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高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.4.1指数函数(题型战法)(原卷版+解析)
展开这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.4.1指数函数(题型战法)(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了根式运算，运算法则，32hB．6等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 整数指数幂的概念及运算性质
1.根式运算
（1）
2.整数指数幂的概念
（1）an=a⋅a⋅⋯⋅an个an∈Z∗（2）（3）
3.运算法则
（1）；（2）；（3）；（4）.
二 分数指数幂的概念及运算性质
（1）（2）（3）
三 指数函数的图像与性质
（1）定义域是.
（2）值域是，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.
（3）函数图像一定过点.
（4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0
题型战法
题型战法一 指数与指数幂的运算
典例1．化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
变式1-1．计算：
(1)；
(2).
变式1-2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
变式1-3．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
变式1-4．化简下列各式：
(1)；
(2)．
题型战法二 指数函数的概念
典例2．下列是指数函数的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-1．下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式2-2．函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式2-3．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
变式2-4．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
题型战法三 指数函数的图像
典例3．函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
变式3-1．若指数函数，，（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．；B．；C．D．．
变式3-2．已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限
C．第二、四象限D．第一、二象限
变式3-3．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式3-4．对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A．B．C．D．
题型战法四 指数函数的定义域
典例4．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．8B．16C．4D．7
变式4-1．设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是（ ）
A．(0，1)B．(2，4)
C．(，1)D．(1，2)
变式4-3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(0，1)D．(2，＋∞)
变式4-4．若函数的定义域为R，则a的取值范围是
A．[−1,0] B．[0,1] C．[−1,1] D．(−2,1)
题型战法五 指数函数的值域
典例5．函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为( )
A．B．C．D．
变式5-3．已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．B．C．1D．
变式5-4．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型战法六 指数函数的单调性
典例6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
变式6-3．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型战法七 比较大小与解不等式
典例7．设，，，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
变式7-1．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式7-2．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-3．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-4．设，那么（ ）
A．B．C．D．
题型战法八 指数函数的应用
典例8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
变式8-1．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么锶89的质量从衰减至所经过的时间约为（参考数据：）（ ）
A．10B．20C．30D．40
变式8-2．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（ ）（参考数据：）
A．2600年B．3100年C．3200年D．3300年
变式8-3．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（ ），（参考数据：，）
A．B．C．D．
变式8-4．Lgistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（ ）
A．60B．C．D．
第二章 函数
2.4.1指数函数（题型战法）
知识梳理
一 整数指数幂的概念及运算性质
1.根式运算
（1）
2.整数指数幂的概念
（1）an=a⋅a⋅⋯⋅an个an∈Z∗（2）（3）
3.运算法则
（1）；（2）；（3）；（4）.
二 分数指数幂的概念及运算性质
（1）（2）（3）
三 指数函数的图像与性质
（1）定义域是.
（2）值域是，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.
（3）函数图像一定过点.
（4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0
题型战法
题型战法一 指数与指数幂的运算
典例1．化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.
(1)
(2)
变式1-1．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
本题应用，为奇数，进行整理计算．
(1)
(2)
变式1-2．（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）81；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.
【详解】
（1）原式；
（2）由，而，
则，故.
变式1-3．求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）利用指数幂的运算性质化简计算即得；
（4）利用根式与分数指数幂互化，利用指数幂的运算性质化简计算.
(1)
原式
；
(2)
原式；
(3)
原式；
(4)
原式
.
变式1-4．化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；
(1)
解：
．
(2)
解：
．
题型战法二 指数函数的概念
典例2．下列是指数函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的概念判断可得出合适的选项.
【详解】
根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，
C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.
故选：D.
变式2-1．下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义判断即可；
【详解】
解：形如且为指数函数，其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，
故选：B.
变式2-2．函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义即可解出．
【详解】
因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数．
故选：B．
变式2-3．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】
由题意可得，解得.
故选：C.
变式2-4．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程即得或，再检验即得解.
【详解】
解：由题得或.
当时，在上单调递增，符合题意；
当时，在上单调递减，不符合题意.
所以.
故选：D
题型战法三 指数函数的图像
典例3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由单调性和所过定点作出判断.
【详解】
因为，所以单调递增，且恒过点，
故A为正确答案.
故选：A
变式3-1．若指数函数，，（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．；B．；C．D．．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数图象可得，，，然后取，判断，大小即可.
【详解】
由所给图象，可知在R上是严格增函数，根据指数函数的单调性，
得．同理可得，．
不妨取，此时的图象在上方，即．所以，
选：B．
变式3-2．已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限
C．第二、四象限D．第一、二象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性和函数图象的平移变换即可得出结果.
【详解】
因为，
所以函数的图象经过一、二象限，
又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，
所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，
故选：B
变式3-3．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数图像的平移变换或根据可得.
【详解】
因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.
另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.
故选：B
变式3-4．对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数过定点(0，1)可求解.
【详解】
∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5).
故选：C.
题型战法四 指数函数的定义域
典例4．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．8B．16C．4D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合，确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.
【详解】
因为
，
所以集合的子集个数为.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求集合的子集个数，属于基础题型.
变式4-1．设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域.
【详解】
由即可得
所以的定义域为，
令，可得，所以函数的定义域为，
故选：A．
变式4-2．已知函数f(x)的定义域是(1，2)，则函数f(2x)的定义域是（ ）
A．(0，1)B．(2，4)
C．(，1)D．(1，2)
【答案】A
【解析】
由于f(x)的定义域是(1，2)，所以在f(2x)中只需1＜2x＜2，求出x的取值范围就是所求答案.
【详解】
∵f(x)的定义域是(1，2)，∴1＜2x＜2，即20＜2x＜21，∴0＜x＜1.
故选:A.
【点睛】
此题考查了求复合函数的定义域的问题，解题时要注意复合函数的自变量的取值范围是什么，属于基础题.
变式4-3．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)
C．(0，1)D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式的解集是，结合指数函数单调性可得．
【详解】
∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．
故选：B．
变式4-4．若函数的定义域为R，则a的取值范围是
A．[−1,0] B．[0,1] C．[−1,1] D．(−2,1)
【答案】A
【解析】
【详解】
∵函数 的定义域为R,
∴恒成立
题型战法五 指数函数的值域
典例5．函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的单调性求解.
【详解】
解：因为函数是单调递增函数，
所以函数也是单调递增函数，
所以.
故选：C
变式5-1．函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数以及二次函数的性质， 即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
由指数函数的性质可得：.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求指数型复合函数的值域，属于基础题型.
变式5-2．函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案．
【详解】
∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数，
∴，
∵最大值比最小值大，
∴1﹣，
解得a
故选：A．
变式5-3．已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.
【详解】
当时，，方程组无解
当时，，解得
故选：A.
变式5-4．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.
【详解】
因为，
且的值域为，
所以，解得.
故选：C.
题型战法六 指数函数的单调性
典例6．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间.
【详解】
由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间,即单调递减区间为.
故选：B
【点睛】
本题考查复合函数单调性以及二次函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式6-1．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可
【详解】
解：令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
在定义域内为减函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选：C
变式6-2．已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性可解决此题．
【详解】
解：由指数函数（，且），且
根据指数函数单调性可知
所以，
故选：A
变式6-3．指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件结合指数函数的性质列不等式求解即可
【详解】
因为指数函数在R上单调递减，
所以，得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
变式6-4．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，根据是上单调函数列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
当时，，则，无解.
当时，，则，所以符合题意.
所以的取值范围是.
故选：D
题型战法七 比较大小与解不等式
典例7．设，，，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数的单调性判断．
【详解】
是减函数，所以，，，
所以．
故选：C．
变式7-1．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数单调性及中间值比大小.
【详解】
因为单调递减，所以，，所以.
故选：D
变式7-2．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的单调性解不等式即可.
【详解】
由在定义域上单调递增，
∴根据得：，解得.
∴解集为.
故选：A.
变式7-3．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性确定与的大小，从而求出的取值范围.
【详解】
函数在上为减函数，所以，所以．
故选：A．
变式7-4．设，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用的单调性即可求解.
【详解】
因为单调递减，
由可得，
故选：D.
题型战法八 指数函数的应用
典例8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.
【详解】
解：由题意得：
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为
故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
变式8-1．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为（其中h为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么锶89的质量从衰减至所经过的时间约为（参考数据：）（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
根据时，代入函数关系式中，可得的值，再把代入关系式，即可求解.
【详解】
由题，半衰期所用时间为50天，即，则，
所以当衰减至时，满足，即，
所以，即，所以.
故选：C
变式8-2．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（ ）（参考数据：）
A．2600年B．3100年C．3200年D．3300年
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出不等式，求出，从而求出正确答案.
【详解】
由题意得：，解得：，故选A.
故选：A
变式8-3．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（ ），（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.
【详解】
设数量没有扩增前数量为，由题意可得，
所以，所以，可得，，
故选：C.
变式8-4．Lgistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（ ）
A．60B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数的运算直接代入求值.
【详解】
由，且，
得，
解得，
故选：A.
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