高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.4还原构造函数5大模型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)3.4还原构造函数5大模型(精讲)(原卷版+解析)，共20页。


【知识储备】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于，构造，
4.对于，构造
5.对于，构造，
6.对于，构造
7.对于，构造，
8.对于，构造
9.对于，构造，
10.对于，构造
11.对于，构造，
12.对于，构造
13对于，构造
14.对于，构造
【题型精讲】
【题型一 原函数加减型】
例1 (2023·山东济南历城二中高三月考）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例2 (2023·石嘴山市第三中学期末）已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·天津·崇化中学期中）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
2. (2023·河南高三月考）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【题型二 原函数相乘型】
例3 (2023·山东青岛高三期末）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
例4 (2023·天津市南开中学模考）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·天津市南开中学月考）定义在上的函数满足，，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2. (2023·安徽省江淮名校期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型三 原函数相除型】
例5 (2023·河南高三期末）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·广东汕尾·高三期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1．(2023·广东·高三期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国单元测试）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型四 与三角函数组合型】
例7 (2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末））已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例8 (2023·湖南师范大学附中模考）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π）B．
C．D．
2. (2023年全国新高考I卷数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型五 看题干结构型】
例9 (2023·辽宁省实验中学分校高三期末）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例10 (2023·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末）下列不等式正确的是( )
A．B．
C．D．
3.4 还原构造函数5大模型
【题型解读】
【知识储备】
1.对于，构造，
2.对于，构造
3.对于，构造，
4.对于，构造
5.对于，构造，
6.对于，构造
7.对于，构造，
8.对于，构造
9.对于，构造，
10.对于，构造
11.对于，构造，
12.对于，构造
13对于，构造
14.对于，构造
【题型精讲】
【题型一 原函数加减型】
例1 (2023·山东济南历城二中高三月考）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设，则
又上，，则，即函数在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，
又
，即
可得：，解得：
故选：B.
例2 (2023·石嘴山市第三中学期末）已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，则，故在上单调增，
又
所以的解为 ，则不等式的解集
故答案为：A
【题型精练】
1．(2023·天津·崇化中学期中）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
答案：
【解析】构造函数，则，即函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，即.
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
2. (2023·河南高三月考）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
答案：B
【解析】令函数，则，所以在R上单调递增.
因为，所以原不等式等价于，
所以所求不等式的解集为故选：B
【题型二 原函数相乘型】
例3 (2023·山东青岛高三期末）设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数的定义域为，则，
令，，则，即在上单调递增，
对于A，，即，A正确；
对于B，，即，B不正确；
对于C，，即，C不正确；
对于D，，即，有，D不正确.
故选：A
例4 (2023·天津市南开中学模考）定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C错误；
，即，则，故D正确.
故选：D.
【题型精练】
1．(2023·天津市南开中学月考）定义在上的函数满足，，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设，因为，
所以，所以是上的增函数，
不等式可化为，即，所以．
故选：A．
2. (2023·安徽省江淮名校期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】令，则，
∵，，∴，即，
∴在上是减函数，
∴可化为：
，
∴，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
【题型三 原函数相除型】
例5 (2023·河南高三期末）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，则，
因为，所以，为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，
，即，，，故选：C.
例6 (2023·广东汕尾·高三期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】∵是定义在R上的奇函数，则，
令，则，
∴为上的偶函数，
又当时，，∴，
∴在上是增函数，在上是减函数；
又，∴，，，
当时，不等式即为，即，
∴，
当时，不等式即，即，
∴，
当时，，不等式不成立；
综上，不等式的解集是，
故选：D.
【题型精练】
1．(2023·广东·高三期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.故选：C.
2．(2023·全国单元测试）在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】令，则，
，，在上单调递增，
，即，.
故选：A.
【题型四 与三角函数组合型】
例7 (2023·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末））已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，∴，
∵当时，，∴，
∴在上单调递减，∵是定义在上的奇函数，
故，∴是定义在上的偶函数．
∴在上单调递增．①当时，，
则不等式可转化为，
即，∴，故．
②当时，，
则不等式可转化为，
即，∴，故．
不等式的解集为．
故选：D．
例8 (2023·湖南师范大学附中模考）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π）B．
C．D．
答案：D
【解析】令，因为当时，有，
所以，当时，，
所以，函数在(内为单调递减函数，
所以，当时，关于的不等式可化为，即，
所以；
当时，，则关于的不等式可化为，即
因为函数为奇函数，故，也即
所以，即，
所以，．
综上，原不等式的解集.
故选：D．
2. (2023年全国新高考I卷数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
【题型五 看题干结构型】
例9 (2023·辽宁省实验中学分校高三期末）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
对于A选项，，则，即，所以，，A错误；
对于B选项，，则，即，所以，B正确；
对于C选项，，则，即，
所以，，所以，，C错误；
对于D选项，，则，即，所以，，D错误.
故选：B.
例10 (2023·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由，，得，，，
构造函数，求导得，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因为，所以，所以，
又因为，在上单调递减，所以.
故选：A．
【题型精练】
1. (2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
2. (2023·江苏·昆山柏庐高级中学期末）下列不等式正确的是( )
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】令，则，
则当0当时，，单调递减；
则，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，∵，故根据f(x)的单调性可知，
故D错误．故选：B﹒