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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲有限样本空间与随机事件(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲有限样本空间与随机事件(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了事件类型的判断，确定样本空间，事件与事件的表示等内容，欢迎下载使用。
知识点1 随机试验
（1）随机现象与确定性现象
一般地，把在一定条件下能预知结果的现象称为确定性现象.比如把石头抛向空中，它会掉到地面上来；我们生活的地球每天都在绕太阳转动；一个人随着岁月的消逝，一定会衰老死亡……这类现象称为确定性现象.这里的确定性有两层含义：一是在一定条件下必然发生，二是可以预知结果.随机现象是在一定条件下(试验或观察)不能事先预知结果，且个个结果发生的频率具有稳定性的现象，如射击命中的环数；抛掷一枚骰子所出现的点数等等.
随机试验
我们把对随机现象的实现和对他的观察称为随机试验，简称试验.常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能，结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些，可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪个结果.
注：对于随机试验而言，每次试验的结果如何是无法预料的，但随着试验的重复进行，其结果的出现会呈现出一定的规律性，我们称之为随机现象的统计规律性.
知识点2 事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
注：必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
知识点2 对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
考点一 事件类型的判断
解题方略：
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
变式1：指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
变式2：下列事件中，随机事件的个数为( )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
变式3：已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式4：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
变式5：在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
变式6：在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)
考点二 确定样本空间
解题方略：
确定样本空间的方法
1列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.（当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．）
2列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
3树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.（样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法）
【例2】将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
变式1：袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
变式2：一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
考点三 事件与事件的表示
解题方略：
1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
3.一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
【例3】从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
变式1：在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．
变式2：用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
变式3：先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
变式4：将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含样本点个数为________个．
变式5：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；
②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”；
④P＝“x＋y是偶数”.
【例5】在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
练习一 事件类型的判断
1、【多选】下面事件是随机事件的是( )
A．某项体育比赛出现平局
B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升
D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
2、质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
3、在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
4、下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
练习二 确定样本空间
1、写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
2、从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
练习三 事件与事件的表示
1、某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
3、一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
4、先后抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)写出该实验的样本空间；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
5、已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
6、设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
7、已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.
第1讲 有限样本空间与随机事件
知识点1 随机试验
（1）随机现象与确定性现象
一般地，把在一定条件下能预知结果的现象称为确定性现象.比如把石头抛向空中，它会掉到地面上来；我们生活的地球每天都在绕太阳转动；一个人随着岁月的消逝，一定会衰老死亡……这类现象称为确定性现象.这里的确定性有两层含义：一是在一定条件下必然发生，二是可以预知结果.随机现象是在一定条件下(试验或观察)不能事先预知结果，且个个结果发生的频率具有稳定性的现象，如射击命中的环数；抛掷一枚骰子所出现的点数等等.
随机试验
我们把对随机现象的实现和对他的观察称为随机试验，简称试验.常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能，结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些，可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪个结果.
注：对于随机试验而言，每次试验的结果如何是无法预料的，但随着试验的重复进行，其结果的出现会呈现出一定的规律性，我们称之为随机现象的统计规律性.
知识点2 事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
注：必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
知识点2 对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
考点一 事件类型的判断
解题方略：
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
变式1：指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
【解析】(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
变式2：下列事件中，随机事件的个数为( )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】①②④是随机事件，③是不可能事件．故选C.
变式3：已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.
变式4：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.
变式5：在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
【解析】抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．选D.
变式6：在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)
【解析】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
考点二 确定样本空间
解题方略：
确定样本空间的方法
1列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.（当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．）
2列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
3树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.（样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法）
【例2】将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】方法1：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(1)由图知，样本点总数为36.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
方法3：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
变式1：袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
【解析】从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
答案：{红，白，黄，黑} {(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}
变式2：一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解析】随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.
考点三 事件与事件的表示
解题方略：
1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
3.一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
【例3】从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
【解析】任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
变式1：在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．
【解析】样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．
变式2：用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.
变式3：先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个样本点．故选A.
变式4：将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含样本点个数为________个．
【解析】先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．共16个样本点．
用A表示满足条件“eq \f(x,y)为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．
答案：8
变式5：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；
②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”；
④P＝“x＋y是偶数”.
【解析】(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点总数为16.
(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}
②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}
③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．
所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}
④“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．
所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．
【例5】在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
【解析】不妨记3张红色卡片为1,2,3号，2张白色卡片为4,5号．
(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1号、2号卡片)，故共有10个样本点．
(2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中的样本点有25个．
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
【解析】(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
练习一 事件类型的判断
1、【多选】下面事件是随机事件的是( )
A．某项体育比赛出现平局
B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升
D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
【解析】体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选A、B.
2、质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
【解析】质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．
3、在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
【解析】若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．故选C.
4、下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
【解析】锐角三角形中两内角和大于90°.故选C
练习二 确定样本空间
1、写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
2、从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
【解析】画出树状图，如图：
由图可知样本空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}．
练习三 事件与事件的表示
1、某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．故选C
2、甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
【解析】(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
3、一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
【解析】(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个样本点．
4、先后抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)写出该实验的样本空间；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
【解析】抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．
(1)该试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)设事件A＝“一枚正面，一枚反面”，则A＝{(正面，反面)，(反面，正面)}共2种结果．
5、已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
【解析】“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.
6、设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
【解析】(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
7、已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.
【解析】(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.
(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).
知识点1 随机试验
（1）随机现象与确定性现象
一般地，把在一定条件下能预知结果的现象称为确定性现象.比如把石头抛向空中，它会掉到地面上来；我们生活的地球每天都在绕太阳转动；一个人随着岁月的消逝，一定会衰老死亡……这类现象称为确定性现象.这里的确定性有两层含义：一是在一定条件下必然发生，二是可以预知结果.随机现象是在一定条件下(试验或观察)不能事先预知结果，且个个结果发生的频率具有稳定性的现象，如射击命中的环数；抛掷一枚骰子所出现的点数等等.
随机试验
我们把对随机现象的实现和对他的观察称为随机试验，简称试验.常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能，结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些，可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪个结果.
注：对于随机试验而言，每次试验的结果如何是无法预料的，但随着试验的重复进行，其结果的出现会呈现出一定的规律性，我们称之为随机现象的统计规律性.
知识点2 事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
注：必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
知识点2 对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
考点一 事件类型的判断
解题方略：
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
变式1：指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
变式2：下列事件中，随机事件的个数为( )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
变式3：已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式4：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
变式5：在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
变式6：在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)
考点二 确定样本空间
解题方略：
确定样本空间的方法
1列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.（当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．）
2列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
3树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.（样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法）
【例2】将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
变式1：袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
变式2：一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
考点三 事件与事件的表示
解题方略：
1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
3.一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
【例3】从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
变式1：在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．
变式2：用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
变式3：先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
变式4：将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含样本点个数为________个．
变式5：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；
②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”；
④P＝“x＋y是偶数”.
【例5】在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
练习一 事件类型的判断
1、【多选】下面事件是随机事件的是( )
A．某项体育比赛出现平局
B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升
D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
2、质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
3、在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
4、下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
练习二 确定样本空间
1、写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
2、从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
练习三 事件与事件的表示
1、某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
3、一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
4、先后抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)写出该实验的样本空间；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
5、已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
6、设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
7、已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.
第1讲 有限样本空间与随机事件
知识点1 随机试验
（1）随机现象与确定性现象
一般地，把在一定条件下能预知结果的现象称为确定性现象.比如把石头抛向空中，它会掉到地面上来；我们生活的地球每天都在绕太阳转动；一个人随着岁月的消逝，一定会衰老死亡……这类现象称为确定性现象.这里的确定性有两层含义：一是在一定条件下必然发生，二是可以预知结果.随机现象是在一定条件下(试验或观察)不能事先预知结果，且个个结果发生的频率具有稳定性的现象，如射击命中的环数；抛掷一枚骰子所出现的点数等等.
随机试验
我们把对随机现象的实现和对他的观察称为随机试验，简称试验.常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能，结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些，可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪个结果.
注：对于随机试验而言，每次试验的结果如何是无法预料的，但随着试验的重复进行，其结果的出现会呈现出一定的规律性，我们称之为随机现象的统计规律性.
知识点2 事件的分类
(1)我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点．
(2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，如果一个随机试验有n个可能的结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间．(3)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件；只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．
(4)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(5)空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
注：必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．
知识点2 对事件分类的两个关键点
(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
考点一 事件类型的判断
解题方略：
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
变式1：指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
【解析】(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
变式2：下列事件中，随机事件的个数为( )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】①②④是随机事件，③是不可能事件．故选C.
变式3：已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.
变式4：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．至少有1件正品
【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.
变式5：在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是( )
A．4件都是正品
B．至少有一件次品
C．4件都是次品
D．至少有一件正品
【解析】抽取4件中至多3件次品，即至少有一件正品．选D.
变式6：在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)
【解析】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
考点二 确定样本空间
解题方略：
确定样本空间的方法
1列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.（当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．）
2列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点个数.列表法适用于较简单的试验问题，样本点个数较多的试验不适合用列表法.
3树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题.（样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法）
【例2】将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】方法1：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
方法2：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(1)由图知，样本点总数为36.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
方法3：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
变式1：袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
【解析】从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
答案：{红，白，黄，黑} {(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}
变式2：一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解析】随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.
考点三 事件与事件的表示
解题方略：
1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
3.一次摸出两张卡片，这两张卡片是没有顺序的，是无序问题；先后各取一张卡片，则这两张卡片是有顺序的，前后是有区别的．试验结果的有序与无序是确定样本点时要考虑的重要因素，所以要认真阅读题干中的关键词，判断是否要考虑顺序问题.
【例3】从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．
【解析】任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
变式1：在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．
【解析】样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．
变式2：用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.
变式3：先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向下”“1分正面向下，2分正面向上”“1分、2分都正面向上”三个样本点．故选A.
变式4：将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“eq \f(x,y)为整数”这一事件包含样本点个数为________个．
【解析】先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．共16个样本点．
用A表示满足条件“eq \f(x,y)为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．
答案：8
变式5：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；
②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”；
④P＝“x＋y是偶数”.
【解析】(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点总数为16.
(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}
②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}
③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．
所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}
④“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．
所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．
【例5】在一个不透明的口袋中装有大小相同标号不同的5张卡片，其中3张红色，2张白色．
(1)从中一次摸出两张卡片，此试验共有多少个样本点？
(2)从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)，此试验共有多少个样本点？
【解析】不妨记3张红色卡片为1,2,3号，2张白色卡片为4,5号．
(1)“从中一次摸出两张卡片”，无顺序，故这个试验中等可能出现的结果有10种，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)(其中(1,2)表示摸到1号、2号卡片)，故共有10个样本点．
(2)“从中先后各取一张卡片(每次取后立即放回)”，有顺序，故这个试验中的样本点有25个．
变式1：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．
(1)当不放回抽取时，写出样本空间Ω1；
(2)当放回抽取时，写出样本空间Ω2.
【解析】(1)Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，b1)}．
(2)Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}．
练习一 事件类型的判断
1、【多选】下面事件是随机事件的是( )
A．某项体育比赛出现平局
B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升
D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
【解析】体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选A、B.
2、质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
【解析】质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．
3、在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均不正确
【解析】若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．故选C.
4、下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
【解析】锐角三角形中两内角和大于90°.故选C
练习二 确定样本空间
1、写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．
答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
2、从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．
【解析】画出树状图，如图：
由图可知样本空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}．
练习三 事件与事件的表示
1、某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】该生选报的所有可能情况是：数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型，所以样本点有3个．故选C
2、甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件“甲赢”；
(3)写出事件“平局”．
【解析】(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
3、一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个都是白球包含几个样本点？
【解析】(1)采用列举法．
分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个样本点．
4、先后抛掷两枚质地均匀的硬币．
(1)写出该实验的样本空间；
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？
【解析】抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．
(1)该试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．
(2)设事件A＝“一枚正面，一枚反面”，则A＝{(正面，反面)，(反面，正面)}共2种结果．
5、已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
【解析】“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.
6、设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
【解析】(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
7、已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a,b).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;
(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.
【解析】(1)这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.
(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).
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