高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.2.1二项式定理(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.2.1二项式定理(题型战法)(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了12B．1等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 二项式定理的基本概念
（1）二项式展开式有 （2）二项式系数：
（3）项的系数：包括符号和前面的常数 （4）通项：
二 二项式定理的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即
（2）当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小。
（3）二项式系数的最大值
当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值；
当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为或。
（4）各二项式系数的和
的展开式的各二项式系数的和等于，即；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为。
（5）各项系数的问题
，则各项系数之和为。奇数项系数之和；偶数项系数之和。
题型战法
题型战法一 求指定项的二项式系数与系数
典例1．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20B．C．15D．
变式1-1．的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．的展开式中的系数为（ ）
A．10B．20C．40D．80
变式1-3．展开式的常数项为（ ）
A．120B．60C．30D．15
变式1-4．的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85B．29C．D．
题型战法二 已知二项式系数与系数求参数
典例2．已知的展开式中的系数为60，则正整数n＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
变式2-1．若展开式中项的系数是8，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
变式2-2．若二项式的展开式中的系数是-80，则实数( )
A．-80B．80C．-2D．2
变式2-3．的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．或D．或
变式2-4．若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
题型战法三 二项式系数与系数的增减性与最值
典例3．在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
变式3-1．展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．
C．和D．和
变式3-2．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160B．60C．D．
变式3-3．的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
变式3-4．二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
题型战法四 二项式系数之和、各项系数之和
典例4．已知展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是（ ）
A．84B．－84C．126D．－126
变式4-1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
变式4-2．若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
变式4-3．若，则（ ）
A．6562B．3281C．3280D．6560
变式4-4．对任意实数，有，则（ ）
A．B．
C．D．
题型战法五 三项展开式的系数问题
典例5．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
变式5-1．的展开式中，的系数为（ ）
A．51B．50C．－51D．－50
变式5-2．的展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．1485
变式5-4．在的二项展开式中含项的系数为（ ）
A．20B．21C．18D．16
题型战法六 两个二项式乘积展开式的系数问题
典例6．的展开式中的系数为（ ）
A．40B．80C．D．
变式6-1．展开式中的系数为（ ）
A．15B．20C．30D．0
变式6-2．的展开式中项的系数为
A．30B．35C．20D．25
变式6-3．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
变式6-4．展开式中的常数项为（ ）
A．11B．19C．23D．
题型战法七 整除与余数问题、近似值问题
典例7．被5除的余数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式7-1．已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（ ）
A．1B．12C．7D．27
变式7-2．设，则a除以9所得的余数为 （ ）
A．1B．2C．D．
变式7-3．的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．1.12B．1.13C．l.14D．1.20
变式7-4．估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16
题型战法八 杨辉三角
典例8．下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（ ）
A．120B．210C．84D．36
变式8-1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
变式8-2．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．
下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．B．C．D．
变式8-3．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第与第个数的比值为（ ）
A．B．C．D．1
变式8-4．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则（ ）
A．40B．50C．34D．32
第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.2.1二项式定理（题型战法）
知识梳理
一 二项式定理的基本概念
（1）二项式展开式有 （2）二项式系数：
（3）项的系数：包括符号和前面的常数 （4）通项：
二 二项式定理的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即
（2）当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小。
（3）二项式系数的最大值
当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值；
当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为或。
（4）各二项式系数的和
的展开式的各二项式系数的和等于，即；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为。
（5）各项系数的问题
，则各项系数之和为。奇数项系数之和；偶数项系数之和。
题型战法
题型战法一 求指定项的二项式系数与系数
典例1．在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20B．C．15D．
【答案】A
【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可.
【详解】解：第4项的二项式系数为.
故选:A
变式1-1．的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.
【详解】的展开式的通项为：，
令可得，
所以含项的二项式系数为，
故选：D.
变式1-2．的展开式中的系数为（ ）
A．10B．20C．40D．80
【答案】C
【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】二项式展开式的通式为，
由，得r＝2，此时
即的展开式中的系数为40
故选：C
变式1-3．展开式的常数项为（ ）
A．120B．60C．30D．15
【答案】B
【分析】根据二项式展开公式得=，令，解出的值，代入计算即可.
【详解】解：因为==，
令，解得,
所以常数项为=60.
故选：B.
变式1-4．的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85B．29C．D．
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
，其中，
当时为有理项，故有理项系数和为
，
故选：C.
题型战法二 已知二项式系数与系数求参数
典例2．已知的展开式中的系数为60，则正整数n＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】求出展开式的通项，令的指数等于2，再结合已知即可得出答案.
【详解】解：的展开式的通项为，
令，
则的系数为，
即，
解得（舍去）.
故选：C.
变式2-1．若展开式中项的系数是8，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】直接求出含的项，再由项的系数是8解方程即可求出.
【详解】由题意知：含的项为，又项的系数是8，则，解得.
故选：D.
变式2-2．若二项式的展开式中的系数是-80，则实数( )
A．-80B．80C．-2D．2
【答案】C
【分析】求出二项展开式的通项，令x的次数为5求出对应r的值，再根据的系数是-80即可求出a的值．
【详解】的展开式的通项为，
令，解得．
的展开式中的系数是，
，解得．
故选：C．
变式2-3．的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项，令，求出，即可求出展开式的常数项，从而求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为，解得，
令，解得，所以展开式中项为，
当时项的系数为，当时项的系数为.
故选：C
变式2-4．若二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】根据题意可得，利用组合数的性质，求得n的值，即得答案.
【详解】由已知二项式的展开式中第5项与第6项的系数相同，
即这两项的二项式系数相同，
可得，所以，
故选：A．
题型战法三 二项式系数与系数的增减性与最值
典例3．在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
变式3-1．展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．
C．和D．和
【答案】C
【分析】利用二项式系数的单调性结合二项式定理可求得结果.
【详解】展开式中二项式系数最大的项为，.
故选：C.
变式3-2．若展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ）
A．160B．60C．D．
【答案】B
【分析】先求出的值，可得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【详解】解：二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，，
则展开式中的通项公式为，
令，解得，故展开式中的常数项为.
故选：B．
变式3-3．的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】根据可知二项式系数最大值为，再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
故选：A．
变式3-4．二项式的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【答案】C
【分析】显然二项式在第或第项处取得系数最大，再结合对应符号，即可得解.
【详解】由二项式的特点可知，
系数最大的项在中间项处取得，
第项的系数为，
第项的系数为，
故第项的系数最大.
故选：C
题型战法四 二项式系数之和、各项系数之和
典例4．已知展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是（ ）
A．84B．－84C．126D．－126
【答案】B
【分析】首先根据题意得到，再利用求解即可.
【详解】由题知：，解得，
因为，，
令，解得.
所以.
故选：B
变式4-1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
【答案】A
【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.
【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，
所以，令得展开式中各项系数的和为．
故选：A
变式4-2．若，则的值是（ ）
A．B．127C．128D．129
【答案】D
【分析】利用赋值法计算可得.
【详解】解：因为，
令，可得，
令，可得，
所以；
故选：D
变式4-3．若，则（ ）
A．6562B．3281C．3280D．6560
【答案】B
【分析】分别令和再联立求解即可
【详解】令有，令有，故
故选：B
变式4-4．对任意实数，有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断B；
令，可得，即可判断A；
令，可得，即可判断C，
令，可得，即可判断D.
【详解】解：对任意实数，有 ，所以，故B正确；
令，可得，故A错误；
令，可得，则，故C错误；
令，可得，故D错误.
故选：B.
题型战法五 三项展开式的系数问题
典例5．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
【答案】C
【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
变式5-1．的展开式中，的系数为（ ）
A．51B．50C．－51D．－50
【答案】C
【分析】根据三项的二项式展开的通项，令，即可求出的值，进而可求解.
【详解】的展开式通项为：
，且，
令，则，或者，或者；
故的系数为：，
故选：C
变式5-2．的展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，计算得解.
【详解】将原式看成6个相同的因子相乘，按x的选取个数分类，
得展开式中常数项为．
故选：B.
变式5-3．在的展开式中含和含的项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．1485
【答案】A
【分析】由已知得，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案.
【详解】解：，则的系数为1，
的系数为，
所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．
故选：A．
变式5-4．在的二项展开式中含项的系数为（ ）
A．20B．21C．18D．16
【答案】B
【分析】把看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由的指数为4求得、的值，即可得出结果.
【详解】的展开式的通项为．
的展开式的通项为．
由，得，
，，或，
在的展开式中，
含项的系数为．
故选：B．
题型战法六 两个二项式乘积展开式的系数问题
典例6．的展开式中的系数为（ ）
A．40B．80C．D．
【答案】A
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.
【详解】，
所以展开式中的系数为.
故选：A
变式6-1．展开式中的系数为（ ）
A．15B．20C．30D．0
【答案】D
【分析】从项的生成分两种情况讨论得解.
【详解】展开式中，
若提供系数1，
则提供含有的项，可得展开式中的系数为；
若提供，
则提供含有的项，可得展开式中的系数为；
所以展开式中的系数为.
故选：D
【点睛】方法点睛：求两个二项式的乘积的展开式的某一项的系数，一般可以从这一项的生成分类讨论，结合二项式展开的通项求解.
变式6-2．的展开式中项的系数为
A．30B．35C．20D．25
【答案】D
【解析】根据二项式定理展开计算、化简即可.
【详解】解：展开式中项为：.
故选：D.
变式6-3．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
变式6-4．展开式中的常数项为（ ）
A．11B．19C．23D．
【答案】C
【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中的常数项．
【详解】，
展开式中的常数为，
故选：C．
题型战法七 整除与余数问题、近似值问题
典例7．被5除的余数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用二项式的展开式进行求解.
【详解】由题可知，，
则其展开式的通项公式为，
由通项公式可得，只有时，即不能被5整除，其余项均能被5整除.故被5除的余数为1.
故选：A.
变式7-1．已知，且恰能被14整除，则m的取值可以是（ ）
A．1B．12C．7D．27
【答案】D
【分析】根据二项式展开式，即可求解.
【详解】，故若恰能被14整除，只需要能14整除即可，所以m的取值可以是：-1，13，27等
故选：D
变式7-2．设，则a除以9所得的余数为 （ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，
因为，所以a除以9所得的余数为，
故选：D
变式7-3．的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．1.12B．1.13C．l.14D．1.20
【答案】B
【解析】展开后按近似要求求解．
【详解】.
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理进行近似计算，掌握二项式定理是解题关键．
变式7-4．估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16
【答案】A
【分析】利用二项式定理进行计算．
【详解】原式
+
．
故选：A．
题型战法八 杨辉三角
典例8．下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（ ）
A．120B．210C．84D．36
【答案】C
【分析】由题意第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数可得答案.
【详解】由题意，第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数，
所以第10行第7个数是．
故选：C.
变式8-1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据杨辉三角数的特征，中间数等于上一行肩上两数之和，即可得出结论.
【详解】从第三行起头尾两个数均为1，
中间数等于上一行肩上两数之和，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题，属于基础题.
变式8-2．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．
下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察出出“杨辉三角”中的数的特点从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行上方（两肩上）的两个数字的和，从而可得答案.
【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点
1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1
2. 从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，即
所以
故选：D
变式8-3．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第行中从左至右第与第个数的比值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，由此可求得结果.
【详解】由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，
因此，第行中从左至右第与第个数的比值为.
故选：A.
变式8-4．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则（ ）
A．40B．50C．34D．32
【答案】C
【分析】第行的第14个和第15个的二项式系数分别为与，利用条件列出方程，即可求得结论.
【详解】∵二项式展开式第项的系数为，
∴第行的第14个和第15个的二项式系数分别为与，
∴，整理得，解得，
故选：C.