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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练复数的三角表示(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05练复数的三角表示(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的辐角主值是（ ）
A．B． C．D．
2．（ ）
A．1B．-1C．D．
3．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（ ）
A．3B．C．D．
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．复数表示成三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．________.
A．B．
C．D．
9．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
11．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（ ）
A．1B．0C．－1D．1＋i
12．（ ）
A．B．C．D．
13．已知复数满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
15．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．________.
A．B．
C．D．
18．复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
19．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．若复数（i为虚数单位），则为（ ）
A．B．120°C．240°D．210°
二、多选题
21．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
三、填空题
23．复数的辐角主值为__________．
24．复数，则_______ .
25．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
26．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
27．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
28．复数的三角形式为__________．
29．复数的三角形式为__________．
30．复数的代数形式是_____________.
31．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.
32．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
33．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示).
34．______________.
35．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
36．计算：____________．
37．若复数，，则的辐角的主值为______．
四、解答题
38．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
39．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
40．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
41．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
42．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.
第5练 复数的三角表示
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．复数的辐角主值是（ ）
A．B． C．D．
【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.
故选：B.
2．（ ）
A．1B．-1C．D．
【解析】
故选：C.
3．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意，
所以该复数在复平面内所对应的点为，
因为，，
所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.
故选：C.
5．（ ）
A．3B．C．D．
【解析】.
故选：B
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
7．复数表示成三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵，
，，
又，∴，
∴，
故选：C．
8．________.
A．B．
C．D．
【解析】原式=.
故选：C
9．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解析】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
10．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是
故选：A
11．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（ ）
A．1B．0C．－1D．1＋i
【解析】由题意可知＝，
故选C
12．（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：D.
13．已知复数满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则
，
当时，
则
，
故选：D
14．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
【解析】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：B．
15．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
16．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】∵，，，∴辐角主值为，
∴，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，
故选：B．
17．________.
A．B．
C．D．
【解析】原式=.
故选：C
18．复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，辐角主值为，所以
故选：C.
19．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
20．若复数（i为虚数单位），则为（ ）
A．B．120°C．240°D．210°
【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，
且，
所以.
故选：C.
二、多选题
21．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
【解析】根据题意，在，
令可得.
对于A，设，则有，
变形可得，
则，A正确；
对于B，设，则有，
变形可得，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，设，若，即，则有，，
则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；
故选：AD.
三、填空题
23．复数的辐角主值为__________．
【解析】因为，所以数的辐角主值为，
故答案为：.
24．复数，则_______ .
【解析】
复数在复平面内，对应点的坐标为，
点在轴上，
所以，
故答案为：.
25．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
【解析】因为，
所以.
故答案为：
26．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
【解析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.
点在第三象限，
即表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
27．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
【解析】因为把化成指数式需满足，
又,
如当时，，
故答案为：(答案不唯一)
28．复数的三角形式为__________．
【解析】=.
故答案为：.
29．复数的三角形式为__________．
【解析】因为，所以z的三角形式可以写作.
故答案为：.
30．复数的代数形式是_____________.
【解析】.
故答案为：.
31．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.
【解析】复数的共轭复数为，
∴，，，
∵辐角主值为，
∴复数的辐角可以表示为：，，
故答案为：，．
32．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
【解析】由题意得.
故答案为：
33．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示).
【解析】向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，
可得与对应的复数为
，
故答案为：．
34．______________.
【解析】
.
故答案为：.
35．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
【解析】因为，设，，
所以
由题意可知或，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：，
故答案为：.
36．计算：____________．
【解析】
故答案为：
37．若复数，，则的辐角的主值为______．
【解析】
，
所以的辐角的主值为.
故答案为：.
四、解答题
38．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
39．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
【解析】向量对应的复数为
.
40．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：
.
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
41．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【解析】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
42．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.
【解析】证明：设向量对应复数为，则向量对应的复数为
；
设向量对应复数为，
则向量对应的复数为；
向量对应复数为
，
同理，
.
由对应的复数为，对应的复数为
，且两复数模相等，易知对应复数是由对应复数逆时针旋转得到的，
又由图可知对应复数逆时针旋转可得对应复数，
.
一、单选题
1．复数的辐角主值是（ ）
A．B． C．D．
2．（ ）
A．1B．-1C．D．
3．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（ ）
A．3B．C．D．
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．复数表示成三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．________.
A．B．
C．D．
9．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
11．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（ ）
A．1B．0C．－1D．1＋i
12．（ ）
A．B．C．D．
13．已知复数满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
15．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．________.
A．B．
C．D．
18．复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
19．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．若复数（i为虚数单位），则为（ ）
A．B．120°C．240°D．210°
二、多选题
21．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
三、填空题
23．复数的辐角主值为__________．
24．复数，则_______ .
25．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
26．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
27．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
28．复数的三角形式为__________．
29．复数的三角形式为__________．
30．复数的代数形式是_____________.
31．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.
32．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
33．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示).
34．______________.
35．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
36．计算：____________．
37．若复数，，则的辐角的主值为______．
四、解答题
38．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
39．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
40．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
41．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
42．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.
第5练 复数的三角表示
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．复数的辐角主值是（ ）
A．B． C．D．
【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.
故选：B.
2．（ ）
A．1B．-1C．D．
【解析】
故选：C.
3．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】复数的模为1，辐角为，
所以复数的三角形式为.
故选：A
4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意，
所以该复数在复平面内所对应的点为，
因为，，
所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.
故选：C.
5．（ ）
A．3B．C．D．
【解析】.
故选：B
6．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：.
7．复数表示成三角形式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】∵，
，，
又，∴，
∴，
故选：C．
8．________.
A．B．
C．D．
【解析】原式=.
故选：C
9．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解析】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
10．将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．B．C．D．
【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是
故选：A
11．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，＝（ ）
A．1B．0C．－1D．1＋i
【解析】由题意可知＝，
故选C
12．（ ）
A．B．C．D．
【解析】
故选：D.
13．已知复数满足且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，
，即，
，解得：
，
当时，
，
则
，
当时，
则
，
故选：D
14．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为D．辐角主值为
【解析】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．
故选：B．
15．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
16．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】∵，，，∴辐角主值为，
∴，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，
故选：B．
17．________.
A．B．
C．D．
【解析】原式=.
故选：C
18．复数的三角形式为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，辐角主值为，所以
故选：C.
19．已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】对于①，复数的虚部为，所以①错误；
对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误；
对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确，
故选：B
20．若复数（i为虚数单位），则为（ ）
A．B．120°C．240°D．210°
【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，
且，
所以.
故选：C.
二、多选题
21．著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
【解析】∵，∴，故A正确；
∵，∴．故B正确；
∵对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，
∴，即，又，，∴，或．故C不正确；
∵，复数，两者对应向量坐标为、，∴两向量垂直．故D正确，
故选：ABD.
22．棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Ppe，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（ ）
A．
B．
C．
D．存在8个不同的复数，使
【解析】根据题意，在，
令可得.
对于A，设，则有，
变形可得，
则，A正确；
对于B，设，则有，
变形可得，
则，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，设，若，即，则有，，
则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；
故选：AD.
三、填空题
23．复数的辐角主值为__________．
【解析】因为，所以数的辐角主值为，
故答案为：.
24．复数，则_______ .
【解析】
复数在复平面内，对应点的坐标为，
点在轴上，
所以，
故答案为：.
25．欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为________．
【解析】因为，
所以.
故答案为：
26．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限.
【解析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.
点在第三象限，
即表示的复数在复平面中位于第三象限.
故答案为：三.
27．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
【解析】因为把化成指数式需满足，
又,
如当时，，
故答案为：(答案不唯一)
28．复数的三角形式为__________．
【解析】=.
故答案为：.
29．复数的三角形式为__________．
【解析】因为，所以z的三角形式可以写作.
故答案为：.
30．复数的代数形式是_____________.
【解析】.
故答案为：.
31．复数的共轭复数的辐角可以表示为________.
【解析】复数的共轭复数为，
∴，，，
∵辐角主值为，
∴复数的辐角可以表示为：，，
故答案为：，．
32．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).
【解析】由题意得.
故答案为：
33．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示).
【解析】向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到，
可得与对应的复数为
，
故答案为：．
34．______________.
【解析】
.
故答案为：.
35．已知复数､满足，若和的幅角之差为，则___________.
【解析】因为，设，，
所以
由题意可知或，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：，
故答案为：.
36．计算：____________．
【解析】
故答案为：
37．若复数，，则的辐角的主值为______．
【解析】
，
所以的辐角的主值为.
故答案为：.
四、解答题
38．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
39．如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到.求向量对应的复数（用代数形式表示）.
【解析】向量对应的复数为
.
40．设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）
【解析】将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：
.
将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为
41．把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.
【解析】由复数乘法的几何意义得,
又
的辐角主值为
42．如图，分别以的两边为边向外作正三角形及，设交于用复数证明：且.
【解析】证明：设向量对应复数为，则向量对应的复数为
；
设向量对应复数为，
则向量对应的复数为；
向量对应复数为
，
同理，
.
由对应的复数为，对应的复数为
，且两复数模相等，易知对应复数是由对应复数逆时针旋转得到的，
又由图可知对应复数逆时针旋转可得对应复数，
.
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