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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲空间直线、平面的平行(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第05讲空间直线、平面的平行(原卷版+解析)，共71页。试卷主要包含了基本事实4，等角定理，证明直线与平面平行的方法等内容，欢迎下载使用。
知识点1 基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；（2）证明，；（3）得到．
注：（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，如图中的四边形表示空间四边形ABCD.点A，B，C，D叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的AB，BC，CD，DA.连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段BD，AC，空间四边形的对角线不共面.
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1） 图（2）
知识点2 直线与平面平行的判定定理
注：判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行问题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
知识点3 直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
注：1、对直线与平面平行的性质定理的几点认识
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用
①线面平行⇒线线平行；
作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②画一条直线与已知直线平行．
作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a∥α, a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
知识点4 平面与平面平行的判定定理
注：剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.
知识点5 平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
注：1．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理. 可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
知识点6 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
考点一 利用基本事实4证明直线与直线平行
解题方略：
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【例1】如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是__________.
变式2：在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
变式3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
变式4：如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
变式5：已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
变式6：在正方体ABCDA′B′C′D′中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．
变式7：已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH形状．
考点二 利用等角定理证明两角相等
解题方略：
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
【例2】两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG ∽ △C1DA1.
考点三 线面平行判定定理的理解
解题方略：
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
【例4】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
变式1：下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
变式2：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
变式3：已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个__________.
变式4：梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
变式5：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
变式6：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
考点四 直线与平面平行的判定
解题方略：
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
【例5】如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式1：已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
变式2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________．
变式3：如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
变式4：在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)，则直线EF与平面ABC的关系是( )
A．EF∥平面ABC
B．EF⊂平面ABC
C．EF与平面ABC相交
D．以上都有可能
变式5：在五棱台ABCDEA1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断
变式6：在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
变式7：在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
【例6】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
变式2：如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
变式3：如图，O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
变式4：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
【例7】【多选】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．BD1⊥AC
D．三棱锥D1ADC的体积为eq \f(8,3)
考点五 直线与平面平行性质的应用
解题方略：
利用线面平行性质定理解题的步骤
【例8】已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
变式1：已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
变式2：已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
变式3：已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n⇒n∥α
B．m∥α，n∥α⇒m∥n
C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n
D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
变式4：若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
变式5：直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
变式6：α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.
命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．
变式7：如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
变式8：如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
变式9：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
【例9】如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上. 若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
变式2：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(2)
变式3：如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．
【例10】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
变式1：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
变式2：过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证：BB1∥EE1.
变式3：如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.
变式4：如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．
考点六 直线与平面平行的判定与性质的综合
解题方略：
线面平行判定与性质的综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行eq \(――→,\s\up7(在平面内作),\s\d5(或找一直线))线面平行eq \(――→,\s\up7(经过直线作或找),\s\d5(平面与平面的交线))线线平行．
【例11】求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
变式1：如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
变式2：如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
考点七 平面与平面平行的判定
解题方略：
1、平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2、解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)eq \x(线线平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(线面平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(面面平行)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
【例12】能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
变式1：已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
变式2：已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
变式3：已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式4：已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
变式5：正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
变式6：六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．
变式7：如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．
变式8：如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【例13】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
变式1：如图所示，在三棱锥S ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB.
【例14】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥ABEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
【例15】已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
变式1：在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
变式2：如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
考点八 面面平行性质的应用
解题方略：
1.应用面面平行性质定理的基本步骤
2．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
【例16】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
变式1：如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
变式2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求证：AC∥FG.
练习一 利用基本事实4证明直线与直线平行
1、如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
练习二 利用等角定理证明两角相等
1、如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)＝eq \f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.
练习三 线面平行判定定理的理解
1、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
练习四 直线与平面平行的判定
1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图，则：EG与平面BDD1B1的位置关系是________．
2、如图，正方体中，为中点．求证：平面．
3、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
4、如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
5、已知正方形ABCD，如图1.E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，求证：BF∥平面ADE.
练习五 直线与平面平行性质的应用
1、下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
2、直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
3、如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
练习六 直线与平面平行的判定与性质的综合
1、如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
练习七 平面与平面平行的判定
1、已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ B．l⊂γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D．以上都不正确
2、平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
3、如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
4、如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
5、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
6、已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．
求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
7、如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.
考点八 面面平行性质的应用
1、平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
2、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
3、给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
其中正确说法的序号是________．
4、在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
第5讲 空间直线、平面的平行
知识点1 基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；（2）证明，；（3）得到．
注：（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，如图中的四边形表示空间四边形ABCD.点A，B，C，D叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的AB，BC，CD，DA.连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段BD，AC，空间四边形的对角线不共面.
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1） 图（2）
知识点2 直线与平面平行的判定定理
注：判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行问题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
知识点3 直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
注：1、对直线与平面平行的性质定理的几点认识
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用
①线面平行⇒线线平行；
作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②画一条直线与已知直线平行．
作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a∥α, a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
知识点4 平面与平面平行的判定定理
注：剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.
知识点5 平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
注：1．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理. 可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
知识点6 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
考点一 利用基本事实4证明直线与直线平行
解题方略：
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【例1】如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【解析】 ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是__________.
【解析】在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
变式2：在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
【解析】如图，连接BD，在△ABD中，
eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
答案：平行
变式3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【解析】如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.
变式4：如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
【证明】因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
变式5：已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
因为F为CC1的中点，所以BG∥C1F，
所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BF∥GC1，
又因为EG∥A1B1，A1B1∥C1D1 ，所以EG∥C1D1，
所以四边形EGC1D1为平行四边形，
所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.
变式6：在正方体ABCDA′B′C′D′中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．
证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝eq \f(1,2)A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，
所以MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.
又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形.
变式7：已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH形状．
【解析】如图，在△ABD中，
∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD.
在△BCD中，∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD，
∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
考点二 利用等角定理证明两角相等
解题方略：
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
【例2】两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
【解析】另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D.
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝eq \f(1,2)BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq \f(1,2)DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG ∽ △C1DA1.
证明：如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C且GF＝eq \f(1,2)B1C.
又ABCDA1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由基本事实4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，
∠A1DC1＝∠EFG.
所以△EFG ∽△C1DA1.
考点三 线面平行判定定理的理解
解题方略：
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
【例4】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
【解析】由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.故选D
变式1：下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
【解析】A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.
变式2：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【解析】若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．故选B.
变式3：已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个__________.
【解析】若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.
答案：①②⇒③(或①③⇒②)
变式4：梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案：CD∥α
变式5：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
【解析】圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．故选A.
变式6：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
【解析】在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α.故选D.
考点四 直线与平面平行的判定
解题方略：
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
【例5】如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D.
变式1：已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
【解析】因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.故选A.
变式2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________．
【解析】如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，
在△A1C1D中，EF为中位线，
所以EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，
所以EF∥平面C1CDD1.同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA
变式3：如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
【解析】∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.
答案：平行
变式4：在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)，则直线EF与平面ABC的关系是( )
A．EF∥平面ABC
B．EF⊂平面ABC
C．EF与平面ABC相交
D．以上都有可能
【解析】如图，∵eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)
∴EF∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC
∴EF∥平面ABC.
∴EF∩平面ABC＝∅.因而B、C、D均错．故选A.
变式5：在五棱台ABCDEA1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断
【解析】五棱台中，AB∥A1B1，∴四边形AA1B1B是梯形， ∵eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，∴FG∥AB. 而FG⊄平面ABCDE，AB⊂平面ABCDE.∴FG∥平面ABCDE.故选A.
变式6：在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
【解析】如图所示，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
又MN⊄平面ABD，MN⊄平面ABC，
AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD、平面ABC
变式7：在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
【解析】∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.故选A.
【例6】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【解析】证明：连接BC1，
则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
【解析】证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.
由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.
变式2：如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
【解析】证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝eq \f(1,2)DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝eq \f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
变式3：如图，O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
【解析】证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形，
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，
∴O1B1OD为平行四边形，
∴B1O∥O1D，
∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
变式4：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
【解析】如图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq \f(A1D1,D1C1)＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.
【例7】【多选】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．BD1⊥AC
D．三棱锥D1ADC的体积为eq \f(8,3)
【解析】选ABC 对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3)，故D错误．故选A、B、C.
考点五 直线与平面平行性质的应用
解题方略：
利用线面平行性质定理解题的步骤
【例8】已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
【解析】由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.
变式1：已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
【解析】由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选D.
变式2：已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
【解析】由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.故选A.
变式3：已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n⇒n∥α
B．m∥α，n∥α⇒m∥n
C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n
D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
【解析】 A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中m，n可能异面．故选C.
变式4：若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
【解析】因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….故选A.
变式5：直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
【解析】过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
答案：0或1
变式6：α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.
命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．
【解析】①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.
答案：①或③
变式7：如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
【解析】 ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
变式8：如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.
变式9：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.故选D.
【例9】如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上. 若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
【解析】因为EF∥平面AB1C，平面AC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面AC，所以EF∥AC. 又E为AD的中点，所以F为DC的中点，EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).
变式2：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(2)
【解析】如图，连接AD1，AB1，
∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，
∴PQ∥AB1，∴PQ＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(1,2) eq \r(12＋12)＝eq \f(\r(2),2).故选A.
变式3：如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．
【解析】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
【例10】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
【解析】证明：因为AB∥平面 MNPQ，
平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB⊂平面 ABC，
所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得 MQ∥NP.
所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
变式1：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
【解析】证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
变式2：过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证：BB1∥EE1.
【解析】证明：如图所示，
因为CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，
BB1⊂平面BEE1B1，
所以CC1∥平面BEE1B1，
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
所以CC1∥EE1.
由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.
变式3：如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.
【解析】证明：如图所示，连接CD，
因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面β，
又因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，
所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形．
所以AC＝BD.
变式4：如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．
【解析】在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．
证明如下：
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，
所以A1C1∥平面ABC.
又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，
所以A1C1∥l.
又因为直线l过点B，且l⊂平面ABC.
根据线面平行的性质定理，l即为所求．
考点六 直线与平面平行的判定与性质的综合
解题方略：
线面平行判定与性质的综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行eq \(――→,\s\up7(在平面内作),\s\d5(或找一直线))线面平行eq \(――→,\s\up7(经过直线作或找),\s\d5(平面与平面的交线))线线平行．
【例11】求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
【解析】证明：如图，过a作平面γ交α于b.
因为a∥α，所以a∥b.过a作平面ε交平面β于c.
因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b⊄β且c⊂β，所以b∥β.
又平面α过b交β于l，所以b∥l.
因为a∥b，所以a∥l.
变式1：如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
变式2：如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
【解析】设AO交BE于点G，连接FG(图略). 因为O，E分别是BD，AD的中点，所以eq \f(AG,AO)＝eq \f(2,3)，eq \f(AG,AC)＝eq \f(1,3). 因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以eq \f(AF,AP)＝eq \f(AG,AC)＝eq \f(1,3)，即λ＝3.故选D.
考点七 平面与平面平行的判定
解题方略：
1、平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2、解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)eq \x(线线平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(线面平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(面面平行)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
【例12】能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
【解析】平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α，β无公共点．故选D.
变式1：已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
【解析】选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
变式2：已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
【解析】因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.故选B.
变式3：已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．故选B.
变式4：已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【解析】根据图1和图2可知α与β平行或相交．故选C.
变式5：正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
【解析】在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，故平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.
变式6：六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．
【解析】由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
变式7：如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．
【解析】∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，
BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案：平行
变式8：如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
【例13】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
【解析】证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为eq \f(DO,DH)＝eq \f(2,3)＝eq \f(DG,DD1)，
所以GO∥D1H，
又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，AO⊂平面AGO，GO⊂平面AGO，所以平面AGO∥平面D1EF.
变式1：如图所示，在三棱锥S ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB.
【解析】证明：因为D，E分别是棱AC，BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB.
因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB.
【例14】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥ABEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
【解析】对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；
对于B，如图2，S△AEF＝eq \f(1,2)EF·h1＝eq \f(1,2)×1×
eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq \f(3\r(6),4)，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VACEF＝VCAEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(6),4)×d＝eq \f(\r(6),4)d为定值，所以B错误；
对于C，如图3，S△BEF＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2)，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VABEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×d＝eq \f(1,2)d为定值，C正确；
对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VACDF＝VFACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×3×3＝eq \f(9,2)为定值，D正确．故选A、C、D.
【例15】已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
【解析】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线BG交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC.
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
变式1：在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，
则，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
变式2：如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
【解析】证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
考点八 面面平行性质的应用
解题方略：
1.应用面面平行性质定理的基本步骤
2．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
【例16】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解析】因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD).
所以BD＝eq \f(24,5).
变式1：如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】[证明] 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理可得A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
变式2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求证：AC∥FG.
【解析】证明：连接A1C1，∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，
∴AC∥FG.
练习一 利用基本事实4证明直线与直线平行
1、如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
【解析】证明：取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.
∴EQ//B1C1(基本事实4)，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E//C1Q，
又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
∴QD//C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q//DF.
又∵B1E//C1Q，∴B1E//DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
练习二 利用等角定理证明两角相等
1、如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)＝eq \f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.
【解析】证明：∵AA1与BB1交于点O.
且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB.
同理A1C1∥AC，B1C1∥BC.
又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，
∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1.
练习三 线面平行判定定理的理解
1、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
【解析】由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．故选B.
练习四 直线与平面平行的判定
1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图，则：EG与平面BDD1B1的位置关系是________．
【解析】如图，取BD的中点F，连接EF，D1F.∵E为BC的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
则EF∥DC，且EF＝eq \f(1,2)CD.
∵G为C1D1的中点，
∴D1G∥CD且D1G＝eq \f(1,2)CD，
∴EF∥D1G且EF＝D1G，
∴四边形EFD1G为平行四边形，
∴D1F∥EG，而D1F⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
答案：EG∥平面BDD1B1
2、如图，正方体中，为中点．求证：平面．
【解析】证明：连结与交于点，连结.
在中，分别为、的中点.
得.
又因为平面，平面，
所以平面
3、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【解析】如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
4、如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接、，
因为四边形为矩形，则且，
、分别为、的中点，则且，
为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
平面，平面，平面；
（2）如下图所示，连接，取的中点，连接，
为的中点，所以，点、到平面的距离相等，
所以，，
、分别为、的中点，则且，
平面，平面，
的面积为，
因此，.
5、已知正方形ABCD，如图1.E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，求证：BF∥平面ADE.
【解析】证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
练习五 直线与平面平行性质的应用
1、下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【解析】①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．
②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．
③可以作无数个平面与直线平行，错误．
④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，正确，所以选D.
2、直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
【解析】由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.
3、如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
【解析】证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，
FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD.
又因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
练习六 直线与平面平行的判定与性质的综合
1、如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
【解析】因为A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.故选B.
2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解：若MB∥平面AEF，如图过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝eq \f(1,2)EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
练习七 平面与平面平行的判定
1、已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ B．l⊂γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D．以上都不正确
【解析】eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥γ ⇒α与γ无公共点,β∥γ ⇒β与γ无公共点))⇒α与β无公共点⇒α∥β.故选C.
2、平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故选C.
3、如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
【解析】证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
4、如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
【解析】（1）连结交于O，连结.
∵因为为正方体，底面为正方形，
对角线､交于O点，所以O为的中点，
又因为E为的中点，在中
∴是的中位线
∴；
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：
因为F为的中点，E为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面；
由（1）知平面，
又因为，所以平面平面.
5、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
6、已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．
求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
【解析】证明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.
∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，
∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且eq \f(PA′,A′M)＝eq \f(PB′,B′N)＝2，
∴A′B′∥MN.
同理可得B′C′∥NQ.
∵A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，
A′B′⊄平面ABC，
∴A′B′∥平面ABC.
同理可证B′C′∥平面ABC.
又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，
B′C′⊂平面A′B′C′，
∴平面A′B′C′∥平面ABC.
7、如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，、为、的中点，、交于点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又是的中位线，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面.
（2）∵、、为、、的中点，
∴，，
∴，
又，∴.
考点八 面面平行性质的应用
1、平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
【解析】因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点．
当直线a与直线b共面时，a∥b；
综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.
2、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
【解析】当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行
3、给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
其中正确说法的序号是________．
【解析】①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.
②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α.
4、在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
【解析】(1)eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．
所以AD1∥DC1.
又因为DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
知识点1 基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；（2）证明，；（3）得到．
注：（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，如图中的四边形表示空间四边形ABCD.点A，B，C，D叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的AB，BC，CD，DA.连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段BD，AC，空间四边形的对角线不共面.
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1） 图（2）
知识点2 直线与平面平行的判定定理
注：判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行问题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
知识点3 直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
注：1、对直线与平面平行的性质定理的几点认识
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用
①线面平行⇒线线平行；
作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②画一条直线与已知直线平行．
作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a∥α, a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
知识点4 平面与平面平行的判定定理
注：剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.
知识点5 平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
注：1．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理. 可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
知识点6 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
考点一 利用基本事实4证明直线与直线平行
解题方略：
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【例1】如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是__________.
变式2：在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
变式3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
变式4：如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
变式5：已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
变式6：在正方体ABCDA′B′C′D′中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．
变式7：已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH形状．
考点二 利用等角定理证明两角相等
解题方略：
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
【例2】两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG ∽ △C1DA1.
考点三 线面平行判定定理的理解
解题方略：
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
【例4】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
变式1：下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
变式2：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
变式3：已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个__________.
变式4：梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
变式5：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
变式6：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
考点四 直线与平面平行的判定
解题方略：
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
【例5】如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
变式1：已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
变式2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________．
变式3：如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
变式4：在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)，则直线EF与平面ABC的关系是( )
A．EF∥平面ABC
B．EF⊂平面ABC
C．EF与平面ABC相交
D．以上都有可能
变式5：在五棱台ABCDEA1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断
变式6：在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
变式7：在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
【例6】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
变式2：如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
变式3：如图，O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
变式4：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
【例7】【多选】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．BD1⊥AC
D．三棱锥D1ADC的体积为eq \f(8,3)
考点五 直线与平面平行性质的应用
解题方略：
利用线面平行性质定理解题的步骤
【例8】已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
变式1：已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
变式2：已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
变式3：已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n⇒n∥α
B．m∥α，n∥α⇒m∥n
C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n
D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
变式4：若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
变式5：直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
变式6：α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.
命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．
变式7：如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
变式8：如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
变式9：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
【例9】如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上. 若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
变式2：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(2)
变式3：如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．
【例10】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
变式1：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
变式2：过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证：BB1∥EE1.
变式3：如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.
变式4：如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．
考点六 直线与平面平行的判定与性质的综合
解题方略：
线面平行判定与性质的综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行eq \(――→,\s\up7(在平面内作),\s\d5(或找一直线))线面平行eq \(――→,\s\up7(经过直线作或找),\s\d5(平面与平面的交线))线线平行．
【例11】求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
变式1：如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
变式2：如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
考点七 平面与平面平行的判定
解题方略：
1、平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2、解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)eq \x(线线平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(线面平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(面面平行)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
【例12】能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
变式1：已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
变式2：已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
变式3：已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式4：已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
变式5：正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
变式6：六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．
变式7：如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．
变式8：如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【例13】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
变式1：如图所示，在三棱锥S ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB.
【例14】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥ABEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
【例15】已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
变式1：在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
变式2：如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
考点八 面面平行性质的应用
解题方略：
1.应用面面平行性质定理的基本步骤
2．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
【例16】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
变式1：如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
变式2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求证：AC∥FG.
练习一 利用基本事实4证明直线与直线平行
1、如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
练习二 利用等角定理证明两角相等
1、如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)＝eq \f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.
练习三 线面平行判定定理的理解
1、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
练习四 直线与平面平行的判定
1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图，则：EG与平面BDD1B1的位置关系是________．
2、如图，正方体中，为中点．求证：平面．
3、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
4、如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
5、已知正方形ABCD，如图1.E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，求证：BF∥平面ADE.
练习五 直线与平面平行性质的应用
1、下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
2、直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
3、如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
练习六 直线与平面平行的判定与性质的综合
1、如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
练习七 平面与平面平行的判定
1、已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ B．l⊂γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D．以上都不正确
2、平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
3、如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
4、如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
5、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
6、已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．
求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
7、如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.
考点八 面面平行性质的应用
1、平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
2、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
3、给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
其中正确说法的序号是________．
4、在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
第5讲 空间直线、平面的平行
知识点1 基本事实4与等角定理
1．基本事实4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（2）符号语言：a，b，c是三条不同的直线， a∥b，b∥c．
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行．
用基本事实4证明空间两条直线平行的步骤
（1）找到直线；（2）证明，；（3）得到．
注：（1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）平行线的性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形叫做空间四边形，如图中的四边形表示空间四边形ABCD.点A，B，C，D叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边，如图中的AB，BC，CD，DA.连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线，如图中的线段BD，AC，空间四边形的对角线不共面.
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°．
图（1） 图（2）
知识点2 直线与平面平行的判定定理
注：判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行问题”转化为“线线平行问题”，这也是处理空间位置关系的一种常用方法，即把空间问题转化为平面问题.
知识点3 直线与平面平行的性质定理
（1）自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：．
注：1、对直线与平面平行的性质定理的几点认识
(1)线面平行的性质定理的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．
(2)定理的作用
①线面平行⇒线线平行；
作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．
②画一条直线与已知直线平行．
作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
(4)在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( a∥α, a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
知识点4 平面与平面平行的判定定理
注：剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件．
①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．
(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.
知识点5 平面与平面平行的性质定理
（1）自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
（2）图形语言：如图．
（3）符号语言：
注：1．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理. 可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
2．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行．
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交．
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．
知识点6 两个平面平行的其他性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
考点一 利用基本事实4证明直线与直线平行
解题方略：
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【例1】如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
【解析】 ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是__________.
【解析】在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
变式2：在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
【解析】如图，连接BD，在△ABD中，
eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
答案：平行
变式3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【解析】如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.
变式4：如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
【证明】因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
变式5：已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
因为F为CC1的中点，所以BG∥C1F，
所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BF∥GC1，
又因为EG∥A1B1，A1B1∥C1D1 ，所以EG∥C1D1，
所以四边形EGC1D1为平行四边形，
所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.
变式6：在正方体ABCDA′B′C′D′中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形．
证明：在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝eq \f(1,2)A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，
所以MN∥AC，且MN＝eq \f(1,2)AC.
又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形.
变式7：已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH形状．
【解析】如图，在△ABD中，
∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD.
在△BCD中，∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD，
∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
考点二 利用等角定理证明两角相等
解题方略：
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
【例2】两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
【解析】另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D.
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝eq \f(1,2)BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq \f(1,2)DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG ∽ △C1DA1.
证明：如图，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C且GF＝eq \f(1,2)B1C.
又ABCDA1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由基本事实4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，
∠A1DC1＝∠EFG.
所以△EFG ∽△C1DA1.
考点三 线面平行判定定理的理解
解题方略：
线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a⊄α；
(2)直线b在平面α内，即b⊂α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．
【例4】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b⊂α D．b∥α或b⊂α
【解析】由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.故选D
变式1：下列说法正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
【解析】A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内．故选D.
变式2：若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【解析】若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．故选B.
变式3：已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个__________.
【解析】若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.
答案：①②⇒③(或①③⇒②)
变式4：梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．
【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案：CD∥α
变式5：圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
【解析】圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．故选A.
变式6：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面α内 D．平行或在平面α内
【解析】在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α.故选D.
考点四 直线与平面平行的判定
解题方略：
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④线段成比例法．
提醒：线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
【例5】如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．故选D.
变式1：已知P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D．12个
【解析】因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.故选A.
变式2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________．
【解析】如图，连接A1C1，C1D，所以F为A1C1的中点，
在△A1C1D中，EF为中位线，
所以EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，
所以EF∥平面C1CDD1.同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA
变式3：如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
【解析】∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.
答案：平行
变式4：在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)，则直线EF与平面ABC的关系是( )
A．EF∥平面ABC
B．EF⊂平面ABC
C．EF与平面ABC相交
D．以上都有可能
【解析】如图，∵eq \f(DE,EA)＝eq \f(DF,FC)
∴EF∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC
∴EF∥平面ABC.
∴EF∩平面ABC＝∅.因而B、C、D均错．故选A.
变式5：在五棱台ABCDEA1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断
【解析】五棱台中，AB∥A1B1，∴四边形AA1B1B是梯形， ∵eq \f(AF,FA1)＝eq \f(BG,GB1)，∴FG∥AB. 而FG⊄平面ABCDE，AB⊂平面ABCDE.∴FG∥平面ABCDE.故选A.
变式6：在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
【解析】如图所示，取CD的中点E.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.
又MN⊄平面ABD，MN⊄平面ABC，
AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD、平面ABC
变式7：在三棱锥ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
【解析】∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.故选A.
【例6】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【解析】证明：连接BC1，
则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
变式1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
【解析】证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.
由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.
变式2：如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：MN∥平面PAD.
【解析】证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝eq \f(1,2)DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝eq \f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又∵MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
变式3：如图，O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
【解析】证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形，
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，
∴O1B1OD为平行四边形，
∴B1O∥O1D，
∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
变式4：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D1为A1C1上的点．当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
【解析】如图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq \f(A1D1,D1C1)＝1.
连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.
【例7】【多选】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．BD1⊥AC
D．三棱锥D1ADC的体积为eq \f(8,3)
【解析】选ABC 对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3)，故D错误．故选A、B、C.
考点五 直线与平面平行性质的应用
解题方略：
利用线面平行性质定理解题的步骤
【例8】已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b⊂α D．b∥α或b与α相交
【解析】由题意得b∥α和b与α相交都有可能．故选D.
变式1：已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
【解析】由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选D.
变式2：已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
【解析】由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，所以n∥a.故选A.
变式3：已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A．m∥α，m∥n⇒n∥α
B．m∥α，n∥α⇒m∥n
C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n
D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
【解析】 A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中m，n可能异面．故选C.
变式4：若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
【解析】因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….故选A.
变式5：直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．
【解析】过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．
答案：0或1
变式6：α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.
命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．
【解析】①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.
答案：①或③
变式7：如图，在三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
【解析】 ∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B.
变式8：如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
【解析】因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.
变式9：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.故选D.
【例9】如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
【解析】因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
变式1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上. 若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
【解析】因为EF∥平面AB1C，平面AC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面AC，所以EF∥AC. 又E为AD的中点，所以F为DC的中点，EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).
变式2：已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．1 D.eq \r(2)
【解析】如图，连接AD1，AB1，
∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，
∴PQ∥AB1，∴PQ＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(1,2) eq \r(12＋12)＝eq \f(\r(2),2).故选A.
变式3：如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．
【解析】平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB.所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
【例10】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．
求证：截面 MNPQ 是平行四边形．
【解析】证明：因为AB∥平面 MNPQ，
平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB⊂平面 ABC，
所以由线面平行的性质定理，知 AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.
同理可得 MQ∥NP.
所以截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
变式1：如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
【解析】证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
变式2：过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.
求证：BB1∥EE1.
【解析】证明：如图所示，
因为CC1∥BB1，CC1⊄平面BEE1B1，
BB1⊂平面BEE1B1，
所以CC1∥平面BEE1B1，
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，
所以CC1∥EE1.
由于CC1∥BB1，所以BB1∥EE1.
变式3：如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.
【解析】证明：如图所示，连接CD，
因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面β，
又因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，
所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形．
所以AC＝BD.
变式4：如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，如何作出过点A1，B，C1的平面与平面ABC的交线？并说明理由．
【解析】在平面ABC中，过点B作直线l，使l∥AC，则l即为平面BA1C1与平面ABC的交线．
证明如下：
在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，
所以A1C1∥平面ABC.
又A1C1⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABC＝l，
所以A1C1∥l.
又因为直线l过点B，且l⊂平面ABC.
根据线面平行的性质定理，l即为所求．
考点六 直线与平面平行的判定与性质的综合
解题方略：
线面平行判定与性质的综合应用的策略
判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行eq \(――→,\s\up7(在平面内作),\s\d5(或找一直线))线面平行eq \(――→,\s\up7(经过直线作或找),\s\d5(平面与平面的交线))线线平行．
【例11】求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.
【解析】证明：如图，过a作平面γ交α于b.
因为a∥α，所以a∥b.过a作平面ε交平面β于c.
因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c.
又b⊄β且c⊂β，所以b∥β.
又平面α过b交β于l，所以b∥l.
因为a∥b，所以a∥l.
变式1：如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【解析】直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
变式2：如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．2 D．3
【解析】设AO交BE于点G，连接FG(图略). 因为O，E分别是BD，AD的中点，所以eq \f(AG,AO)＝eq \f(2,3)，eq \f(AG,AC)＝eq \f(1,3). 因为PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，所以eq \f(AF,AP)＝eq \f(AG,AC)＝eq \f(1,3)，即λ＝3.故选D.
考点七 平面与平面平行的判定
解题方略：
1、平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2、解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)eq \x(线线平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(线面平行)eq \(――→,\s\up7(判定),\s\d5( ))eq \x(面面平行)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
【例12】能够判断两个平面α，β平行的条件是( )
A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B．夹在两个平面间的线段相等
C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
【解析】平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α，β无公共点．故选D.
变式1：已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
【解析】选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
变式2：已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
【解析】因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.故选B.
变式3：已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．故选B.
变式4：已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【解析】根据图1和图2可知α与β平行或相交．故选C.
变式5：正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
【解析】在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，故平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.
变式6：六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．
【解析】由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
变式7：如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．
【解析】∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，
BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案：平行
变式8：如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
【例13】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
【解析】证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为eq \f(DO,DH)＝eq \f(2,3)＝eq \f(DG,DD1)，
所以GO∥D1H，
又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，AO⊂平面AGO，GO⊂平面AGO，所以平面AGO∥平面D1EF.
变式1：如图所示，在三棱锥S ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB.
【解析】证明：因为D，E分别是棱AC，BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB.
因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB.
【例14】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥ABEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
【解析】对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；
对于B，如图2，S△AEF＝eq \f(1,2)EF·h1＝eq \f(1,2)×1×
eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq \f(3\r(6),4)，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VACEF＝VCAEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(6),4)×d＝eq \f(\r(6),4)d为定值，所以B错误；
对于C，如图3，S△BEF＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2)，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VABEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×d＝eq \f(1,2)d为定值，C正确；
对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VACDF＝VFACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×3×3＝eq \f(9,2)为定值，D正确．故选A、C、D.
【例15】已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
【解析】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线BG交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC.
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
变式1：在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．
【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，
则，又，，
而平面，平面．
同理，，而平面，平面．
，
平面平面，
平面，平面.
变式2：如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
【解析】证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
考点八 面面平行性质的应用
解题方略：
1.应用面面平行性质定理的基本步骤
2．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
3．证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
【例16】如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
【解析】因为AC∩BD＝P，
所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD).
所以BD＝eq \f(24,5).
变式1：如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在▱A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解析】[证明] 在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理可得A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
变式2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求证：AC∥FG.
【解析】证明：连接A1C1，∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，
∴AC∥FG.
练习一 利用基本事实4证明直线与直线平行
1、如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
【解析】证明：取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.
∴EQ//B1C1(基本事实4)，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E//C1Q，
又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
∴QD//C1F，
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q//DF.
又∵B1E//C1Q，∴B1E//DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形．
练习二 利用等角定理证明两角相等
1、如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)＝eq \f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.
【解析】证明：∵AA1与BB1交于点O.
且eq \f(OA,OA1)＝eq \f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB.
同理A1C1∥AC，B1C1∥BC.
又∵A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，
∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B1C1.
∴△ABC∽△A1B1C1.
练习三 线面平行判定定理的理解
1、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
【解析】由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．故选B.
练习四 直线与平面平行的判定
1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图，则：EG与平面BDD1B1的位置关系是________．
【解析】如图，取BD的中点F，连接EF，D1F.∵E为BC的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
则EF∥DC，且EF＝eq \f(1,2)CD.
∵G为C1D1的中点，
∴D1G∥CD且D1G＝eq \f(1,2)CD，
∴EF∥D1G且EF＝D1G，
∴四边形EFD1G为平行四边形，
∴D1F∥EG，而D1F⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
答案：EG∥平面BDD1B1
2、如图，正方体中，为中点．求证：平面．
【解析】证明：连结与交于点，连结.
在中，分别为、的中点.
得.
又因为平面，平面，
所以平面
3、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；
【解析】如图所示：
连接与交于点O，连接OD，
因为O，D为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
4、如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．
（1）求证：面；
（2）若，，求三棱锥的体积．
【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接、，
因为四边形为矩形，则且，
、分别为、的中点，则且，
为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，
平面，平面，平面；
（2）如下图所示，连接，取的中点，连接，
为的中点，所以，点、到平面的距离相等，
所以，，
、分别为、的中点，则且，
平面，平面，
的面积为，
因此，.
5、已知正方形ABCD，如图1.E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，求证：BF∥平面ADE.
【解析】证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
练习五 直线与平面平行性质的应用
1、下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【解析】①根据线面平行的性质定理可知：直线与平面内的无数条直线平行，正确．
②根据线面平行的定义，直线与平面平行，则直线与平面内的任何直线无公共点，正确．
③可以作无数个平面与直线平行，错误．
④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β，则平面α与平面β的交线与直线l平行，且在平面α内，正确，所以选D.
2、直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
【解析】由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.
3、如图所示，E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
【解析】证明：因为EH∥FG，EH⊄平面BCD，
FG⊂平面BCD，所以EH∥平面BCD.
又因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以EH∥BD.
练习六 直线与平面平行的判定与性质的综合
1、如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
【解析】因为A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.故选B.
2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解：若MB∥平面AEF，如图过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝eq \f(1,2)EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
练习七 平面与平面平行的判定
1、已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β且l∥γ B．l⊂γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D．以上都不正确
【解析】eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥γ ⇒α与γ无公共点,β∥γ ⇒β与γ无公共点))⇒α与β无公共点⇒α∥β.故选C.
2、平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．可能重合
【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故选C.
3、如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
【解析】证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
4、如图：在正方体中，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若F为的中点，求证：平面平面.
【解析】（1）连结交于O，连结.
∵因为为正方体，底面为正方形，
对角线､交于O点，所以O为的中点，
又因为E为的中点，在中
∴是的中位线
∴；
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：
因为F为的中点，E为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面；
由（1）知平面，
又因为，所以平面平面.
5、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
6、已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心．
求证：平面A′B′C′∥平面ABC.
【解析】证明：如图，连接PA′，并延长交BC于点M，连接PB′，并延长交AC于点N，连接PC′，并延长交AB于点Q，连接MN，NQ.
∵A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，
∴M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，且eq \f(PA′,A′M)＝eq \f(PB′,B′N)＝2，
∴A′B′∥MN.
同理可得B′C′∥NQ.
∵A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，
A′B′⊄平面ABC，
∴A′B′∥平面ABC.
同理可证B′C′∥平面ABC.
又∵A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂平面A′B′C′，
B′C′⊂平面A′B′C′，
∴平面A′B′C′∥平面ABC.
7、如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，、为、的中点，、交于点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又是的中位线，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面.
（2）∵、、为、、的中点，
∴，，
∴，
又，∴.
考点八 面面平行性质的应用
1、平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形：①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．0种
【解析】因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与直线b无公共点．
当直线a与直线b共面时，a∥b；
综上知，①②都有可能出现，共有2种情形．故选B.
2、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行
B．在这两个平面内
C．都相交
D．至少与其中一个平面平行
【解析】当直线在其中一个平面内时，直线与另一平面平行，当直线不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行
3、给出三种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
其中正确说法的序号是________．
【解析】①正确．证明如下：如图(1)，在平面α内取两条相交直线a、b，分别过a、b作平面φ，δ，使它们分别与平面β交于两相交直线a′、b′，因为α∥β，所以a∥a′，b∥b′.又因为β∥γ，同理在平面γ内存在两相交直线a″，b″，使得a′∥a″，b′∥b″，所以a∥a″，b∥b″，所以α∥γ.
②正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．
③正确．如图(2)，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b.因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．因为a⊂α，所以PQ⊂α.
4、在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当eq \f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
【解析】(1)eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当eq \f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．
所以AD1∥DC1.
又因为DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
语言文字
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
图形语言
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作用
证明直线与平面平行
语言文字
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
图形语言
符号语言
a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒α∥β
作用
证明两个平面平行
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