高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.4.2指数函数(针对练习)(原卷版+解析)

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针对练习一 指数与指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．
(1)a2； (2)·；
(3)()2·； (4)．
2．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
（2）－10(－2)－1＋()0.
3．计算：
(1)
(2)
4．计算：
(1)；
(2).
5．(1)；
(2).
针对练习二 指数函数的概念
6．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．下列函数是指数函数的是（ ）
A．y＝B．y＝(－9)x
C．y＝2x－1D．y＝2×5x
8．下列函数中为指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．函数是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1
10．若函数（a>0，且a≠1）的图象经过，则=（ ）
A．1B．2C．D．3
针对练习三 指数函数的图像
11．函数的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
12．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
13．若且，则函数的图象一定过点（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数f（x）= ax+1的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）
A．(0，1)B．(0，2)C．(1，2)D．
15．对任意实数，函数的图象必过定点（ ）
A．B．C．D．
针对练习四 指数函数的定义域
16．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
17．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
18．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
20．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a＞0 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≠1
针对练习五 指数函数的值域
21．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
22．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．0C．5D．9
23．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．函数（且，）的值域是，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
针对练习六 指数函数的单调性
26．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
27．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
28．若函数在单调递减，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
29．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
针对练习七 比较大小与解不等式
31．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
32．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a33．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
35．若，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
针对练习八 指数函数的应用
36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
37．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（ ）（参考数据：）
A．6天B．7天C．8天D．9天
38．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ）
A．15hB．30hC．40hD．60h
39．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． 小时B．小时C．小时D．小时
40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为（ ）
A．B．C．D．
第二章 函数
2.4.2 指数函数（针对练习）
针对练习
针对练习一 指数与指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．
(1)a2；
(2)·；
(3)()2·；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】
【分析】
由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可.
(1)
原式＝.
(2)
原式＝．
(3)
原式＝.
(4)
原式＝．
2．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
（2）－10(－2)－1＋()0.
【答案】（1）－a；（2）－.
【解析】
【分析】
直接根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】
(1)原式
(2)原式
＝＋10－10－20＋1＝－ .
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-16
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可；
（2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果.
(1)
原式=
(2)
原式
4．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解.
(1)
原式.
(2)
原式
.
5．(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算；
【详解】
(1)原式1＋|3﹣π|4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.
(2)原式.
针对练习二 指数函数的概念
6．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据指数函数的定义依次判断即可.
【详解】
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
7．下列函数是指数函数的是（ ）
A．y＝B．y＝(－9)x
C．y＝2x－1D．y＝2×5x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数定义判断．
【详解】
B中底数，C中指数是，不是，D中前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A中函数是指数函数，
故选：A.
8．下列函数中为指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据指数函数的定义知，，
可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.
故选：C.
9．函数是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件列不等式，由此求得正确选项.
【详解】
由已知得，即，解得．
故选：C
10．若函数（a>0，且a≠1）的图象经过，则=（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数所过的点求解析式，进而求的值.
【详解】
由题意，，又a>0，则，
∴，故.
故选：C
针对练习三 指数函数的图像
11．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.
【详解】
解：由，得函数是以为底数的指数函数，
且函数为减函数，故D选项符合题意.
故选：D.
12．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b即可求解.
【详解】
解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，
故选：C.
13．若且，则函数的图象一定过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令求出定点的横坐标，即得解.
【详解】
解：令.
当时，，
所以函数的图象过点.
故选：C.
14．已知函数f（x）= ax+1的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）
A．(0，1)B．(0，2)C．(1，2)D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由指数函数过定点的性质进行求解.
【详解】
的图象恒过定点，所以的图象恒过定点
故选：B
15．对任意实数，函数的图象必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当，即时，，
所以过定点.
故选：B
针对练习四 指数函数的定义域
16．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域定义求解即可.
【详解】
要使得函数有意义，
则，，，解得.
故函数的定义域为.
故选：D.
17．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
求出使函数式有意义的自变量的范围即得、
【详解】
由得，即.
故选：D.
18．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得，由根式内部的代数式大于等于0，结合指数函数的性质求解即可．
【详解】
因为，
所以，
因为，
所以的定义域为，故选A．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
19．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
20．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a＞0B．a＜1
C．0＜a＜1D．a≠1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得，对讨论，分,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到的范围.
【详解】
要使函数且有意义,
则,
即,
当时，；
当时，，
因为的定义域为
所以可得符合题意，
的取值范围为，故选C.
【点睛】
本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
针对练习五 指数函数的值域
21．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，则，转求二次函数与指数函数的值域即可.
【详解】
令，则，
∵，
∴，
∴函数的值域为，
故选：D
22．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．0C．5D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则利用函数单调性可得答案.
【详解】
设，则（），
对称轴为，所以在上单调递增，
所以.
故选：A.
23．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数化为，利用列出关于的不等式，解出不等式即可.
【详解】
设，由原式得，
,
，
∴，
即函数的值域为.
故选：C
24．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
【详解】
因为在上单调递增，
所以当时，，
若函数的值域为R，
则，
解得．
故选：A.
25．函数（且，）的值域是，则实数（ ）
A．3B．
C．3或D．或
【答案】C
【解析】
当且时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当时，函数是增函数；当时，函数是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案．
【详解】
当时，在上为增函数， ，解得；
当时，在上为减函数，，解得．
综上可知：或．
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.
针对练习六 指数函数的单调性
26．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性“同增异减”来解题.
【详解】
设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.
故选：A.
27．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可.
【详解】
解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
故选：D
28．若函数在单调递减，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性来求得的取值范围.
【详解】
依题意函数在单调递减，
在上递减，
的开口向上，对称轴为，
根据复合函数单调性同增异减可知，.
故选：C
29．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质，以及函数在上单调递减，结合指数函数的性质，可知，求解不等式，即可得到结果.
【详解】
∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是.
故选：A.
30．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】
函数，
若在上为单调递增函数，
则，解得；
若在上为单调递减函数，
则，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：C
针对练习七 比较大小与解不等式
31．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.
【详解】
由题设，，，，又在定义域上递增，
∴.
故选：C.
32．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【答案】B
【解析】
【分析】
结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项.
【详解】
在上递增，在上递增.
.
故选：B
33．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为
故选：A
34．若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域.
【详解】
由可得，
因为在R上单调递增，
所以即x2+2x-3≤0，
解得： ，
所以，
即函数的值域是，
故选:B.
35．若，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题干条件和函数的单调性得到，A选项可以利用函数的单调性进行判断，BC选项可以举出反例，D选项用不等式的基本性质进行判断.
【详解】
因为在R上单调递减，若，则，
对于选项A：若，因为单调递增，所以，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
针对练习八 指数函数的应用
36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.
【详解】
解：因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，所以，解得.
故选：A.
37．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（ ）（参考数据：）
A．6天B．7天C．8天D．9天
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】
因为，，，所以可以得到
，由题意可知，
所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍
故选：B
38．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（ ）
A．15hB．30hC．40hD．60h
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.
【详解】
由题意知，，所以，
所以，所以，所以.
故选：C．
39．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． 小时B．小时C．小时D．小时
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意建立方程组，进而解出，然后将22代入即可求得答案.
【详解】
由题意，，所以该食品在的保鲜时间是.
故选：D.
40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要.则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把，，，代入可求得实数的值.
【详解】
由题意，把，，，代入中得，可得，
所以，，因此，.
故选：A.