高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.2三角函数恒等变换(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.2三角函数恒等变换(精讲)(原卷版+解析)，共22页。

【知识必备】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β (S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β (S(α－β))
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β (C(α＋β))
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β (C(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α (S2α)
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) (T2α)
3．公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
配方变形：1＋sin α＝(sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2，
1－sin α＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
4．辅助角公式
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
【题型精讲】
【题型一 两角和与差公式】
必备技巧 两角和差公式常见题型及解法
(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．
例1 （1）(2023·四川省岳池中学）（ ）
A．B．C．D．
（2）(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
（3）(2023·四川凉山·高三期中）_________．
（4）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
例2 (2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例3 (2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·甘肃）_______.
3．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
【题型二 二倍角公式】
必备技巧 二倍角公式的应用
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
例4 (2023·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
例5 (2023·全国高三二模）已知，则
【跟踪精练】
1．(2023·山东·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型三 辅助角公式的应用】
例6(2023·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式
(1)； (2)；
(3)； (4).
【跟踪精练】
1. (2023·江西九江·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【题型四 给值求值】
方法技巧 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
例7 （1）(2023·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（ ）
A．B．3C．13D．
（2）(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．
3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.
（1）求；
（2）已知，.求.
【题型五 给值求角】
方法技巧 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
例8 (2023·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例9 (2023·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考）若，，，，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国高三课时练习）已知，其中，求角的值.
2．(2023·江苏南师大二附中高三月考）已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【题型六 恒等变换】
方法技巧 三角函数式化简的常用方法：
（1）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；
（2）异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；
（3）异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次
例10 （1）(2023·安徽相山·淮北一中月考）（ ）
A．1B．C．D．
（2）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（ ）
A．1B．2C．1D．2
【题型精练】
1．(2023·福建高三期末）__________.
2．(2023·全国专题练习）_______.
4.2 三角函数恒等变换
【题型解读】
【知识必备】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β (S(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β (S(α－β))
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β (C(α＋β))
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β (C(α－β))
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α (S2α)
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α (C2α)
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α) (T2α)
3．公式的变形和逆用
在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
配方变形：1＋sin α＝(sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2))2，
1－sin α＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
4．辅助角公式
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).
【题型精讲】
【题型一 两角和与差公式】
必备技巧 两角和差公式常见题型及解法
(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．
例1 （1）(2023·四川省岳池中学）（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】故选：A
（2）(2023·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
，由两角和的正弦公式，可知
故答案为：C
（3）(2023·四川凉山·高三期中）_________．
答案：
【解析】由题意得：
由两角和的正切公式，可令
，可得
故答案为：
（4）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，得
，故选A.
例2 (2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，，
.
故选：B
例3 (2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【跟踪精练】
1．(2023·安徽蚌埠·高三期末）求值：（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：，故选：C.
2. (2023·甘肃）_______.
答案：
【解析】由题，，
，
故原式可化为，故答案为：
3．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】
均为锐角，即，，
，又，
，
又，.
故选：C.
【题型二 二倍角公式】
必备技巧 二倍角公式的应用
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
例4 (2023·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【解析】A选项,，故正确.
B选项，，故正确.
C选项，，故正确.
D选项，，故错误
故选：ABC
例5 (2023·全国高三二模）已知，则
答案：
【解析】.
【跟踪精练】
1．(2023·山东·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，，所以，
所以.故选：D
2. (2023·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令，则，，
故，故选：A.
【题型三 辅助角公式的应用】
例6(2023·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式
(1)； (2)；
(3)； (4).
【解析】
(1)；
(2)；
(3) ；
(4)
【跟踪精练】
1. (2023·江西九江·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，即，
故选：B
【题型四 给值求值】
方法技巧 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
例7 （1）(2023·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（ ）
A．B．3C．13D．
（2）(2023·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
（3）(2023·河南林州一中高三月考）若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：（1）D（2）B（3）D
【解析】（1），，，，
.故选：D
（2）∵cs（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），
∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）cscs（α）sin
，故选B．
（3），，则，，
，，
因此，.故选：D.
【题型精练】
1．(2023·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，，
.
故选：B
2．(2023·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．
答案：
【解析】∵，∴,∴．
又，∴．
∴
．答案：
3.(2023·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.
（1）求；
（2）已知，.求.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1），，
（2）
，
【题型五 给值求角】
方法技巧 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
例8 (2023·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由为锐角且，得，则，
则，又，则，得.故选：A.
例9 (2023·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考）若，，，，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，均为锐角，，
由，，得，，若， 则，
与矛盾，故，则，
又，.故选：B.
【题型精练】
1．(2023·全国高三课时练习）已知，其中，求角的值.
答案：
【解析】因为，所以.
因为，所以.
由已知可得，，
则
.
因为，所以.
2．(2023·江苏南师大二附中高三月考）已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）由，则．
所以，．
（2）因为，为锐角，则，所以
．
所以，．
又，所以．
【题型六 恒等变换】
方法技巧 三角函数式化简的常用方法：
（1）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；
（2）异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；
（3）异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次
例10 （1）(2023·安徽相山·淮北一中月考）（ ）
A．1B．C．D．
（2）(2023·山西应县一中高三期中）的值为（ ）
A．1B．2C．1D．2
答案：（1）C（2）D
【解析】（1）
.
故选：C
（2）．故选D．
【题型精练】
1．(2023·福建高三期末）__________.
答案：
【解析】
.
故答案为：.
2．(2023·全国专题练习）_______.
答案：
【解析】原式
.故答案为：.