（2）作于，延长交于，连接，先证，得，再证明得，则，然后求出，即可得出答案．
解：（1）设多项式的第三个因式为，
由题意得：，
∴，，，
解得：，，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，作于，延长交于，连接，
，
∵，
∴是等腰三角形，，，
∵，
∴垂直平分，，
∴，
∴,
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
26. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围
第一小组得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把，，转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________；
【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________；
①；②；③；④
【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．
【答案】（1）；（2）②③；（3）
【解析】
【分析】（1）延长到，使得，证明得出，结合三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，，即可得出答案；
（3）延长至，使，连接，，得出，，，证明，得出，，，从而得出，求出，再根据计算即可得出答案．
（1）解：延长到，使得，
，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，延长至，使，连接，
，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴正确选项的序号是②③，
故答案为：②③；
（3）如图，延长至，使，连接，
，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
刹车时车速
0
10
20
30
40
50
刹车距离
0
2.5
5
7.5
10
12.5