高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04练平面向量的数量积(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04练平面向量的数量积(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了向量，，，的夹角为，则，若向量满足，则，在中，，，点满足，则，已知平面向量，满足，，若，，则，在边长为3的菱形中，，，则，已知向量，，则与的夹角为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题
1．已知为非零平面向量，则下列说法正确的是
A．B．若，则
C．若，则D．
2．向量，，，的夹角为，则
A．5B．6C．7D．8
3．若向量满足，则
A．B．C．1D．2
4．在中，，，点满足，则
A．B．C．3D．6
5．已知平面向量，满足，，若，，则
A．1B．2C．D．
6．在边长为3的菱形中，，，则
A．B．C．D．
7．已知是所在平面内一点，且满足，则是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
8．在中，点是的三等分点（靠近点，过点的直线分别交直线，于不同两点，，若，，，均为正数，则的最小值为
A．2B．C．D．
9．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
10．已知向量，，则与的夹角为
A．B．C．D．
11．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
12．已知，，且与相互垂直，则与的夹角为
A．B．C．D．
13．已知，，，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
14．对于空间任意两个非零向量，“ “是“为钝角”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．已知，，，则，
A．1B．C．0D．
16．若向量，满足，，，则，的夹角为
A．B．C．D．
17．已知非零向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值是
A．B．C．D．
18．已知单位向量，满足，则向量与的夹角是
A．0B．C．0或D．
19．在平行四边形中，，，为中点，若，且，
A．B．C．D．
20．已知单位向量，的夹角为，，．若，则实数的值为
A．2B．C．4D．
21．已知为单位向量，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
22．已知平面向量，，与的夹角为，且与垂直，则
A．B．C．3D．7
23．已知单位向量，满足，若，，且，则
A．1B．2C．D．
24．若，为非零向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
25．若单位向量，满足，记，的夹角为，则
A．B．C．D．
26．设向量为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则
A．B．1C．2D．
27．已知向量，，且，则，等于
A．B．C．D．
28．已知向量，满足，，，则在上的投影为
A．1B．C．2D．
29．已知，，且，则向量在方向上的投影为
A．1B．C．D．
30．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为
A．2B．C．1D．
31．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
32．在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
33．已知在边长为3的等边中，，则在上的投影为
A．B．C．D．
34．若向量，满足，，则在方向上的投影为
A．1B．C．D．
35．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为
A．B．C．D．
36．已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于
A．B．C．D．1
37．若为单位向量，，则向量在向量方向上的投影为
A．B．1C．D．
38．在等腰中，，平分且与相交于点，则向量在上的投影向量为
A．B．C．D．
二．填空题
39．在三角形中，是中点，，，则 ．
40．已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数 ．
41．已知向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影等于 ．
42．已知，的夹角为，则在上的投影为 ．
43．已知向量，满足，，，则， ．
44．已知，，则 ；与的夹角为 ．
45．设非零向量，，满足，且，则，的夹角为 ．
46．已知，，，则向量与的夹角为 ．
47．已知非零向量，满足，，则，的夹角大小为 ．
48．已知非零向量，满足，则与的夹角为 ．
49．已知两个单位向量，的夹角为，，，则实数 ．
50．已知向量，，则 ．
51．已知非零向量，满足，，且，则 ．
52．已知的夹角为，则在上的投影为 ．
53．已知，且满足，则向量在方向上的投影等于 ．
54．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是 ．
三．解答题
55．在平行四边形中，，，，求：
（1）；
（2）．
56．已知向量．
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的夹角．
57．已知两个非零向量，，且，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求的最小值．
58．已知平面向量满足，且．
（1）求；
（2）当时，求向量与的夹角的值．
59．设，是两个相互垂直的单位向量，且，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
60．若，是夹角为的两个向量，且，，设与．
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值．
第4练 平面向量的数量积
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一．选择题（共38小题）
1．已知为非零平面向量，则下列说法正确的是
A．B．若，则
C．若，则D．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，根据平面向量数量积的定义知与共线，与共线，所以选项错误；
对于，时，与不一定相等，如和时它们的数量积为0，、不相等，所以选项错误；
对于，根据平面向量的共线定理知，若，则，使，所以选项正确；
对于，根据平面向量数量积的定义知，，，所以，选项错误．
故选：．
2．向量，，，的夹角为，则
A．5B．6C．7D．8
【解析】，，，的夹角为，
，
故选：．
3．若向量满足，则
A．B．C．1D．2
【解析】因为，所以，，，
解得，
故选：．
4．在中，，，点满足，则
A．B．C．3D．6
【解析】．
故选：．
5．已知平面向量，满足，，若，，则
A．1B．2C．D．
【解析】，，若，，
，
解得：或（舍去），
故选：．
6．在边长为3的菱形中，，，则
A．B．C．D．
【解析】如图，
，，
，且，
又，
．
故选：．
7．已知是所在平面内一点，且满足，则是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】，
，即．
取的中点为，
则，
，为的中点，
为等腰三角形．
故选：．
8．在中，点是的三等分点（靠近点，过点的直线分别交直线，于不同两点，，若，，，均为正数，则的最小值为
A．2B．C．D．
【解析】是靠近点的三等分点，
，
由、、三点共线
可知，
则，当且仅当，即，时取得等号．
故选：．
9．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】设向量，夹角为，，，
由得，，
又，，．
故选：．
10．已知向量，，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
由可得．
故选：．
11．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】向量，满足，，，
，
，
，
设向量与的夹角为，
则，
，，
．
故选：．
12．已知，，且与相互垂直，则与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】因为与相互垂直，
所以，即，
又，，
，
，
故选：．
13．已知，，，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
【解析】，，，
，
解得，
向量与的夹角．
故选：．
14．对于空间任意两个非零向量，“ “是“为钝角”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】时，可能反向，，得不出为钝角；
为钝角时，；
“ “是“为钝角”的必要不充分条件．
故选：．
15．已知，，，则，
A．1B．C．0D．
【解析】因为，，，
所以，
即，
解得，
所以，．
故选：．
16．若向量，满足，，，则，的夹角为
A．B．C．D．
【解析】，
，，
，，
，，
，，
，，，，，
故选：．
17．已知非零向量与满足，且，则向量与的夹角的余弦值是
A．B．C．D．
【解析】，且，
，
即
，
即，，
，，
，，
即向量与的夹角的余弦值为．
故选：．
18．已知单位向量，满足，则向量与的夹角是
A．0B．C．0或D．
【解析】单位向量，满足，，
，，，，，，
则向量与的夹角为，
故选：．
在平行四边形中，，，为中点，若，且，

A．B．C．D．
【解析】在平行四边形中，，，
为中点，若，且，
令，则，
，
求得，
故选：．
20．已知单位向量，的夹角为，，．若，则实数的值为
A．2B．C．4D．
【解析】单位向量，的夹角为，，
，，
，
，
，
解得，
即实数的值为，
故选：．
21．已知为单位向量，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】为单位向量，则由，可得，
，，故充分性成立．
若，则，，，
故必要性成立，
故选：．
22．已知平面向量，，与的夹角为，且与垂直，则
A．B．C．3D．7
【解析】平面向量，，与的夹角为，且与垂直，
，
．
故选：．
23．已知单位向量，满足，若，，且，则
A．1B．2C．D．
【解析】，，
，，
，
．
故选：．
24．若，为非零向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】①因为，所以，
则，所以充分性成立，
②由，得，
所以非零向量，垂直，所以必要性成立，
所以是的充要条件．
故选：．
25．若单位向量，满足，记，的夹角为，则
A．B．C．D．
【解析】因为单位向量，满足，
所以，
即，
所以，
解得，
所以，
所以，
所以．
故选：．
26．设向量为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则
A．B．1C．2D．
【解析】，，且与垂直，
，解得．
故选：．
27．已知向量，，且，则，等于
A．B．C．D．
【解析】，，且，
，解得，
，且，
．
故选：．
28．已知向量，满足，，，则在上的投影为
A．1B．C．2D．
【解析】向量，满足，，，
，可得：，
则在上的投影．
故选：．
29．已知，，且，则向量在方向上的投影为
A．1B．C．D．
【解析】，，，
，
，
向量在方向上的投影为．
故选：．
30．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为
A．2B．C．1D．
【解析】，，，
，
，，
向量在向量方向上的投影为，
故选：．
31．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
【解析】，是的中点，
即是的外接圆的直径，
，是等边三角形，
则，则，
则向量在向量上的投影为，
则对应的投影向量为，
故选：．
32．在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
【解析】如图：在直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量为．
故选：．
33．已知在边长为3的等边中，，则在上的投影为
A．B．C．D．
【解析】，
，
在上的投影为．
故选：．
34．若向量，满足，，则在方向上的投影为
A．1B．C．D．
【解析】，，
，
在方向上的投影为．
故选：．
35．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为
A．B．C．D．
【解析】因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为；
故选：．
36．已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于
A．B．C．D．1
【解析】，，，
，解得或（舍去），
在方向上的投影等于．
故选：．
37．若为单位向量，，则向量在向量方向上的投影为
A．B．1C．D．
【解析】，
，，
在方向上的投影为：．
故选：．
38．在等腰中，，平分且与相交于点，则向量在上的投影向量为
A．B．C．D．
【解析】如图，根据题意，，，
在上的投影向量为：．
故选：．
二．填空题
39．在三角形中，是中点，，，则 ．
【解析】因为在三角形中，是中点，，，
所以
．
故答案为：．
40．已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数 ．
【解析】、是夹角为的两个单位向量，
若和垂直，则
，
求得实数，
故答案为：．
41．已知向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影等于 ．
【解析】向量、的夹角为
又，
故答案为：1
42．已知，的夹角为，则在上的投影为 ．
【解析】由于
根据向量投影的概念，在上的投影为
故答案为：3．
43．已知向量，满足，，，则， ．
【解析】因为，，，
所以，，
解得，．
故答案为：．
44．已知，，则 ；与的夹角为 ．
【解析】因为，，
所以，
解得，
所以，
设与的夹角为，
则，
解得，
又，
所以，
则与的夹角为．
故答案为：1；．
45．设非零向量，，满足，且，则，的夹角为 ．
【解析】设，的夹角为，
因为非零向量，，满足，且，
所以，
即，
即，
所以，
又，
所以，
即，的夹角为．
故答案为：．
46．已知，，，则向量与的夹角为 ．
【解析】，，，，，
求得，，可得向量与的夹角，为，
故答案为：．
47．已知非零向量，满足，，则，的夹角大小为 ．
【解析】非零向量，满足，，
，，故有，，
，，，，
即，的夹角大小为，
故答案为：．
48．已知非零向量，满足，则与的夹角为 ．
【解析】设与的夹角为，
由，
可得，
所以，
则．
故答案为：．
49．已知两个单位向量，的夹角为，，，则实数 ．
【解析】两个单位向量，的夹角为，
．
，，
，．
故答案为：．
50．已知向量，，则 ．
【解析】因为向量，，
所以，，
所以．
故答案为：9．
51．已知非零向量，满足，，且，则 ．
【解析】非零向量，满足，，且，
，
，
．
故答案为：．
52．已知的夹角为，则在上的投影为 ．
【解析】根据向量投影的概念，则在上的投影
故答案为：1
53．已知，且满足，则向量在方向上的投影等于 ．
【解析】，
，
又
向量在方向上的投影为：
故答案为：
54．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是 ．
【解析】根据向量的投影定义，在上的投影等于，
故答案为：1
三．解答题
55．在平行四边形中，，，，求：
（1）；
（2）．
【解析】（1）在中，由余弦定理知，，
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
56．已知向量．
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的夹角．
【解析】（1）；
（2）因为，
所以，即，所以，解得，
所以；
（3）因为，
所以，，
即，，
所以，，即，，
故的夹角为．
57．已知两个非零向量，，且，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求的最小值．
【解析】（1），，，，
，，，
，
，，．
（2），，，
，
的最小值为．
58．已知平面向量满足，且．
（1）求；
（2）当时，求向量与的夹角的值．
【解析】（1），
，
又，
．
（2），
，
，，
．
59．设，是两个相互垂直的单位向量，且，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1），是两个相互垂直的单位向量，且，．
若，则有，．
（2）若，由于，
则，
．
60．若，是夹角为的两个向量，且，，设与．
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值．
【解析】（1）若，是夹角为的两个向量，且，，
则．
若与，，则，
求得．
（2），
故当时，取得最小值为．
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日期：2022/1/27 22:46:49；用户：985794074；邮箱：985794074@qq.cm；学号：9476148