高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.4.2随机变量及其分布列(针对练习)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)10.4.2随机变量及其分布列(针对练习)(原卷版+解析)，共51页。
针对练习一 离散型随机变量及其分布列
1．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知随机变量X的分布列如下表所示
则当取最大值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．设随机变量X的概率分布列为
则（ ）A．B．C．D．
5．已知随机变量的分布列如表所示.
若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．
(1)求得到一件合格零件的概率；
(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．
7．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
8．甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
（1）求甲恰好得30分的概率；
（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；
（3）求甲恰好比乙多30分的概率.
9．甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
10．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．
(1)求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
针对练习二 二项分布
11．下列说法正确的个数是（ ）．
①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．设随机变量，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
13．若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5B．6或7C．8D．10
14．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A．B．C．D．
15．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A．B．C．D．
16．我国2021年新年贺岁大片《你好，李焕英》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评．假设女性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为，男性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为．某机构就《你好，李焕英》是否好看的问题随机采访了名观众．
(1)若这名观众男女，求这观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多的概率；
(2)若这名观众都是女性，设表示这名观众中认为《你好，李焕英》好看的人数，求的分布列．
17．某部门为了解一企业在生产过程中的用水情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量为未来这3天中用水量超标的天数，求的分布列、数学期望和方差．
18．某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.
19．为迎接建党一百周年，在全县中小学校开展“恰是百年风华，爱我山河美景”竞赛考试活动，进一步激发学生的爱国热情.某中学于2021年3月份对全校学生进行了“建党一百周年”国防教育知识竞赛考试，并随机抽取了100名学生的成绩进行了统计，其中男女生各占一半，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者为成绩优秀，否则为成绩不优秀.
(1)求图中a的值；
(2)将频率视为概率，从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，记抽取的4人中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
20．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行次试飞试验，共进行次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这次试飞中，有不良表现不超过次，则该架无人机得分，否则得分.假设每架无人机次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在次试飞后有不良表现的次数的分布列和方差；
(2)若参与试验的该型无人机有架，在次试飞试验中获得的总分不低于分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？
针对练习三 超几何分布
21．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
22．从一副不含大小王的52张，（即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（ ）
A．B．C．D．
23．在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（ ）
A．B．C．D．
24．2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（ ）
A．B．C．D．
25．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
26．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
27．2021年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为.
（1）求随机变量的分布列和数学期望；
（2）求甲没有通过预选赛的概率.
28．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
29．某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
30．某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．
针对练习四 正态分布
31．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（ ）
A．该校学生每周平均阅读时间为
B．该校学生每周阅读时间的标准差为
C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为
D．该校学生每周阅读时间不低于的人数约占
32．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
33．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
34．某校有1200人参加某次数学模拟考试，考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次考试成绩在90分以下的人数约为（ ）
A．180B．240C．360D．480
35．在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（ ）
参考数据：；；
A．1200B．900C．600D．300
36．随着老旧小区的改造，小区内的设施越来越完善，也有越来越多的居民用上了天然气．某然气公司为了制定天然气分档价格表，在全市随机抽取了200户居民，对其月均使用天然气的情况进行了调查，统计如下：
（1）求这200户居民的月均使用天然气的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到）；
（2）①已知全市居民的天然气月均使用量服从正态分布，其中分别取（1）中的，．现从全市居民任取一户，求该户天然气的月均使用量在区间的概率；
②现从该市某小区任意抽取户，记表示这户天然气的月均使用量在区间的户数，求的数学期望．
附：，，，
37．在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(ⅰ)得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
(ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
参考数据与公式：，若，则①；②；③.
38．2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为．
（1）分析发现，学生劳动常识竞赛成绩，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；
（2）某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为，通过后两关的的概率均为，且每关是否通过相互独立，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
39．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求的值（的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据：；；．）
40．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若，则，．
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
X
0
1
2
P
1
2
X
1
2
3
4
P
m
0
1
2
3
分数段
食堂个数
1
3
8
3
等级
特等
一等
二等
三等
等外
个数
50
100
250
60
40
分组区间(单位：克)
产品件数
3
4
7
5
1
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
月均用气量
户数
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
赠送的随机话费(单元:元)
20
40
概率
0.75
0.25
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.4.2随机变量及其分布列（针对练习）
针对练习
针对练习一 离散型随机变量及其分布列
1．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可
【详解】由分布列的性质可得，，即①，
，
，即②，
联立①②解得，，
故．
故选：A．
2．已知随机变量X的分布列如下表所示
则当取最大值时，a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由分布列的性质可得，，然后表示出，消去，整理成关于的二次函数的形式，从而可出其最大值，进而可求出
【详解】由概率的性质知，，即，则，
且，，
所以当时，取得最大值，此时．
故选：D．
3．随机变量的分布列是
若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意求出，结合分布列可得，求出a、b的值，进而求出，应用随机变量的方差公式计算即可.
【详解】．
∴，又
则，解得，
∴，
∴．
故选：A.
4．设随机变量X的概率分布列为
则（ ）A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分布列中所有概率和为1求得，然后利用互斥事件概率加法公式计算概率．
【详解】解：由，解得，．
故选：B．
5．已知随机变量的分布列如表所示.
若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据随机变量的分布列，可得的可能取值，求出对应的概率，再根据，即可得出答案.
【详解】解：由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
且，，
，，
∵，
∴实数满足.
故选：B.
6．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．
(1)求得到一件合格零件的概率；
(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，求得的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量可取，，，求得相应的概率，即可得出的分布列.
(1)
解：设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，
则，．
所以得到一件合格零件的概率为．
(2)
解：若一件零件一次成型即合格，则．
若一件零件经过技术处理后合格，则．
若一件零件成为废品，则．
所以可取，，，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
7．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）
【详解】解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，
即这箱产品被用户接收的概率为．
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3．
=，
=，
=，
∴的概率分布列为：
∴=．
8．甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．
（1）求甲恰好得30分的概率；
（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；
（3）求甲恰好比乙多30分的概率.
【答案】（1）
（2）分布列见解析 数学期望
（3）
【详解】解：
（I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，
（II）的取值为0，10， 30，60.
，，
，
的概率分布如下表：
（III）设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1,
甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A=为互斥事件.
.
所以，甲恰好比乙多30分的概率为
9．甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【分析】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进而结合概率的乘法公式即可求出结果；
（2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果；
（3）由期望公式、标准差公式可求解.
（1）
因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
（2）
由题意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列为：
（3）
由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
10．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．
(1)求比赛结束时乙获胜的概率；
(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三局两胜制可知，乙获胜则有三种情况，分类即可求解.（2）根据随机变量所有取值的可能以及计算对应的概率，即可求解,
（1）
比赛结束时，乙获胜有三种情况：
①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局2胜，
∴比赛结束时乙获胜的概率；
（2）
由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
∴X的分布列为
针对练习二 二项分布
11．下列说法正确的个数是（ ）．
①某同学投篮的命中率为，他次投篮中命中的次数是一个随机变量，且服从二项分布；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了张彩票，中奖张数是一个随机变量，且服从二项分布；
③从装有大小与质地相同的个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且服从二项分布．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】利用独立重复实验的概率模型，判断3个命题的真假，推出结果即可．
【详解】解：①某同学投篮投中的概率，该运动员重复次投篮，
则命中次数服从二项分布，正确；
②福彩中奖概率为，某人一次买了张，中奖张数是一个随机变量，
满足二项分布；所以②正确；
③从装有个红球、个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，
则摸球次数是随机变量，则的可能取值为、、、、、，
且，，，，，，
不是二项分布，所以③不正确；
故选：C．
12．设随机变量，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项分布求解即可
【详解】
解得
故选：A
13．若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5B．6或7C．8D．10
【答案】D
【分析】求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.
【详解】因为，所以，
由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值.
故选：D
14．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.
【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，
有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，
故选：A.
15．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案.
【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.
16．我国2021年新年贺岁大片《你好，李焕英》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评．假设女性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为，男性观众认为《你好，李焕英》好看的概率为．某机构就《你好，李焕英》是否好看的问题随机采访了名观众．
(1)若这名观众男女，求这观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多的概率；
(2)若这名观众都是女性，设表示这名观众中认为《你好，李焕英》好看的人数，求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据二项分布的概率公式及概率的乘法公式直接计算；
（2）根据二项分布的概率公式直接可得分布列.
(1)
设表示名男性观众中认为好看的人数，表示名女性观众中认为好看的人数，
则，．
设事件为“这名观众中男性认为好看的人数比女性认为好看的人数多”，
则
；
(2)
由题意可知，
所以，
，
，
，
．
所以的分布列为
17．某部门为了解一企业在生产过程中的用水情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．
(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量为未来这3天中用水量超标的天数，求的分布列、数学期望和方差．
【答案】(1)
(2)
数学期望为，方差为
【分析】（1）根据题意得，求解计算即可；
（2）根据题意得，，求解计算即可.
（1）
记“12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件，
则．
（2）
以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为．可能的取值为0，1，2，3，
易知，，，1，2，3，
则，，，．
所以X的分布列为：
数学期望，方差．
18．某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；
(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.
（2）由题设可得，故利用二项分布可求的分布列，利用公式可求其期望.
(1)
设至多有1个大学食堂的评分不低于9分为事件，
则.
所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.
(2)
任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为，
故，
所以，，
，，
的分布列为：
.
19．为迎接建党一百周年，在全县中小学校开展“恰是百年风华，爱我山河美景”竞赛考试活动，进一步激发学生的爱国热情.某中学于2021年3月份对全校学生进行了“建党一百周年”国防教育知识竞赛考试，并随机抽取了100名学生的成绩进行了统计，其中男女生各占一半，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者为成绩优秀，否则为成绩不优秀.
(1)求图中a的值；
(2)将频率视为概率，从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，记抽取的4人中成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，1人.
【分析】(1)根据频率分布直方图小矩形面积为频率，总频率为1即可求解；
(2)由题可知X服从二项分布，根据二项分布的概率求法和数学期望公式即可求解.
(1)
由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知，解得.
(2)
成绩优秀的概率为，
从本次考试的全县所有学生中，随机抽取4人去其他学校进行爱国励志演讲宣传，
则抽取的4人中成绩优秀的人数服从二项分布，
即.∴的可能取值为0，1，2，3，4，且
；
；
；
；
.
即的分布列为
∵，∴(人).
20．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行次试飞试验，共进行次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这次试飞中，有不良表现不超过次，则该架无人机得分，否则得分.假设每架无人机次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为.
(1)求某架无人机在次试飞后有不良表现的次数的分布列和方差；
(2)若参与试验的该型无人机有架，在次试飞试验中获得的总分不低于分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意得X服从二项分布，代入公式，分别求得，写出分布列，代入公式，即可求得方差.
（2）由题意得获得分的架数可取3、4、5、6，先求得该型无人机获得6分的概率，再求得通过安全认证的概率，即可得答案.
（1）
由题意得，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
（2）
当时，设该型架无人机获得分的架数为，则获得分的架数为，
由题意可得，解得，，则的取值有、、、，
记“某架无人机获得分”为事件A，则，
记“架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件，
则.
针对练习三 超几何分布
21．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.
考点：离散型随机变量及其分布列.
22．从一副不含大小王的52张，（即A，2，3，…，10，J，Q，K不同花色的各4张）中任意抽出5张，恰有3张A的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】基本事件总数，其中有3张包含的基本事件个数，由此能求出有3张的概率．
【详解】从一副不含大小王的52张扑克牌（即，2，3，，10，，，不同花色的各4张）中任意抽出5张，
基本事件总数，
其中有3张包含的基本事件个数，
有3张的概率是,
故选：．
23．在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若表示抽到高二年级同学的作品数，则服从，根据超几何分布公式求概率即可.
【详解】由题意知：若表示抽到高二年级同学的作品数，则服从，可类比：在含有5件次品的10件商品中取7次，恰好将5件次品全部取出的概率，即，
∴.
故选：A.
24．2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的个数为，从而求得概率.
【详解】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为
故选：D
25．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.
26．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】（1）先求出抽到二等级别水果的频率，从而可得抽到二等级别水果的概率为，所以随机抽取6个，若设抽到二等级别水果的个数为，则，然后利用二项分布的概率公式求解即可，
（2）利用分层抽样可得抽取的10个中其中优级水果有3个，非优级水果有7个，则可得优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求各自对应的概率，从而可求得的分布列及数学期望
【详解】解：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，
则，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，
则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则，，
，．
所以的分布列如下：
所以．
27．2021年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为.
（1）求随机变量的分布列和数学期望；
（2）求甲没有通过预选赛的概率.
【答案】（1）分布列见解析，2；（2）.
【分析】（1）求出随机变量的可能取值，根据服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，即可列出分布列，再结合期望的概念即可求出数学期望；
（2）由题意知甲没有通过预选赛则甲答对了1道或0道，结合概率的加法公式即可求出结果.
【详解】解：（1）随机变量的可能取值有0，1，2，3，且服从超几何分布.
，，，.
所以随机变量的分布列为
（2）若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道.
所以甲没有通过预选赛的概率.
28．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，
【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列；
（3）依题意，即可求出的分布列，再求出数学期望，即可得解；
【详解】解：（1）样本中一共有件产品，包装质量在克的产品有件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率
（2）依题意的可能取值为、、；
，，
故的分布列为：
（3）由（2）可得
依题意，则的可能取值为，，
，，
故的分布列为：
所以
所以
29．某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．
（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；
（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析.
【分析】（1）如果是有放回的摸球，则每此摸到红球的概率都是，再按照中奖规则求概率；（2）如果是不放回的摸球，则按照超几何分布列出分布列，并求数学期望；（3）根据（1）（2）的结果，分别求中奖的概率的大小.
【详解】解：（1）在有放回方式下，记“他能中奖”为事件，则．
（2）由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3；
，，
，；
所以的分布列为
的数学期望．
（3）由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为
；
由，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大．
30．某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）选择方案二，理由见解析.
【分析】（1）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解；
（2）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，然后求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，最后求出数学期望；
（3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论．
【详解】解：（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，
记抽到四等品的数量为，则，
所以．
（2）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
则的分布列为
．
（3）由题，方案二的产品的平均售价为
（元/件）.
因为，
所以从采购商的角度考虑，应选择方案二.
针对练习四 正态分布
31．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（ ）
A．该校学生每周平均阅读时间为
B．该校学生每周阅读时间的标准差为
C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为
D．该校学生每周阅读时间不低于的人数约占
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性及常见概率直接计算.
【详解】由知A，B正确；
因为，，每周阅读时间在的人数约占，人数约为，所以C错误；
该校学生每周阅读时间低于小时的人数约占，D正确；
故选：C.
32．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正态分布的对称性求解指定区间的概率.
【详解】因为，所以，又，
所以PX⩽0=PX⩾4=0.3，所以P(0