高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.3导数研究函数的极值、最值(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.3导数研究函数的极值、最值(精练)(原卷版+解析)，共20页。

【题型一 求函数的极值】
1.(2023·山东济南历城二中高三月考）已知，则
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
2.(2023·河南高三月考）函数的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
3．(2023·天津·崇化中学期中）已知函数，则（ ）
A．在上为增函数B．在上为减函数
C．在上有极大值D．在上有极小值
4. (2023·石嘴山市第三中学期末）已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·重庆市育才中学高三月考）设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值
B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
【题型二 已知函数极值求参】
1.(2023·山东青岛高三期末节选）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·天津市南开中学模考）设函数，若的极小值为，则（ ）
A．B．C．D．2
3．(2023·天津市南开中学月考）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·安徽省江淮名校期末）若是函数的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·河北张家口市·高三三模）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型三 求函数的最值】
1.(2023·河南高三期末）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·广东汕尾·高三期末）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
3．(2023·广东·高三期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
4．(2023·全国单元测试）函数的最小值为______.
5．(2023·甘肃城关·兰州一中高三期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
【题型四 已知函数最值求参】
1.(2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2.(2023·湖南师范大学附中模考）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是
A．B．C．D．
3.(2023·全国高三课时练习）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023年全国新高考I卷数学试题）已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【题型五 极值、最值的综合应用】
1.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
2.(2023·四川广元市·高三三模）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1B．0C．3D．4
3. (2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
4. (2023·浙江高三模拟）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3.3 导数研究函数的极值、最值
【题型解读】
【题型一 求函数的极值】
1.(2023·山东济南历城二中高三月考）已知，则
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
答案：C
【解析】由题意，当时，，递增，时，， 递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．故选：C．
2.(2023·河南高三月考）函数的极值点的个数是（ ）
A．B．C．D．无数个
答案：A
【解析】由题，，故无极值点故选：A
3．(2023·天津·崇化中学期中）已知函数，则（ ）
A．在上为增函数B．在上为减函数
C．在上有极大值D．在上有极小值
答案：A
【解析】，，令，则，
因此在上，，单减；在上，，单增；
又，因此，即，
故在及上，单增，无极值，故选：A
4. (2023·石嘴山市第三中学期末）已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
所以的极大值为，
故选：B.
5. (2023·重庆市育才中学高三月考）设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值
B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
答案：D
【解析】由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选：D．
【题型二 已知函数极值求参】
1.(2023·山东青岛高三期末节选）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.故选：C．
2.(2023·天津市南开中学模考）设函数，若的极小值为，则（ ）
A．B．C．D．2
答案：B
【解析】由已知得：，令，有，且上递减，上递增，∴的极小值为，即，得.故选：B.
3．(2023·天津市南开中学月考）若函数在上存在唯一极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知：，若函数在上存在唯一极值点，
则，即，解得.故选：B.
4. (2023·安徽省江淮名校期末）若是函数的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为函数，
所以，
因为是函数的极值点，
所以，即，
两边取以e为底的对数得： ，
即，
令 ，即 ，
因为，
所以 在上递增，
所以，即，
故选：C
5．(2023·河北张家口市·高三三模）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由得，令，
若，则 ，此时在单调递增，在 单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.
若，可知是的极大值点，故不符合题意.
若，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.
当 ，，，此时在单调递增，在 单调递减，可知是的极小值点，符合题意.
若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.
综上可知：故选：B
【题型三 求函数的最值】
1.(2023·河南高三期末）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】函数的定义域为，则令，解得，
当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，
则当时，函数有最大值，为，故选:D.
2.(2023·广东汕尾·高三期末）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
答案：
【解析】当时，由可得，令，其中，
则，由，可得，列表如下：
如下图所示：
因为在内有且只有一个零点，则，
所以，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则当时，，
又因为，，所以，，
因此，在上的最大值与最小值的和为.
3．(2023·广东·高三期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上递增B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值D．函数在上最大值为3
答案：C
【解析】因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
即，，
又，，故函数在上最大值为；
故选：C
4．(2023·全国单元测试）函数的最小值为______.
答案：1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
5．(2023·甘肃城关·兰州一中高三期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
答案：（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，，
所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.
（2）因为，
因为函数处有极小值，所以，
所以
由，得或，
当或时，，
当时，，
所以在，上是增函数，在上是减函数，
因为，，
所以的最大值为.
【题型四 已知函数最值求参】
1.(2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
2.(2023·湖南师范大学附中模考）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，，
令，解得或；令，解得.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数在处取得极小值，
由于函数在区间内取到最小值，则，
由可得，可得,
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
3.(2023·全国高三课时练习）已知函数，若时，在处取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意得当时恒成立
则，即
∴当时，在图像的下方
，则，则
故选：B．
4. (2023年全国新高考I卷数学试题）已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，且，
∴，则，
∴当时，，单调递减；当或时，，单调递增；
∴在上，单调递增；，单调递减；
∵，
∴在上最大值是.
故选：A.
【题型五 极值、最值的综合应用】
1.(2023·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
答案：(1)(2)(3)
【解析】(1)当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
2.(2023·四川广元市·高三三模）（多选）函数在处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1B．0C．3D．4
答案：AB
【解析】，.
当时，令，，
，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；
当时，令，，.
当时，，，单调递增，在，，单调递减，则在处取得极大值；
当时，若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极小值，不合题意，舍去；若，即时，恒成立，单调递增，不合题意，舍去；若，即时，在，，单调递增，，，单调递减，则在处取得极大值；综上所述：时，函数在处取得极大值.
故选：AB.
3. (2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数 ，为的导函数．
(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；
(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】(1)当时， ，
，
，，
令 ，
则 ，所以导函数 在区间单调递减，
又 ，
，
据零点存在定理可知， 存在唯一零点，
使得 ，
所以当时， ，在区间上单调递增，
当]时， ，在区间上单调递减，
所以函数在区间内存在唯一的极值点，
又，所以；
(2)若在上单调递减，则 在上恒成立，
参变分离得 ，，
令 ，，
即是求 在 时的最大值，
，
当时， ，令 ，
则 ， 单调递增，
， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使得 ，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
，
， ， ，
根据零点存在定理可知，存在唯一，
使 ， ，
大致图像如下：
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，
， ∴，，∴；
综上，a的最小值为1.
4. (2023·浙江高三模拟）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，，
解得．
故选：C．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
增
极大值
减