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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲平面向量的数乘运算(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第03讲平面向量的数乘运算(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了，当λ＝－1时，a＝－a，又λ<0，k＝λ，所以k＝－1，故选A，故选C等内容，欢迎下载使用。
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
结合律：；
第一分配律：；
第二分配律：．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线定理
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．
注：定理中，向量a为非零向量，特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点4 三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
变式1：下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
变式2：计算：（1）；（2）；（3）．
【例2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④B．①②C．①③D．③④
变式1：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2D．3
变式2：下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
变式3:下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
考点二 共线向量定理的应用
解题方略：
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线．
注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；
(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【例5】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式1：设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb，＝3(a－b)，则m为何值时，A，B，D三点共线？
变式2：设两个非零向量a与b不共线，试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
变式3：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
变式5：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线D．以上均不正确
【例6】已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
变式1：设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 由已知向量表示未知向量
解题方略：
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
利用向量的线性运算
【例7】已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)) B.－eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→)) C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→))
【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
变式1：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式2：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式3:在△ABC中，点D在边AB上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D．eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
变式4:(2023·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
利用三角形的相似
【例9】在四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) B.eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))
C．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) D．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))
变式1：在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
【例10】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b B.eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
C．－eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b D．－eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b
变式1：如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
根据向量线性运算求参数
【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
变式1：如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B.2 C．3 D．4
变式2：在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
【例12】在△ABC中，N是AC边上一点且＝eq \f(1,2)，P是BN上一点，若＝m＋eq \f(2,9)，则实数m的值是________．
【例13】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的数乘运算
1、等于（ ）
A．B．C．D．
2、化简：（1）；（2）；
（3）；（4）.
3、若，，则___________，___________，___________.
4、已知，则___________.
5、已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向B．0·＝0
C．D．若，则
6、【多选】对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
7、【多选】已知，，下列叙述正确的是（ ）
A．B．与方向相同
C．是单位向量D．若，则
练习二 共线向量定理的应用
1、已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
2、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
3、设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为__________．
4、【多选】已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线
C．D．
练习三 由已知向量表示未知向量
1、如图所示，在中，．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2、在△ABC中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
3、设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4、设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5、在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A．B．C．D．
7、在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．3
8、在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
9、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
对于理解
代数角度
几何角度
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．
对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
第3讲 平面向量的数乘运算
知识点1 向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
结合律：；
第一分配律：；
第二分配律：．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线定理
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．
注：定理中，向量a为非零向量，特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点4 三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
【解析】对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
变式1：下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【解析】①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
变式2：计算：（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【例2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④B．①②C．①③D．③④
【解析】对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；
对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；
对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
变式1：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2D．3
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.
②错误，当＝0时，不论λ为何值，λ＝0.
③错误，当λ＝μ＝0时，λ＝μ＝，此时，与可以是任意向量.
故错误的命题有3个.
故选；D
变式2：下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
【解析】A. 当时，结论不成立；
B. 当时，结论不成立；
C. 当||＝2||，与2不一定共线；
D. 因为＝±2，所以||＝2||，故正确；
故选：D
变式3:下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，A正确；＝＝，B不正确．
，C正确；，D正确.
故选：B.
【例3】已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（ ）
A．B．C．D．
【解析】为边中点，∴，∵，∴，
即.故选：B
变式1：已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
【解析】由，得，即，
所以，即，
故选：C.
考点二 共线向量定理的应用
解题方略：
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线．
注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；
(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解析】对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
【例5】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式1：设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb，＝3(a－b)，则m为何值时，A，B，D三点共线？
【解析】eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使eq \(BD,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
变式2：设两个非零向量a与b不共线，试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
【解析】因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．
变式3：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
变式4：已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
【解析】依题意，
，所以共线，即三点共线，A正确.
，则不共线、不共线，BD错误.
，则不共线，C错误.
故选：A
变式5：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线D．以上均不正确
【解析】如图，取AC中点D，则，∴，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A．
【例6】已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
所以，即，
所以点是边上靠近点的三等分点，
所以，
因为的边与的边上的高相等，
所以，
故选：B
变式1：设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，所以
设为的中点，由为的中点.
则,
所以,则三点共线，且,如图.
所以,则点到的距离是点到的距离的倍.
所以
故选：C
考点三 由已知向量表示未知向量
解题方略：
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
利用向量的线性运算
【例7】已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)) B.－eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→)) C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→))
【解析】依题意，得eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋2eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋2(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))，所以eq \(OC,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))，故选A.
【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
【解析】由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(b－c)，则＝＋＝c＋eq \f(2,3)(b－c)＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，故选D.
变式1：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】因为eq \(BC,\s\up8(→))＝3eq \(CD,\s\up8(→))，所以eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))，
所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up8(→)).故选A.
变式2：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】法一：设eq \(AD,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))，由eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))可得，eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CA,\s\up7(―→))－4eq \(AD,\s\up7(―→))，即－eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4xeq \(AB,\s\up7(―→))－4yeq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＝－1，,－4y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))即eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
法二：在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，即－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
变式3:在△ABC中，点D在边AB上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D．eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
【解析】∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))，∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(CA,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选B.
变式4:(2023·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】作出示意图如图所示．eq \(EB,\s\up7(―→))＝eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).故选A.
利用三角形的相似
【例9】在四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) B.eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))
C．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) D．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))
【解析】在四边形ABCD中，因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，所以四边形ABCD为平行四边形，如图所示．由已知得eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(EB,\s\up7(―→))，由题意知△DEF∽△BEA，则eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OC,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)×eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),2)＝eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),3)，所以eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),3)＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→)).
变式1：在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
【解析】如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以eq \f(BF,EF)＝eq \f(AB,EC)＝2，所以eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b，故选C.
【例10】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b B.eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
C．－eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b D．－eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b
【解析】如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，∴＝eq \f(1,4)，则△AHD∽△FHG，从而＝eq \f(1,4)，∴＝eq \f(4,5)，＝＋＝b＋eq \f(1,2)a，∴＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b，故选B.
变式1：如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
【解析】因为A，M，D三点共线，
所以eq \(OM,\s\up7(→))＝λ1eq \(OD,\s\up7(→))＋(1－λ1)eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)λ1b＋(1－λ1)a，①
因为C，M，B三点共线，
所以eq \(OM,\s\up7(→))＝λ2eq \(OB,\s\up7(→))＋(1－λ2)eq \(OC,\s\up7(→))＝λ2b＋(eq \f(1－λ2,4))a，②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ1＝λ2，,1－λ1＝\f(1－λ2,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(6,7)，,λ2＝\f(3,7).))
故eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.
根据向量线性运算求参数
【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
【解析】由题意易得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，则2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，即eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up7(―→)).故λ＋μ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).故选D
变式1：如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B.2 C．3 D．4
【解析】根据图形，由题意可得eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AD,\s\up7(―→))＋\f(1,4) eq \(AB,\s\up7(―→)) ))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→)).
因为eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，则2r＋3s＝1＋2＝3.故选C
变式2：在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
【解析】如图，∵eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))，①
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DN,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))，②
由①②得eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,3)，λ＋μ＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
【例12】在△ABC中，N是AC边上一点且＝eq \f(1,2)，P是BN上一点，若＝m＋eq \f(2,9)，则实数m的值是________．
【解析】如图，因为＝eq \f(1,2)，所以＝eq \f(1,3)，所以＝m＋eq \f(2,9)＝m＋eq \f(2,3).因为B，P，N三点共线，所以m＋eq \f(2,3)＝1，则m＝eq \f(1,3).
【例13】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
【解析】设eq \(CO,\s\up7(→))＝yeq \(BC,\s\up7(→))，则eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋yeq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋y(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝－yeq \(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq \(AC,\s\up7(→)).
因为eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，因为eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up7(→))，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的数乘运算
1、等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C
2、化简：（1）；（2）；
（3）；（4）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
3、若，，则___________，___________，___________.
【解析】因为，，
所以，，.
故答案为：，，
4、已知，则___________.
【解析】.故答案为：5
5、已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向B．0·＝0
C．D．若，则
【解析】对于A选项，对，当时正确，当时错误，故A选项错误；
对于B选项，根据数乘运算的结果为向量，故0·是向量而非数0，故B选项错误；
对于C选项，根据数乘运算的分配率即可得，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项错误．
故选：C.
6、【多选】对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
【解析】对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；
对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；
对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；
对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.
故选：ABD
7、【多选】已知，，下列叙述正确的是（ ）
A．B．与方向相同
C．是单位向量D．若，则
【解析】已知，
由向量数乘的概念知，选项A正确，
当时，与方向相反，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
由得，，又，所以，解得或，故选项D错误.
故选：AC.
练习二 共线向量定理的应用
1、已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
【解析】∵向量，，∴=2，即点A，B，D三点共线.
故选：A.
2、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
【解析】因为A，B，C三点共线，则存在实数，使得，即，
即，所以，又因为向量，不共线，
所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解.
故选：AB
3、设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为__________．
【解析】因为三点共线，设,
且,
，即，因此，解得，
故答案为：.
4、【多选】已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线
C．D．
【解析】因为，所以，
所以，因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
练习三 由已知向量表示未知向量
1、如图所示，在中，．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为．且，，所以，
.
故选：C
2、在△ABC中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，
由题意，.
故选：C.
3、设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，为的中点，
所以，
故选：A.
4、设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，，所以，，
所以
，
故选：B.
5、在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示：
，
故选：A.
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意,
，
故选：D
7、在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．3
【解析】因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
8、在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【解析】∵，则，
∴，
.∵，，三点共线，所以，
解得：，
故选：A.
9、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：D．
对于理解
代数角度
几何角度
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．
对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
结合律：；
第一分配律：；
第二分配律：．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线定理
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．
注：定理中，向量a为非零向量，特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点4 三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
变式1：下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
变式2：计算：（1）；（2）；（3）．
【例2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④B．①②C．①③D．③④
变式1：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2D．3
变式2：下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
变式3:下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
考点二 共线向量定理的应用
解题方略：
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线．
注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；
(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【例5】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式1：设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb，＝3(a－b)，则m为何值时，A，B，D三点共线？
变式2：设两个非零向量a与b不共线，试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
变式3：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
变式5：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线D．以上均不正确
【例6】已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
变式1：设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 由已知向量表示未知向量
解题方略：
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
利用向量的线性运算
【例7】已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)) B.－eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→)) C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→))
【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
变式1：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式2：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式3:在△ABC中，点D在边AB上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D．eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
变式4:(2023·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
利用三角形的相似
【例9】在四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) B.eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))
C．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) D．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))
变式1：在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
【例10】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b B.eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
C．－eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b D．－eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b
变式1：如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
根据向量线性运算求参数
【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
变式1：如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B.2 C．3 D．4
变式2：在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
【例12】在△ABC中，N是AC边上一点且＝eq \f(1,2)，P是BN上一点，若＝m＋eq \f(2,9)，则实数m的值是________．
【例13】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的数乘运算
1、等于（ ）
A．B．C．D．
2、化简：（1）；（2）；
（3）；（4）.
3、若，，则___________，___________，___________.
4、已知，则___________.
5、已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向B．0·＝0
C．D．若，则
6、【多选】对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
7、【多选】已知，，下列叙述正确的是（ ）
A．B．与方向相同
C．是单位向量D．若，则
练习二 共线向量定理的应用
1、已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
2、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
3、设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为__________．
4、【多选】已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线
C．D．
练习三 由已知向量表示未知向量
1、如图所示，在中，．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2、在△ABC中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
3、设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4、设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5、在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A．B．C．D．
7、在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．3
8、在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
9、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
对于理解
代数角度
几何角度
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．
对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
第3讲 平面向量的数乘运算
知识点1 向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
结合律：；
第一分配律：；
第二分配律：．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线定理
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．
注：定理中，向量a为非零向量，特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点4 三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
【解析】对于①，，①正确；
对于②，，②正确；
对于③，，③错误.
故选：C.
变式1：下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
【解析】①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
变式2：计算：（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【例2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④B．①②C．①③D．③④
【解析】对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；
对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；
对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；
对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故④错误；
故选：B
变式1：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2D．3
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.
②错误，当＝0时，不论λ为何值，λ＝0.
③错误，当λ＝μ＝0时，λ＝μ＝，此时，与可以是任意向量.
故错误的命题有3个.
故选；D
变式2：下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
【解析】A. 当时，结论不成立；
B. 当时，结论不成立；
C. 当||＝2||，与2不一定共线；
D. 因为＝±2，所以||＝2||，故正确；
故选：D
变式3:下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】，A正确；＝＝，B不正确．
，C正确；，D正确.
故选：B.
【例3】已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（ ）
A．B．C．D．
【解析】为边中点，∴，∵，∴，
即.故选：B
变式1：已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
【解析】由，得，即，
所以，即，
故选：C.
考点二 共线向量定理的应用
解题方略：
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线．
注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；
(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解析】对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
【例5】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.
变式1：设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb，＝3(a－b)，则m为何值时，A，B，D三点共线？
【解析】eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使eq \(BD,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝λ，,m－3＝λ，))解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
变式2：设两个非零向量a与b不共线，试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
【解析】因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,kλ＝1，))所以k＝±1.又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．
变式3：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
变式4：已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
【解析】依题意，
，所以共线，即三点共线，A正确.
，则不共线、不共线，BD错误.
，则不共线，C错误.
故选：A
变式5：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线D．以上均不正确
【解析】如图，取AC中点D，则，∴，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A．
【例6】已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
所以，即，
所以点是边上靠近点的三等分点，
所以，
因为的边与的边上的高相等，
所以，
故选：B
变式1：设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，所以
设为的中点，由为的中点.
则,
所以,则三点共线，且,如图.
所以,则点到的距离是点到的距离的倍.
所以
故选：C
考点三 由已知向量表示未知向量
解题方略：
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
利用向量的线性运算
【例7】已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)) B.－eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→)) C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→))
【解析】依题意，得eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋2eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋2(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))，所以eq \(OC,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))，故选A.
【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
【解析】由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)(b－c)，则＝＋＝c＋eq \f(2,3)(b－c)＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，故选D.
变式1：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】因为eq \(BC,\s\up8(→))＝3eq \(CD,\s\up8(→))，所以eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))，
所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up8(→)).故选A.
变式2：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】法一：设eq \(AD,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))，由eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))可得，eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CA,\s\up7(―→))－4eq \(AD,\s\up7(―→))，即－eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4xeq \(AB,\s\up7(―→))－4yeq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＝－1，,－4y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))即eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
法二：在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，即－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
变式3:在△ABC中，点D在边AB上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D．eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
【解析】∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))，∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(CA,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选B.
变式4:(2023·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
【解析】作出示意图如图所示．eq \(EB,\s\up7(―→))＝eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).故选A.
利用三角形的相似
【例9】在四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) B.eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))
C．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) D．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))
【解析】在四边形ABCD中，因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，所以四边形ABCD为平行四边形，如图所示．由已知得eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(EB,\s\up7(―→))，由题意知△DEF∽△BEA，则eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up7(―→))－eq \(OC,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)×eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),2)＝eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),3)，所以eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)),3)＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→)).
变式1：在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
【解析】如图，因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以eq \f(BF,EF)＝eq \f(AB,EC)＝2，所以eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b，故选C.
【例10】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b B.eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
C．－eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b D．－eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b
【解析】如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，∴＝eq \f(1,4)，则△AHD∽△FHG，从而＝eq \f(1,4)，∴＝eq \f(4,5)，＝＋＝b＋eq \f(1,2)a，∴＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b，故选B.
变式1：如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
【解析】因为A，M，D三点共线，
所以eq \(OM,\s\up7(→))＝λ1eq \(OD,\s\up7(→))＋(1－λ1)eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)λ1b＋(1－λ1)a，①
因为C，M，B三点共线，
所以eq \(OM,\s\up7(→))＝λ2eq \(OB,\s\up7(→))＋(1－λ2)eq \(OC,\s\up7(→))＝λ2b＋(eq \f(1－λ2,4))a，②
由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ1＝λ2，,1－λ1＝\f(1－λ2,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(6,7)，,λ2＝\f(3,7).))
故eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.
根据向量线性运算求参数
【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
【解析】由题意易得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，则2eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，即eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up7(―→)).故λ＋μ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).故选D
变式1：如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B.2 C．3 D．4
【解析】根据图形，由题意可得eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AD,\s\up7(―→))＋\f(1,4) eq \(AB,\s\up7(―→)) ))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→)).
因为eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，则2r＋3s＝1＋2＝3.故选C
变式2：在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
【解析】如图，∵eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))，①
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DN,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))，②
由①②得eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,3)，λ＋μ＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
【例12】在△ABC中，N是AC边上一点且＝eq \f(1,2)，P是BN上一点，若＝m＋eq \f(2,9)，则实数m的值是________．
【解析】如图，因为＝eq \f(1,2)，所以＝eq \f(1,3)，所以＝m＋eq \f(2,9)＝m＋eq \f(2,3).因为B，P，N三点共线，所以m＋eq \f(2,3)＝1，则m＝eq \f(1,3).
【例13】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
【解析】设eq \(CO,\s\up7(→))＝yeq \(BC,\s\up7(→))，则eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋yeq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋y(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝－yeq \(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq \(AC,\s\up7(→)).
因为eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，因为eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq \(AC,\s\up7(→))，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的数乘运算
1、等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】.故选：C
2、化简：（1）；（2）；
（3）；（4）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
3、若，，则___________，___________，___________.
【解析】因为，，
所以，，.
故答案为：，，
4、已知，则___________.
【解析】.故答案为：5
5、已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向B．0·＝0
C．D．若，则
【解析】对于A选项，对，当时正确，当时错误，故A选项错误；
对于B选项，根据数乘运算的结果为向量，故0·是向量而非数0，故B选项错误；
对于C选项，根据数乘运算的分配率即可得，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项错误．
故选：C.
6、【多选】对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
【解析】对于A： 的长度是的长度的2倍，且与方向相同，故A正确；
对于B：的长度是的长度的，且与方向相反，故B正确；
对于C：若，则等于零向量，不是零，故C错误；
对于D：若，则是与同向的单位向量，故D正确.
故选：ABD
7、【多选】已知，，下列叙述正确的是（ ）
A．B．与方向相同
C．是单位向量D．若，则
【解析】已知，
由向量数乘的概念知，选项A正确，
当时，与方向相反，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
由得，，又，所以，解得或，故选项D错误.
故选：AC.
练习二 共线向量定理的应用
1、已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
【解析】∵向量，，∴=2，即点A，B，D三点共线.
故选：A.
2、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
【解析】因为A，B，C三点共线，则存在实数，使得，即，
即，所以，又因为向量，不共线，
所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解.
故选：AB
3、设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为__________．
【解析】因为三点共线，设,
且,
，即，因此，解得，
故答案为：.
4、【多选】已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线
C．D．
【解析】因为，所以，
所以，因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
练习三 由已知向量表示未知向量
1、如图所示，在中，．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为．且，，所以，
.
故选：C
2、在△ABC中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图，
由题意，.
故选：C.
3、设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，为的中点，
所以，
故选：A.
4、设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，，所以，，
所以
，
故选：B.
5、在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示：
，
故选：A.
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意,
，
故选：D
7、在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．3
【解析】因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
8、在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【解析】∵，则，
∴，
.∵，，三点共线，所以，
解得：，
故选：A.
9、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，，所以，
又，即.
因为、、三点共线，所以，解得.
故选：D．
对于理解
代数角度
几何角度
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．
对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．
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