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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04练概率的基本性质(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第04练概率的基本性质(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A．B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件D．A=B
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
4．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27B．0.31C．0.42D．0.69
6．从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
8．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）A．0.29B．0.41C．0.25D．0.63
10．甲､乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲､乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5B．0.7C．0.9D．0.4
11．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
13．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
14．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立C．D．
二、多选题
15．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
16．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标未被命中的概率为B．目标恰好被命中一次的概率为
C．目标恰好被命中两次的概率为D．目标被命中的概率为
17．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
18．某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为D．他属于不超过2个小组的概率为
三、填空题
19．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．
20．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.
21．小张，小李，小王三位同学之间相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由小张开始传球，则经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为________．
22．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
23．已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
24．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为________．
四、解答题
26．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
27．在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
28．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
29．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
30．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第50%分数位（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．
年降水量（mm）
[100，150)
[150，200)
[200，250)
[250，300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
第4练 概率的基本性质
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为和甲、乙两球都没有落入盒子的概率，
由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是.
故选：B
2．若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A．B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件D．A=B
【解析】由题意，事件与是互斥事件，则，
则，是对立事件.
故选：B
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
【解析】由题意可得乙胜的概率为30%50%%，
所以乙不输的概率是%+50%=70%
故选：B
4．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
【解析】“抽到次品”的概率：
.
故选：D
5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27B．0.31C．0.42D．0.69
【解析】当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，
我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，
所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.
故选：B
6．从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】一副混合后的扑克牌不含大小王共有52张，则事件A的概率为，
一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为，
而事件A与B互斥，则，
所以.
故选：A
7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
8．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，肉馅包子的个数为，
从中随机取出个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为，
所以，豆沙馅包子的个数为，因此，素馅包子的个数为.
故选：C.
9．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）
A．0.29B．0.41C．0.25D．0.63
【解析】年降水量在[200，300]范围内的事件A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和，
而事件B与C互斥，且，则，
所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.
故选：C
10．甲､乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲､乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5B．0.7C．0.9D．0.4
【解析】甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，
且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故选：A．
11．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，
则，
所以.
故选:B.
13．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
14．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立C．D．
【解析】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概率得：，，，于是得，
C正确，D不正确.
故选：C
二、多选题
15．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
【解析】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
16．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标未被命中的概率为B．目标恰好被命中一次的概率为
C．目标恰好被命中两次的概率为D．目标被命中的概率为
【解析】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；
对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，
概率为，故B错误；
对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；
对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；
故选：CD
17．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
【解析】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
18．某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为D．他属于不超过2个小组的概率为
【解析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，
只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，
故只属于音乐小组的概率为，
只属于英语小组的概率为，
“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，
故他属于至少2个小组的概率为，
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，
其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.
故选：CD.
三、填空题
19．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．
【解析】从羽毛球产品中任取一个，A={质量小于4.8 g}，B={质量在[4.8，4.85)(g)范围内}，C={质量小于4.85 g}，
事件A与B互斥，且C=A+B，而P(A)=0.3，P(C)=0.32，
由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02，
所以质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是0.02.
故答案为：0.02
20．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.
【解析】将事件A＋B分成“出现1，2，3”和“出现5”这两个事件，
记“出现1，2，3”为事件C，“出现5”为事件D，
则C与D两个事件互斥，
所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.
故答案为：.
21．小张，小李，小王三位同学之间相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由小张开始传球，则经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为________．
【解析】根据题意，列出树状图如下：
由树状图可知，5次传球后的基本事件总数为32，球回到小张手中的基本事件数为10.
所以5次传球后球仍回到小张手中的概率为.
故答案为：.
22．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
【解析】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴.
23．已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
【解析】（1）因为B⊆A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
故答案为：0.4；0.2；0.6；0．
24．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，
所以.
故答案为：.
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为________．
【解析】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件有2个结果，事件有3结果，
于是有，，而事件和是互斥的，则，
所以事件 的概率为.
故答案为：
四、解答题
26．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
【解析】(1)由题可知，，，，
∴，，，，
∴A∩B=，BC={2}，
所求概率为， .
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，
所求概率为， .
(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
所求概率为；；；.
27．在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
【解析】由已知取得80分以上成绩的概率为，
考试不及格（低于60分）的概率为．
28．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．
由题意，得
即
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．
29．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【解析】(1)由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：，
x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且，
x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而，
，
因此，.
(2)x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件，
则有，
而，即有，解得，
所以x=2的概率是，a＋b的值是3.
30．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第50%分数位（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．
【解析】(1)由题意得： ，解得 ；
这100人中测试成绩在[80，85）的人数为 （人）；
(2)平均数为：
（分），
设中位数为m,且 ，则 ，
解得 ，故第50%分数位76.67分；
(3)第三组频率为 ，第四组频率为，
第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，
三组人数为3人，2人和1人，
记第三组抽取的人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,
则抽取2人的所有情况如下：
共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有
共9种，
故第四组至少有1名老师被抽到的概率为 .年降水量（mm）
[100，150)
[150，200)
[200，250)
[250，300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
一、单选题
1．己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A．B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件D．A=B
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
4．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27B．0.31C．0.42D．0.69
6．从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
8．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）A．0.29B．0.41C．0.25D．0.63
10．甲､乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲､乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5B．0.7C．0.9D．0.4
11．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
13．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
14．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立C．D．
二、多选题
15．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
16．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标未被命中的概率为B．目标恰好被命中一次的概率为
C．目标恰好被命中两次的概率为D．目标被命中的概率为
17．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
18．某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为D．他属于不超过2个小组的概率为
三、填空题
19．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．
20．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.
21．小张，小李，小王三位同学之间相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由小张开始传球，则经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为________．
22．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
23．已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
24．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为________．
四、解答题
26．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
27．在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
28．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
29．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
30．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第50%分数位（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．
年降水量（mm）
[100，150)
[150，200)
[200，250)
[250，300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
第4练 概率的基本性质
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为和甲、乙两球都没有落入盒子的概率，
由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率是.
故选：B
2．若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A．B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件D．A=B
【解析】由题意，事件与是互斥事件，则，
则，是对立事件.
故选：B
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
【解析】由题意可得乙胜的概率为30%50%%，
所以乙不输的概率是%+50%=70%
故选：B
4．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
【解析】“抽到次品”的概率：
.
故选：D
5．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人能给哪些血型的人输血，是有严格规定的，输血法则可归结为4条：①X→X；②O→X；X→AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者).已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照规则，若受血者为A型血，则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.27B．0.31C．0.42D．0.69
【解析】当受血者为A型血时，供血者可以为A型或O型，即B，AB两种血型不能为供血者，
我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，
所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为：P=24%+7%=31%=0.31.
故选：B
6．从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】一副混合后的扑克牌不含大小王共有52张，则事件A的概率为，
一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为，
而事件A与B互斥，则，
所以.
故选：A
7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
8．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，肉馅包子的个数为，
从中随机取出个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为，
所以，豆沙馅包子的个数为，因此，素馅包子的个数为.
故选：C.
9．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）
A．0.29B．0.41C．0.25D．0.63
【解析】年降水量在[200，300]范围内的事件A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和，
而事件B与C互斥，且，则，
所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.
故选：C
10．甲､乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲､乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5B．0.7C．0.9D．0.4
【解析】甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，
且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故选：A．
11．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
12．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，
则，
所以.
故选:B.
13．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
14．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥B．与对立C．D．
【解析】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概率得：，，，于是得，
C正确，D不正确.
故选：C
二、多选题
15．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
【解析】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
16．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）
A．目标未被命中的概率为B．目标恰好被命中一次的概率为
C．目标恰好被命中两次的概率为D．目标被命中的概率为
【解析】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；
对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，
概率为，故B错误；
对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；
对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；
故选：CD
17．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
【解析】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC
18．某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为D．他属于不超过2个小组的概率为
【解析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，
只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，
故只属于音乐小组的概率为，
只属于英语小组的概率为，
“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，
故他属于至少2个小组的概率为，
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，
其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是.
故选：CD.
三、填空题
19．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．
【解析】从羽毛球产品中任取一个，A={质量小于4.8 g}，B={质量在[4.8，4.85)(g)范围内}，C={质量小于4.85 g}，
事件A与B互斥，且C=A+B，而P(A)=0.3，P(C)=0.32，
由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02，
所以质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是0.02.
故答案为：0.02
20．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.
【解析】将事件A＋B分成“出现1，2，3”和“出现5”这两个事件，
记“出现1，2，3”为事件C，“出现5”为事件D，
则C与D两个事件互斥，
所以P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.
故答案为：.
21．小张，小李，小王三位同学之间相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由小张开始传球，则经过5次传球后，球仍回到小张手中的概率为________．
【解析】根据题意，列出树状图如下：
由树状图可知，5次传球后的基本事件总数为32，球回到小张手中的基本事件数为10.
所以5次传球后球仍回到小张手中的概率为.
故答案为：.
22．中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
【解析】设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则，.∵A，B是互斥事件，∴.
23．已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
【解析】（1）因为B⊆A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
故答案为：0.4；0.2；0.6；0．
24．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，
所以.
故答案为：.
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 字样）的试验中，事件表示 “不大于 3 的奇数点出现”，事件 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 的概率为________．
【解析】依题意，抛掷一颗骰子的试验有6个不同的结果，它们等可能，其中事件有2个结果，事件有3结果，
于是有，，而事件和是互斥的，则，
所以事件 的概率为.
故答案为：
四、解答题
26．掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
【解析】(1)由题可知，，，，
∴，，，，
∴A∩B=，BC={2}，
所求概率为， .
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}，
所求概率为， .
(3)={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.
所求概率为；；；.
27．在一次满分为100分的数学考试中，某同学的考试成绩及其概率如下表所示，请计算他在该次数学考试中取得80分以上成绩的概率和考试不及格（低于60分）的概率.
【解析】由已知取得80分以上成绩的概率为，
考试不及格（低于60分）的概率为．
28．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的．
由题意，得
即
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是．
29．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
(1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？
(2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？
【解析】(1)由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：，
x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且，
x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而，
，
因此，.
(2)x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件，
则有，
而，即有，解得，
所以x=2的概率是，a＋b的值是3.
30．2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80，85）的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第50%分数位（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．
【解析】(1)由题意得： ，解得 ；
这100人中测试成绩在[80，85）的人数为 （人）；
(2)平均数为：
（分），
设中位数为m,且 ，则 ，
解得 ，故第50%分数位76.67分；
(3)第三组频率为 ，第四组频率为，
第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，
三组人数为3人，2人和1人，
记第三组抽取的人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,
则抽取2人的所有情况如下：
共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有
共9种，
故第四组至少有1名老师被抽到的概率为 .年降水量（mm）
[100，150)
[150，200)
[200，250)
[250，300]
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
成绩/分
概率
0.08
0.15
0.55
0.12
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
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