高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.4幂函数和二次函数(精练)(原卷版+解析)

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【题型一 幂函数的图像与性质】
1. (2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
2. (2023·浙江高三月考）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
3. (2023·北京高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·贵州毕节·高三期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1B．6C．2D．
5. (2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
6. (2023·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
7. (2023·上海市第三女子中学高三月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
8. (2023·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9. (2023·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10. (2023·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为
A．B．C．D．
【题型二 二次函数的图像与性质】
1. (2023·全国高三专题练习）函数满足下列性质：
（）定义域为，值域为．
（）图象关于对称．
（）对任意，，且，都有．
请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．
2. (2023·江西·贵溪市实验中学高三月考）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·山西运城·高三期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
4. (2023·全国高三专题练习）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
5. (2023·贵州省思南中学高三一模）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.
【题型三 含参二次函数最值讨论】
1. 5. (2023·广东·高三月考）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
2. (2023·全国高三专题练习）已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．
3. (2023·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
4. (2023·江苏南通·高三开学考试）已知二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在时的值域为，求t的取值范围，
2.4 幂函数和二次函数
【题型解读】
【题型一 幂函数的图像与性质】
1. (2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
答案：D
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
2. (2023·浙江高三月考）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
答案：B
【解析】因为幂函数在上是减函数，
所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，
故选：B
3. (2023·北京高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题得.
函数是上的增函数.
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：A
4. (2023·贵州毕节·高三期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．1B．6C．2D．
答案：D
【解析】∵幂函数在上单调递增，
∴，解得，
故选：D．
5. (2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1），；（2）存在，.
【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
6. (2023·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
答案：A
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得：m= -2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m= -2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：A
7. (2023·上海市第三女子中学高三月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
答案：(1)(2)
【解析】(1)
解：因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
综上所述，.
(2)
解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，即，解得，
8. (2023·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，不合题意.
所以.
因为，，，
且，所以，
因为在上单调递增，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：A
9. (2023·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为幂函数在和上都是单调递减的，
所以，由可得或或
解得或，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
10. (2023·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为点在幂函数图像上
所以，所以
即，
，，
即
为R上的单调递增函数
所以
所以选A
【题型二 二次函数的图像与性质】
1. (2023·全国高三专题练习）函数满足下列性质：
（）定义域为，值域为．
（）图象关于对称．
（）对任意，，且，都有．
请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．
答案：
【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，
此时对称轴为，开口向上，满足（），
因为对任意，，且，都有，
等价于在上单调减，
∴，满足（），
又，满足（），故答案为．
2. (2023·江西·贵溪市实验中学高三月考）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由于函数是开口向上，对称轴为，
所函数的单调递减区间为，
又函数在上是减函数，
所以，所以，所以.
故选;B.
3. (2023·山西运城·高三期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
答案：D
【解析】由题意知，，
∴且，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D.
4. (2023·全国高三专题练习）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为
A．16B．18C．25D．
答案：B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
5. (2023·贵州省思南中学高三一模）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.
答案：；
【解析】，
，又，
故由二次函数图象可知：
要使函数的定义域为，值域为
的值最小为；
最大为3．
的取值范围是：．
故答案：
【题型三 含参二次函数最值讨论】
1. 5. (2023·广东·高三月考）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．
答案：
对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；
综上：
2. (2023·全国高三专题练习）已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．
答案：或．
【解析】函数的表达式可化为．
① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．
②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴．
③当 ，即时，是最小值，
依题意应有，解得，又∵，∴
综上所述，或．
3. (2023·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
答案：[2，3]．
【解析】∵f(x)的对称轴方程为x＝a，且f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2． 又x＝a∈[1，a＋1]，
且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3．又a≥2，∴2≤a≤3． 故实数a的取值范围是[2，3]．
4. (2023·江苏南通·高三开学考试）已知二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在时的值域为，求t的取值范围，
答案：(1)(2)
解：因为为二次函数，所以为一元二次不等式，
故可设，
所以，
由，得，所以，
所以；
(2)
解：因为，
所以当时，取最小值，
又由，得或，
所以结合的对称性，可知，且，
所以
所以的取值范围为