新高一暑期数学培优讲义

这是一份新高一暑期数学培优讲义，共95页。学案主要包含了集合的基本运算等内容，欢迎下载使用。
集合 1
充分条件与必要条件；全称量词与存在量词 10
不等式性质与基本不等式 16
二次函数与一元二次方程、不等式 23
函数的概念及其表示 29
函数的基本性质 38
幂函数、函数的应用（一） 48
指数与指数函数 55
对数与对数函数 63
函数的应用（二） 73
任意角和弧度制 81
三角函数的概念 87

集合
专题一集合的概念
1.集合的含义
元素：我们把研究对象统称为元素；
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）；
表示：通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母表示集合中的元素.
2.元素与集合的关系
（1）如果是集合的元素，就说属于，记作.
（2）如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
3.集合中元素的特性：确定性；互异性；无序性.
4.集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图法；特殊符号表示法.
—不含任何元素的集合叫做空集.
题型1 元素与集合关系的判断与应用
例1.（多选题）下列选项中是集合中的元素的是（ ）
A. B. C. D.
练习1. 已知均为非零实数，集合，则集合A中元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
例2.若，则实数的取值范围是___________.
练习2.若，则实数_____________.
题型2已知相等集合求参数
例3.设,若集合，则=______.
练习3.含有三个实数的集合满足，则=（ ）
A. B. C. D.
题型3集合的表示方法
例4.若集合,集合,则B=( )
A. B. C. D.
练习4.将集合用列举法表示为______________________.
题型4集合与方程的综合问题
例5.若集合中只有一个元素，则=( )
A.4 B.2 C.0 D.0或4
练习5.若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是_____________
易错点1.忽略集合中元素的互异性
例6.已知集合，且,则实数的值为（ ）
A.3 B.2 C.0或3 D.0或2或3
易错点2.忽略元素的形式
例7.集合的元素个数是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
专题二集合的基本关系
1.子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作(或)读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.集合相等：一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若，且，则A=B.
3.真子集：如果集合，存在元素,就称集合A是集合B的真子集，记作(或)，读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.
4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
题型1 集合间的关系判断
例1.关于以下集合关系表示不正确的是（ ）
A. B. C. D.
练习1.已知集合,,则下列结论错误的是（ ）
题型2 由集合间关系确定参数
A. B. C. D.
例2.已知集合，，若,求实数的取值范围.
练习2.已知集合.
若,求实数的取值范围；
若，且,求实数的取值范围.
题型3 集合问题方程化的思想
例3.已知集合.
（1）若A是空集，求实数满足的条件；
（2）当A中有且只有一个元素时，求实数的值，并求此元素；
（3）当A中至少有一个元素时，求实数满足的条件.
易错点1.混淆属于关系和包含关系
例4.如下四个结论中，正确的有（ ）
A. B. C. D.
易错点2.忽略对空集的讨论
例5.已知集合,，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
易错点3.利用数轴求参数时忽略端点值能否取到
例6.已知集合，,若,则的取值范围为____________.
专题三 集合的基本运算
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作,读作“A并B”，即.如图1
2.交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作,读作“A交B”，即.如图2
3.全集：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
4.补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，简称为集合A的补集，记作,即,如图3.
图3
图2
图1
题型1 集合的综合运算
例1.已知全集，集合，,求,,.
题型2 图示法的应用
例2.调查50名学生对A、B两事件的态度，由如下结果：赞成A的人数是全体的，赞成B的比赞成A的多3人，对A，B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的多1人，问对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
练习1.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_______人.
题型3 已知集合间的运算关系求参数问题
例3.设，.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若,求实数的值.
练习2.设集合，，若,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
练习3.设集合，，则使成立的的取值集合为_______________.
题型4 补集思想的应用——正难则反
例4.若集合中至多有1个元素，则实数的取值范围为___________.
练习4.已知集合，，若，求实数的取值范围.
易错点1.忽略元素的性质
例5.已知,集合,,若有三个元素，则=( )
A. B. C. D.
易错点2.忽略对空集的讨论
例6.已知,，若,则实数的取值范围为_____________.

第二讲充分条件与必要条件，
全称量词与存在量词
充分条件与必要条件的判断
充分条件与必要条件
充要条件的判断
常用逻辑用语
全称量词与存在量词命题
全称量词与存在量词
全称量词与存在量词命题的否定
专题一 充分条件与必要条件
如果，则是的充分条件，同时是的必要条件；
如果，但，则是的充分不必要条件；
如果，且，则是的充要条件；
如果，但，则是的必要不充分条件；
如果，且，则是的既不充分又不必要条件；
题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1.设，则“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
练习1.已知，，则“”是“”的_________条件.
例2.给定三个命题若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2.若A是B的充分条件，D是C的必要条件，C是B的充要条件，则D是A的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型2充分条件与必要条件的探求
例3.（多选）的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
练习3.已知集合,,则“且”成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
题型3充要条件的证明
例4.求证：“”是“方程有两个不相等的实数根”的充要条件.
题型4利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例5.已知，，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______________.
练习4.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
易错点1.混淆充分条件和必要条件的含义
例6.使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
易错点2.条件探求中忽视要求
例7.一次函数的图像同时经过第一、三、四象限的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
练习5.一次函数的图像同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
专题二全称量词与存在量词
1.全称量词和存在量词：
2.全称量词命题和存在量词命题：
3.全称量词命题和存在量词命题的否定：
题型1全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例1.已知命题，命题，则（ ）
A.命题都是真命题 B.命题是真命题，是假命题
C.命题是假命题，是真命题 D.命题都是假命题
练习1.（多选）下列命题是真命题的是（ ）

存在一个四边形不是平行四边形
在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点
题型2含有一个量词的命题的否定
例2.写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）每一个素数都是奇数；
（2）与同一条直线垂直的两条直线平行；
（3）有些实数的绝对值是正数；
（4）某些平行四边形是菱形；
练习2.已知命题则为（ ）
A. B.
C. D.
题型3与全称量词、存在量词有关的参数问题
例3.已知，若和都是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
练习3.已知，若命题，命题至少有一个为真命题，则实数的取值范围为______________.
易错点1.对含有一个量词的命题否定不完全
例4.命题“”的否定是_______________________.
易错点2.忽略否定的范围
例5.若命题则_______________________.

第三讲 不等式性质与基本不等式
比较实数的大小
不等式性质
不等式性质的应用
基本不等式的变式与拓展
最值定理
基本不等式
基本不等式的实际应用
专题一不等式性质
1.不等式的基本性质
（1）.
（2）.
（3）.
.
（4）.
.
（5）
（6）
（7）.
（8）.
（9）.
2.比较实数大小的常用方法
（1）作差法：作差——变形——判断差的符号——得出结论；
（2）作商法：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论；
（3）介值比较法：
题型1实数的大小比较
例1.已知,试比较与的大小.
练习1.已知,,则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
练习2.已知,,则与的大小关系是（ ）
B. C. D.不确定
题型2不等式性质的应用
1.利用不等式的性质比较大小
例2.若，则一定有（ ）
A. B. C. D.
练习3.（多选）若,则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
2.利用不等式的性质求范围
例3.（1）已知,,求,,的取值范围；
（2）已知,,求的取值范围.
例4.已知,,则的取值范围是_________________.
练习4.已知,,求的取值范围.
易错点1.忽略不等式性质成立的条件
例5.给出下列命题：
①若则；
②若则；
③若且则；
④若则.其中真命题的序号是_____________.
易错点2.误用同向不等式的性质
例6.已知,,求的取值范围.
专题二基本不等式
1.重要不等式
有当且仅当时，等号成立.
2.基本不等式
当且仅当时，等号成立.
3.基本不等式的重要变形
当且仅当时，等号成立.
题型1利用基本不等式判断命题真假
例1.下列命题中正确的是（ ）
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
题型2利用基本不等式求最值
1.裂项拆项
例2.求的最小值为______________.
练习1.设,则的最小值为___________________.
2.分组并项
例3.若为正数，则的最小值为_____________.
3.配凑法
例4.的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例5.已知,则的最大值为___________.
例6.已知实数满足,且，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
练习2.已知,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
练习3.已知,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.多次应用基本不等式法
例7.已知，则的最小值为____________.
题型3基本不等式在实际问题中的应用
题型3.基本不等式在实际问题中的应用
例8.化工厂要建造一个容积8立方米，深度2米的无盖长方体水池，已知池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，设水池底面一边长为米，水池总造价为元，求关于的函数关系式，并求出水池的最低造价.
题型4利用基本不等式求解恒成立问题
例9.设实数为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
易错点1.忽略应用基本不等式的前提条件
例10.设函数,则（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最小值
易错点2.忽略等号成立的条件
例11.已知，则的最小值为__________.

二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式的解法
三个“二次”的关系
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式恒成立问题
高次（或分式）不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
求一元二次不等式解集的步骤：
一化：化二次项的系数为正数；
二判：判断对应方程的根；
三求：求对应方程的根；
四画：画出对应函数的图像；
五解集：根据图像写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，大于取（根）两边，小于取（根）中间.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的关系
题型1一元二次不等式的解法
1.不含参数的一元二次不等式的解法
例1.不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
2.已知一元二次不等式的解集求参数问题
例2.若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________.
3.含参数的一元二次不等式的解法
例3.解关于的不等式.
练习1.解关于的不等式.
练习2.解关于的不等式.
题型2一元二次不等式恒成立问题
1.在R上恒成立问题
例4.若不等式对一切实数恒成立，则的取值范围_______________.
练习3.若对任意实数，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_________________.
2.在某范围内恒成立问题
例5.已知,若时,恒成立,求实数的取值范围.
练习4.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
练习5.若当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.
题型3高次（或分式）不等式的解法
求
例6.解下列关于的不等式
（1） （2）
（3） （4）
练习6.解下列关于的不等式
（1） （2）
（3） （4）
例7.若，解关于的不等式
易错点1.忽略二次项系数的讨论
例8.若集合,则实数的取值范围是__________________.
易错点2.解分式方程忽略分母不为0的情况
例9.解不等式
易错点3.分式方程右边不为0时不能等价代换
例10.解不等式

函数的概念及其表示
定义域
值域
函数三要素
函数的概念
对应关系
函数相等
函数
区间
抽象函数与复合函数
专题一函数的概念
1.函数的概念
一般地,设是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个元素,按照某种确定的对应关系,使在集合B中都有唯一确定的元素和它相对应,那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作,.
2.函数的三要素
函数中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域;是对应关系.
3.函数相等
如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数是同一函数，即函数相等.
4.区间
设而且，我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，.
（4）大于某个数到正无穷用“”来表示，小于某个数到负无穷用“”来表示
如实数集可以用区间来表示.
5.抽象函数与复合函数
1.抽象函数：没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2.复合函数：形如的函数叫做复合函数.
题型1函数概念的理解
例1.（多选）下列对应关系是从集合A到集合B的函数的有（ ）
A.
B.
C.
D.
题型2求函数的定义域
1.求常见函数的定义域
例2.求下列函数的定义域：
（1） （2）
（3） （4）
2.求抽象函数或复合函数的定义域
例3.（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________________.
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________________.
（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域为________________.
（4）设函数,则的定义域为____________________.
练习1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________.
练习2.若函数的定义域是,则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
题型3求函数值
例4.已知,.
（1）求和； （2）求,； （3）若,求.
题型4求函数的值域
例5.求下列函数的值域.
（1）；
（2）；
（3）
练习3.求下列函数的值域.
；
；
题型5判断相等函数
例6.判断下列各组函数是不是同一函数
（1）
（2）
（3）
练习4.下列各组函数表示同一函数的是（ ）




易错点1.用换元法求值域忽略中间变量的取值范围
例7.求函数的值域.
易错点2.误认为f(g(x))与f(h(x))中“x”含义相同
例8.若函数的定义域为，则的定义域为______________.
专题二函数的表示法
1.函数的三种表示方法：
①解析法：用解析式来表示自变量与函数值之间的对应关系.
②列表法：用表格来表示自变量与函数值之间的对应关系.
③图像法：用图像来表示自变量与函数值之间的对应关系.
2.分段函数：在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.
题型1求函数解析式
1.待定系数法求解析式
例1.已知一次函数满足则的解析式为__________________.
练习1.已知二次函数满足,,,则二次函数的解析式为_____________.
2.换元法、配凑法求解析式
例2.已知，求的解析式.
练习2.已知,则当,且时,=________________.
3.消元法（解方程组法）求解析式
例3.若满足关系式，求函数的解析式.
练习3.已知,其中,则函数的解析式为______________.
题型2分段函数
例4.已知函数
（1）求的值；（2）若,求.
练习4.已知,则等于（ ）
A. B. C. D.
易错点1.求解析式时忽略函数的定义域
例5.已知，则函数的解析式为________________________.
易错点2.对分段函数理解有误
例6.已知函数,若则实数的值为（ ）
A. B. C. D.

第六讲函数的基本性质
单调性的定义
判断函数单调性
函数的单调性与最值
求函数单调区间和最值
复合函数的单调性判断
函数的基本性质
奇偶性的定义
奇偶性的图像与性质
函数的奇偶性
函数奇偶性的判断
专题一函数的单调性与最值
1.函数的单调性
（1）一般地，设函数的定义域为:
①如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；
②如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有,那么就说在区间上是减函数.
（2）如果函数在某个区间上是增函数或减函数，就说在这一区间上具有单调性，区间叫的单调区间.
2.函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
，都有;
,使得.
那么，我们称是函数的最大值（最小值）.
题型1函数单调性的判断及单调区间的求解
1.定义法判断函数单调性
例1.判断函数在区间上的单调性,并用单调性的定义证明.
练习1.用定义法证明函数在上的单调性.
2.图像法判断函数的单调性
例2.求下列函数的单调区间
（1） （2）
3.判断复合函数的单调性
例3.求的单调递增区间.
练习1.求函数的单调递增区间.
题型2.求函数的最值
例4.求函数的最小值.
例5.求函数在区间的最大值与最小值.
例6.已知函数,,求函数的最小值.
例7.已知函数,,的最小值为,求的函数表达式.
题型3函数单调性的应用
1.利用函数的单调性求参数的取值范围
例8.函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
练习2.函数在区间上有最大值,最小值,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.利用函数的单调性比较大小、解不等式
例9.已知是定义在区间上的增函数,且,则的取值范围为________________.
易错点1.忽略定义域求错单调区间
例10.函数的单调区间为______________.
易错点2.忽略参数的分类讨论
例11.已知一次函数在上的最大值为9.则实数的值为_______.
专题二函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
一般地，设函数定义域为（关于原点对称），如果，都有，且，那么函数叫偶函数.
一般地，设函数定义域为（关于原点对称），如果，都有，且，那么函数叫奇函数.
2.奇偶函数的图像与性质
（1）奇函数的性质
①定义域关于原点对称；
②奇函数的图像关于原点对称；
③在定义域内，；
④若0属于定义域，一定有.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性
（2）偶函数的性质
①定义域关于原点对称；
②偶函数的图像关于y轴对称；
③在定义域内，.
④偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性
3.函数奇偶性的判断
一看定义域：定义域具有对称性，即.
定义域不关于原点对称时，是非奇非偶函数，
如是偶函数，但是是非奇非偶函数.
二看等式：当的定义域关于原点对称时，要看与的关系.
若，则是偶函数.
若或，则是奇函数.
若，则是既是奇函数又是偶函数.
若，则是非奇非偶函数.
题型1函数奇偶性的判断
例1.判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
练习1.判断下列函数奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
题型2奇偶函数图像的应用
例2.已知是定义在上的奇函数，当时,的图像如图1所示，那么的值域是_________________.
图2
图1
练习2.(多选)已知定义在区间上的一个偶函数,它在上的图像如图2，则下列说法正确的有（ ）
这个函数有两个单调递增区间
这个函数有三个单调递减区间
这个函数在其定义域内有最大值7
D. 这个函数在其定义域内有最小值-7
题型3函数奇偶性的应用
1.利用奇偶性求参数的值
例3.已知函数为奇函数，则实数（ ）
A. B. C. D.
练习3.若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
2.利用奇偶性求函数的值
例4.已知,且,则（ ）
A. B. C. D.
练习4.已知是奇函数,,则（ ）
A. B. C. D.
3.利用奇偶性求函数解析式
例5.已知是定义在上的奇函数，且当时,,则在上的解析式为_______________.
练习5.已知是在上的偶函数，且当时,,则当时,=_______________.
题型4函数奇偶性的综合应用
1.函数奇偶性与单调性的综合
例6.已知函数在定义域上既是奇函数,又是减函数,若，则实数的取值范围为_________________.
练习6.定义在上的偶函数在区间上单调递减，若,则实数的取值范围为_______________.
2.函数奇偶性与对称性的综合
例7.定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
练习7.定义在上的偶函数满足,且在上单调递增,设,,,则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
易错点1.含参数函数的奇偶性判断时忽略对参数的讨论
例8.判断函数的奇偶性.
易错点2.未综合考虑奇偶函数的对称性而致错
例9.设为奇函数,且在内是减函数,,则的解集为（ ）
A. B.
C. D.

第七讲幂函数，函数的应用（一）
幂函数的概念
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数的性质运用
分段函数模型
函数的应用
“对勾”函数模型
专题一幂函数
1.幂函数的概念
1.幂函数的定义：
一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.
2.幂函数的特征：
①的系数为1；②的底数是自变量；③的指数为常数.
只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如,，等函数都不是幂函数.
幂函数的图像
常见五种幂函数图像：
幂函数图像分布特点：
对于,当时,的图像是一条直线；
当时,的图像是一条不包含的直线；
当为其他值时，相应的幂函数图像如下表：
3.幂函数的性质
题型1幂函数的概念
例1.函数是幂函数，则（ ）
A. B. C. D.
练习1.若幂函数的图像经过点，则其定义域为（ ）
A. B.
C. D.
题型2幂函数的图像
例2.幂函数的大致图像为图中（ ）
A. B.
C. D.
题型3幂函数的性质与应用
1.比较幂的大小
例3.比较下列各题中两个数的大小
（1）,；
（2）,；
（3），
2.利用幂函数性质求参数值或取值范围
例4.若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______________.
例5.已知幂函数在上为减函数，则实数__________.
练习2.已知幂函数的图像关于原点对称,且在上函数值随的增大而增大.（1）求的解析式；（2）求满足的的取值范围.
易错点1.忽视幂函数的图像特点
例6.若幂函数的图像不过原点，则的取值是（ ）
A. B. C. D.
易错点2.忽视幂函数的性质特点
例7.若,求实数的取值范围.
专题二：函数的应用（一）
解决函数应用问题的基本步骤
实际问题
数学模型的解
实际检验
推理
抽象概括
还原说明
分析转化
演算
实际问题的解
数学模型
题型1“对勾”函数模型的实际应用
例1.农民老王计划建一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道，如图所示.设温室的一边长度为米.
（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域.
（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值为多少？
养殖池
养殖池
题型2分段函数模型的应用问题
例2.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.
已知总收益（总收益=总成本+利润）满足函数：其中是仪器的月产量.
将利润表示为月产量的函数.
当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
易错点1.忽略限制条件
H
D
A
例3.如图，有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知BC,AB=2,且BE=BF=DH=DG,设BE=,绿地面积为,当BE为何值时,绿地面积最大？
G
E
C
B
F

第八讲指数与指数函数
n次方根与根式
指数
指数幂的运算性质
指数函数的定义
指数函数
指数函数的图像与性质
专题一指数
1.n次方根的定义与性质
（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
（2）性质：①正数的偶次方根有两个，互为相反数，正数的奇次方根是正数；
②负数没有偶次方根，负数的奇次方根是负数；
③0的任何次方根都是0.
2.根式的定义与性质
（1）定义：当有意义时，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
（2）性质：①②.
3.指数幂的运算性质
（1）分数指数幂：①正分数指数幂：；
②负分数指数幂：.
（2）有理数指数幂的运算性质:①;
②;③.
题型1 化简与求值
例1.化简下列各式.
（1）;
（2）;
（3）;
练习1.化简的结果等于（ ）
A. B. C. D.
练习2.化简.
题型2 含附加条件求值
例2.若，则下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
练习3.已知是方程的两个根，且，则的值为_____.
易错点1.忽略偶次算术根非负
例3._______________.
易错点2.用错指数幂的运算性质
例4.已知，化简_____________.
专题二指数函数
1.指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图像与性质
题型1 指数函数的概念
例1. 若函数是指数函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
练习1.已知函数若，则（ ）
A. B. C. D.
题型2 指数函数的图像
例2.函数的图像过定点_____________.
练习2.若函数的图像不经过第二象限，则有（ ）
A. B.
C. D.
例3.函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
题型3 求指数型复合函数的定义域与值域
例4.求下列函数的定义域和值域
（1） （2）

练习3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
练习4.函数的值域是______________.
题型4 指数函数单调性的应用
例5.比较下列各题中两个值的大小
（1） ； （2）； （3）.
练习5.比较下列各组值的大小
（1）； （2）； （3）.
例6.若函数是指数函数.
（1）求的值；
（2）求解不等式.
题型5 指数型复合函数的奇偶性
例7.设函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）若，判断函数的单调性，并求不等式的解集.
练习6.已知函数.
判断的单调性；
判断的奇偶性；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
易错点1.忽略对底数的分类讨论
例8.已知函数在上恒有，则实数的取值范围为__________________.
易错点2.换元时忽略指数函数的值域
例9.函数的值域为__________________.

第九讲对数与对数函数
对数的概念
对数
对数的运算性质
对数函数的概念
对数函数
对数函数的图像与性质
反函数
不同函数增长的差异
专题一对数
1.对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底N的对数，记作.其中叫做对数的底数，N叫做真数.
2.两个重要对数
（1）常用对数：以10为底数的对数;
（2）自然对数：以无理数为底数的对数.
3.对数的运算性质
如果，且，那么：
①;
②;
③.
换底公式：
由换底公式可得推论：①；②
题型1 对数的运算性质的应用
例1.化简：（1）； （2）；
（3）； （4）.
练习1.若，则_____________.
题型2 换底公式的应用
例2.计算：.
练习2.计算：
题型3 有附加条件的对数求值问题
例3.已知且,则的值为______________.
练习3.设且则（ ）
易错点1.忽略对数式对底数与真数的限制条件
例4.若，则的值为___________.
例5.方程的解为___________.
专题二对数函数
1.对数函数的概念
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.
2.对数函数的图像与性质
题型1 对数型复合函数的定义域
例1.求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
练习1.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
题型2 对数函数图像的应用
例2.函数的图像大致是（ ）
A. B.C. D.
练习2.若函数是减函数，那么函数的图像是（ ）
A. B. C. D.
练习3.函数的图像如图所示，则的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
题型3 对数函数单调性的应用
1.对数型复合函数的单调性及最值
例3.求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
练习4.函数在区间上单调递减，则的范围是________.
2.对数式的大小比较
例4.比较下列各组中两个值的大小
（1）； （2）；
（3）； （4）.
练习5.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
题型4 对数型复合函数的奇偶性
例5.已知函数.
（1）若为奇函数，求的值；（2）若，求实数的取值范围.
易错点1.忽略对底数的讨论致错
例6.函数在上的最大值与最小值的差是1，则的值为__________.
易错点2.忽略复合函数中函数的值域而致错
例7.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
易错点3.忽略复合函数中函数的定义域而致错
例8.若函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
专题三反函数及不同函数增长的差异
1.反函数
反函数的定义：一般地，对于函数,设它的值域为.我们根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到.如果对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一确定的值与它对应，那么就表示是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作.
反函数的性质：
（1）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称.
（2）若互为反函数的两个函数是同一函数，则该函数的图像关于直线对称.
（3）若函数图像上有一点，则必在其反函数的图像上.
（4）互为反函数的两个函数单调性相同.
2.不同函数的增长差异
一次函数、指数函数和对数函数的增长趋势比较：
一次函数、指数函数和对数函数的增长差异：
一般地，在区间上，尽管函数，，都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度会越来越慢，因此，总会存在一个，当时，就有.
题型1 求函数的反函数
例1.函数的反函数是（ ）
A. B.
C. D.
题型2 反函数的应用
例2.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
练习1.设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则=（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
题型3 三种函数的图像与性质应用
例3.若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
练习2.函数与函数在区间上增长较快的是____________.

第十讲函数的应用（二）
函数的零点与方程的解
二分法
函数的应用（二）
函数模型的应用
专题一函数的零点与方程的解
1.函数的零点
对于一般函数，我们把使的实数叫做的零点.
2.函数的零点与方程的解的关系
方程有实数解函数有零点函数的图像与轴有交点.
3.函数零点存在定理
如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解.
题型1 求函数的零点
例1.函数的零点为____________.
练习1.函数的零点是____________.
题型2 零点存在定理的应用
例2.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
练习2.函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
例3.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
练习3.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
题型3 利用图像交点解决函数零点问题
例4.已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
练习4.函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C.3 D.4
例5.已知函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
练习5.已知函数若方程恰有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
易错点1.不能正确理解零点的概念
例6.函数的零点是（ ）
A. B. C. D.
易错点2.错用零点存在定理
例7.（多选）若函数的图像在R上连续不断，且满足，则下列说法错误的有（ ）
A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
专题二二分法
1.二分法的定义
对于在区间上图像连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证.
（2）求区间的中点.
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令；
（4）判断是否达到精确度：，则得到零点近似值,否则重复（2）~（4）.
题型1 用二分法求方程的近似解
例1.利用计算器求方程的正解的近似值（精确度为0.1）.
练习1.利用计算器求方程的近似解（精确度为0.1）
题型2 二分法的实际应用
例2.现有12个小球，从外观上看完全相同，除了一个小球质量较小，其余的小球质量均相同，用同一架天平称几次能找出这个不符合的小球？
易错点1.忽略二分法的应用条件而致错
例3.下列区间不能用函数零点存在定理判断函数是否有零点的是（ ）
A. B. C. D.
专题三函数模型的应用
1.几类常见的函数模型
（1）一次函数模型：
（2）反比例函数模型：
（3）二次函数模型：
（4）指数型函数模型：
（5）对数型函数模型：
（6）幂型函数模型：
（7）对勾函数模型：
（8）分段函数模型：这个模型是以上两种或两种以上模型的综合.
2.建立函数模型解决实际问题的一般流程
画散点图
选择函数模型
选择函数模型
不符合实际
检验
求解函数模型
符合实际
用函数模型解决实际问题
题型1 已知函数模型解决实际问题
例1.我们知道：人们对声音的大小有不同的感觉，这与声音的强度有关，声音的强度用表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用表示，它们满足以下公式：（单位为分贝，，其中,这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）回答以下问题：
（1）树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少?
题型2 函数模型的探究应用
例2.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快，开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积与经过时间个月的关系有以下两种函数模型与可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式.
（2）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？（参考数据：）
易错点1.忽视指数与对数的运算方法
例3.根据相关规定，机动车驾驶人血液中酒精含量大于等于20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/100毫升，经过个小时，酒精含量降为毫克/100毫升，且满足关系式（为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过_________小时方可驾车（精确到小时，参考数据：
）

第十一讲任意角和弧度制
任意角的概念
象限角、区间角与区域角
任意角
终边相同的角
任意角与弧度制
角度制、弧度制的概念
角度与弧度的换算
弧度制
弧长公式、扇形面积公式
专题一任意角
1.任意角的概念
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.
2.象限角的概念
象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角为第几象限角.
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.
3.终边相同的角
若角终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转（逆时针或顺时针）周即得角.一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合,即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
题型1 任意角的概念的理解
例1.（多选）下列说法错误的是（ ）
A.终边相同的角必相等
B.锐角必是第一象限
C.小于的角是锐角
D.第二象限角必大于第一象限角
练习1.已知集合，，，，则下列等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
题型2 终边相同的角的表示
1.终边相同的角的求解及应用
例1.写出与角终边相同的角的集合，并求出范围内与角终边相同的角.
练习1.与角终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
2.区域角的求解
例2.如下图，分别是终边落在,位置上的两个角，且，.
（1）求终边落在阴影部分的角的集合；
（2）求终边落在阴影部分，且在范围内的角的集合.
练习2.已知角的终边在下图中阴影部分内，则角的取值范围为__________________.
题型3 象限角的判定
例3.若角是第二象限角，则是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习3.若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角.
易错点1.角的概念混淆不清
例4.下列叙述正确的是（ ）
A.第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.若是第一象限角，则是第二象限角
D.钝角比第三象限角小
易错点2.以偏概全
例5.若是第一象限角，则是（ ）
A.第一象限角 B.第四象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角
专题二弧度制
1.弧度制的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2.角度与弧度的换算
,,.
3.弧长公式、扇形面积公式
若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为,则
弧长公式.
周长.
扇形面积公式
题型1 角度与弧度的换算及应用
例1. 设，.
（1）将用弧度表示除了，并指出它的终边所在的象限；
（2）将用角度表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角.
练习1.已知，，，，，则的大小关系为________________________.
例2.用弧度分别表示终边落在如下图的阴影部分内的角的集合.
题型2 弧长公式和扇形面积公式的应用
例3.若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D.
练习2.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
例4.已知一个扇形的周长为12，当扇形的半径为多少时，这个扇形面积最大？并求出此时的圆心角.
易错点1.忽略角的度量单位的一致性
例5.与角终边相同的角的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
易错点2.运用扇形相关公式时没有注意圆心角是弧度制
例6.若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形半径为_____________.

第十二讲三角函数的概念
任意角的三角函数的概念
三角函数的定义域和各象限的符号
三角函数的概念
诱导公式一
同角三角函数的基本关系
专题一任意角三角函数
1.任意角的三角函数的定义
利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，,它的终边与单位圆相交于点.
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点的横坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即.
用角的终边上的点的坐标表示三角函数
设是一个任意角,它的终边任意一点.点与原点的距离是，则，，.
2.三角函数的定义域和函数值的符号
三角函数的定义域
三角函数在各象限的符号
第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
3.诱导公式一
,,,其中.
诱导公式一的本质是终边相同的角的同一三角函数的值相等
题型1 任意角三角函数的定义及应用
例1.已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
练习1.已知角的终边过点，求，，的值.
例2.已知角的终边在直线上，求，，的值.
题型2 三角函数在各象限的符号
例3.判断下列各式的符号
（1）；
（2）.
练习2.当为第二象限角时，的值是（ ）
A. B. C. D.
例4.若，且，则角是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
练习3.如果点位于第二象限，那么角的终边所在的象限是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
练习4.设，若且，则的取值范围是_______________.
题型3 诱导公式一的应用
例5.计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
易错点1.求三角函数值时对终边位置考虑不全
例6.已知角的终边在直线上，则=_______________.
易错点2.运用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围
例7.已知角的终边经过点，且，则实数=_____________.
专题二同角三角函数
1.同角三角函数的基本关系
平方关系：;
商数关系：，.
2.基本关系的变形公式
题型1 根据同角三角函数的基本关系求值
例1.已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
练习1.若，则____________.
例2.已知，则（1）____________.
（2）____________.
（3）________________.
练习2.已知，则______________.
例3.已知求与的值.
练习3.已知求的值.
题型2 三角函数式的化简
例4.若是第二象限角，则化简的结果为________________.
练习4.已知为第二象限角，则_____________.
易错点1.忽略隐含条件致错
例5.已知，，则的值为___________.
易错点2.忽略隐含范围致错
例6.已知，，若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
实数
有理数
自然数
正整数
整数
复数
R
Q
N
Z
C
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
命题名称
命题结构
命题简记
全称量词命题
对中任意一个，成立
存在量词命题
存在中的元素，成立
命题
命题的否定
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
[来
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两个相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
定义
符号
都是奇数
是偶数,是奇数
是奇数,是偶数
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
时,增函数
增函数
增函数
时,减函数
时,减函数
时,减函数
定点
底数
图像
性质
定义域
R
值域
定点
图像过定点
单调性
在R上是单调增函数
在R上是单调减函数
函数值的变化情况
当时，，
当时，，
当时，.
当时，，
当时，，
当时，.
对称性
函数与的图像关于轴对称
底数
图像
性质
定义域
值域
R
定点
图像过定点
单调性
在R上是单调增函数
在R上是单调减函数
函数值的变化情况
当时，，
当时，，
当时，.
当时，，
当时，，
当时，.
对称性
函数与的图像关于轴对称
在上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长的速度
增长速度不变
先慢后快
先快后慢
图像的变化
随着的增大，图像以固定的速度上升
随着的增大，图像上升的速度逐渐变快
随着的增大，图像上升的速度逐渐变慢
三角函数
定义域