高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.7.1函数的零点与函数的图像(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.7.1函数的零点与函数的图像(题型战法)(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了函数的零点，翻折变换，因此有a
知识梳理
一 函数的零点
1.函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标
2.零点存在性定理（判定函数零点的）
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
注意： = 1 \* GB3 ①不满足的函数也可能有零点.
= 2 \* GB3 ②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件.
一 函数的图像变换
1.平移变换
图象左、右平移
图象上、下平移
2.对称变换
,图象关于轴对称
,图象关于轴对称
3.翻折变换：
,把轴右边的图象保留，然后将轴左边部分关于轴对称
把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称
题型战法
题型战法一 求函数的零点
典例1．函数的零点为（ ）
A．2B．1C．0D．
变式1-1．二次函数的零点是（ ）
A．， B．，1 C．， D．，
变式1-2．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
变式1-3．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
变式1-4．函数的零点为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
题型战法二 求函数的零点的个数
典例2．函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2-1．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2-2．已知函数，则函数零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式2-3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，则函数的零点个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
变式2-4．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
题型战法三 比较零点的大小与求零点的和
典例3．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．已知函数的零点依次为，则
A．B．C．D．
变式3-3．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
变式3-4．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）
A．1B．3C．6D．7
题型战法四 零点所在区间
典例4．已知函数的零点所在区间（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．设是函数的零点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法五 根据函数的零点求参数
典例5．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5-1．函数在区间和内各有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．若直线y=2a与函数的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．设函数，则使方程的实数解个数为1时，k的取值范围为（ ）
A．−∞,0B．C．D．
变式5-4．已知函数恰有个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
题型战法六 图像的变换问题
典例6．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
变式6-1．函数与的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A． B． C． D．
变式6-3．函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
题型战法七 利用函数解析式选择图像
典例7．函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．已知函数，则的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
变式7-2．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
变式7-3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式7-4．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
题型战法八 利用动点研究函数图像
典例8．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A．B．
C．D．
变式8-1．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线≤左侧的图形的面积为，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
变式8-2．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是
A．B．
C．D．
变式8-3．某科技公司为测试新型无人机的操控能力，设计了如图所示的平面路线图→→→.无人机从处出发匀速飞行到处，沿圆弧飞行到处后提速，沿飞行到处停止.记无人机飞行的时间为，与处的距离为，则下列四个图象中与该事件吻合最好的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-4．直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
第二章 函数
2.7.1函数的零点与函数的图像（题型战法）
知识梳理
一 函数的零点
1.函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标
2.零点存在性定理（判定函数零点的）
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
注意： = 1 \* GB3 ①不满足的函数也可能有零点.
= 2 \* GB3 ②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件.
一 函数的图像变换
1.平移变换
图象左、右平移
图象上、下平移
2.对称变换
,图象关于轴对称
,图象关于轴对称
3.翻折变换：
,把轴右边的图象保留，然后将轴左边部分关于轴对称
把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称
题型战法
题型战法一 求函数的零点
典例1．函数的零点为（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，求出方程的解，即可得到函数的零点.
【详解】
解：令，即，解得，所以函数的零点为；
故选：D
变式1-1．二次函数的零点是（ ）
A．，B．，1
C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的零点转化为方程的根，求解即可．
【详解】
解：二次函数的零点就是的解，
解得，或，
故选：A．
变式1-2．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令即得解.
【详解】
令.
所以函数的零点是.
故选：B
变式1-3．函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点定义解方程，即可得出结果.
【详解】
解：由函数零点定义可知，
解得：.
故选：B.
变式1-4．函数的零点为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，即可求得实数的值.
【详解】
由题意得，即．
故选：B.
题型战法二 求函数的零点的个数
典例2．函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】
由于函数在上是增函数，且，
故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.
故选：B.
变式2-1．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定单调性，再根据函数值正负结合零点存在定理判断零点个数.
【详解】
因为在上单调递增，
所以在上有且仅有一个零点，
故选：B
【点睛】
本题考查函数零点，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式2-2．已知函数，则函数零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数.
【详解】
当时，，所以不存在零点；
当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.
故选：A.
变式2-3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，则函数的零点个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中作出的图象后可得正确的选项.
【详解】
因为，故的图象关于直线对称.
结合为偶函数可得，故是周期为2的周期函数，
在平面直角坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象可得的图象的交点有7个，
故的零点个数为7，
故选：C.
变式2-4．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质可得，令，根据题意运算可得是以4为周期的周期函数，作出函数在上的图象，结合数形结合的思想即可得出结果.
【详解】
解：因为是定义域为R的奇函数，所以．
因为，令，得，
即，所以．
又因为为奇函数，所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数．
根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．
由图可知，函数在上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．
故选：D
题型战法三 比较零点的大小与求零点的和
典例3．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
变式3-1．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据已知可得分别为与三个函数交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.
【详解】
做出函数的图象，
根据图象可得，.
故选：B.
【点睛】
本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题.
变式3-2．已知函数的零点依次为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将，转化为函数，与函数的交点坐标，在同一平面直角坐标系结合函数图象，数形结合判断，的取值范围，由是的零点，直接求，然后与，进行比较大小
【详解】
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，的图象，结合函数y＝2x与y＝－x的图象可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数与y＝－x的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0【点睛】
根据零点求参数方法：
1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围
2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解
变式3-3．函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】
解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
变式3-4．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）
A．1B．3C．6D．7
【答案】D
【解析】
根据题意，判断函数的最小正周期为；再由其奇偶性，得到关于直线对称，画出函数和在上的图像，结合图像，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，因此函数的最小正周期为；
又因为函数是定义域在上的偶函数，所以，
即函数关于直线对称，
画出函数和在上的图像如下，
由图像可得，函数和在有个交点，
除，其余两两关于直线对称，
因此关于的方程在上所有实数解之和为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查方程实数解的问题，根据数形结合的思想求解即可，属于常考题型.
题型战法四 零点所在区间
典例4．已知函数的零点所在区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别验证选项中区间端点处的符号，由零点存在定理可得结果.
【详解】
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；
由零点存在定理可知：单调递增函数的零点所在区间为.
故选：B.
变式4-1．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
变式4-2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】
解：因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B.
变式4-3．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】
因为的零点所在的区间为，
所以只需，
即，解得.
故选：B.
变式4-4．设是函数的零点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得整数的值.
【详解】
由于函数单调递增，且，，由零点存在定理可知，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理求参数，考查计算能力，属于基础题.
题型战法五 根据函数的零点求参数
典例5．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】
函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，
故选：D.
变式5-1．函数在区间和内各有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据零点的存在性定理列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】
已知函数在区间和内各有一个零点，如图，
则，即，
解得
故选：A
变式5-2．若直线y=2a与函数的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解.
【详解】
画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若两个函数图象有且只有一个公共点，
则或，或.
故选：D．
变式5-3．设函数，则使方程的实数解个数为1时，k的取值范围为（ ）
A．−∞,0B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，只需保证与只有一个交点即可，根据分段函数的图象，即可判断k的取值范围.
【详解】
由题意，方程的实数解个数为1，即与只有一个交点，根据函数解析式可得草图如下：
∴当时，与只有一个交点.
故选：C.
变式5-4．已知函数恰有个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对分段函数的每一段进行研究，当时，根据对数函数性质求得对应的零点，当时，根据一次函数的性质列不等式，求得的取值范围.
【详解】
当时，的零点为，则必有一个零点，为一次函数，单调递增，故需，即.故选C.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的零点问题，考查指数函数和一次函数的零点，属于基础题.
题型战法六 图像的变换问题
典例6．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案.
【详解】
解：由，得函数是以为底数的指数函数，
且函数为减函数，故D选项符合题意.
故选：D.
变式6-1．函数与的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可根据指数函数和对数函数的图像性质得出结果.
【详解】
因为函数是减函数，过点，函数是减函数，过点，
所以A选项中的函数图像符合题意，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的图像，主要考查指数函数和对数函数的图像，考查函数的单调性，体现了基础性，是简单题.
变式6-2．函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
【详解】
先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
如图所示：
故答案为C
【点睛】
本题主要考查函数图像的作法和函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析图像能力.
变式6-3．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
根据函数的最大值排除A B D可得答案.
【详解】
因为，所以，排除A B D.
故选：C
变式6-4．函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的对称性与单调性即可得到结果.
【详解】
函数是偶函数，且在上为增函数，结合各选项可知A正确．
故选A
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值进行排除是解决本题的关键．
题型战法七 利用函数解析式选择图像
典例7．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值确定正确选项.
【详解】
的定义域为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误.
，所以B选项错误.
故选：C
变式7-1．已知函数，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性，再利用函数值的正负逐一排除即可.
【详解】
∵，
∴，定义域关于原点对称，
故是偶函数，排除A，
当时，，即，
当时，又有，因此，排除B，C.
故选：D．
变式7-2．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由奇偶性可排除CD；由时，可排除A.
【详解】
由题意知：的定义域为，又，
为定义域上的偶函数，则其图象关于轴对称，可排除CD；
当时，，，可排除A.
故选：B.
变式7-3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
令，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
变式7-4．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的性质，利用排除法对照四个选项，即可得到答案.
【详解】
根据函数的性质，利用排除法：
因为，所以f（-x）=f（x），得f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，排除C、D；
又由f（0）=2>0可排除A，可选B.
故选：B．
题型战法八 利用动点研究函数图像
典例8．如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
数形结合，分P点在BC、CD、DA三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出图像﹒
【详解】
由题意：
P点在BC上时，0≤x＜4，S＝＝2x；
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝＝8；
P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x．
故选：D﹒
变式8-1．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线≤左侧的图形的面积为，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知条件写出的函数关系式，即可选择其图像.
【详解】
因为是边长为2的正三角形，
当≤1时， ；
当≤2时，
所以.只有选项B中图像符合
故选：B.
【点睛】
此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题.
变式8-2．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案.
【详解】
由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少.
故选A
【点睛】
本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.
变式8-3．某科技公司为测试新型无人机的操控能力，设计了如图所示的平面路线图→→→.无人机从处出发匀速飞行到处，沿圆弧飞行到处后提速，沿飞行到处停止.记无人机飞行的时间为，与处的距离为，则下列四个图象中与该事件吻合最好的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别分析从到，从到，无人机提速后沿飞行到处，三段的变化情况，结合速度的变化，利用排除法可得正确选项.
【详解】
无人机从处出发匀速飞行到处，无人机到点的距离变小，可排除A；
无人机沿圆弧飞行到处，无人机的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，无人机距离点的距离不变，故排除C；
无人机提速后沿飞行到处，与从到的斜率不一致，斜率变小，可排除B，
故选：D.
变式8-4．直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．
【详解】
由题意可知：当时，，
当时，；
所以．
结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．