高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题(精练)(原卷版+解析)，共16页。

【题型一 与中线有关的解三角形】
1.(2023·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，内角，所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝2eq \r(3)，D为BC的中点，则AD的长为________．
2.(2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的中线长为，求．
3．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于________．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）在△ABC中，已知AB＝eq \f(4\r(6),3)，cs∠ABC＝eq \f(\r(6),6)，AC边上的中线BD＝eq \r(5)，则sinA的值________．
5．(2023·全国高三课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求边上的中线的长．
6. (2023·山东济南期末）如图：在中，，，．
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长．
【题型二 与角平分线有关的解三角形问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝eq \f(\r(6),2)，则B的角平分线的长是________．
2.(2023·山东济南·高三期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
3．(2023·河南·高三期中）已知在平面四边形中，，，为的角平分线
（1）若，求的面积;
（2）若，求长.

4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足4cs2A+B2−cs2(A+B)=72.
（1）求角C；
（2）设D为边AB上的点，CD平分∠ACB，且CD=1，若∆ACD与∆BCD的面积比2:1，求AC的长.
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）csC+ccsA=0.
（1）求角C的大小；
（2）设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值.
6. (2023·山东青岛市高三月考）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足36a sinA=3b sinB=4c sinC，
（1）求角B的余弦值；
（2）若a=2，角B的平分线BD交AC于点D，求BD的长度。
【题型三 与高线有关的解三角形问题】
1.(2023·河南·高三阶段练习）在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则csA＝( )
A．eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
2.(2023·山东济南市高三月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，的外接圆半径为，求的边上的高.
3．(2023·陕西高三期中）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为eq \f(\r(3),6)a，则eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)取得最大值时，内角A的值为( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,6) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(π,3)
4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）在中，角，，的对边分别为，，，且，三角形三边上的高之比为.
（1）求的值；
（2）若为边上一点，，，求的长.
5. (2023·济南省实验月考）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
4.6 解三角形中的中线、角平分线、高线问题
【题型解读】
【题型一 与中线有关的解三角形】
1.(2023·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，内角，所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6且asinB＝2eq \r(3)，D为BC的中点，则AD的长为________．
答案：
【解析】方法（向量法）1 由正弦定理可得，又由，可得，又由锐角△，可得，由为的中点可得，两边平方可得，即．
方法2 由正弦定理可得，又由，可得，又由锐角△，可得，在△中, 由余弦定理可得，即，，所以在△中，由余弦定理可得，即．
2.(2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的中线长为，求．
答案：（1）
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，因为，
所以，可得，
因为，所以，可得，又因为，可得．
（2）由余弦定理可得，①
又在中，，
设的中点为，在中，，
可得，可得，②
由①②可得，解得．
3．(2023·全国高三单元测试）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于________．
答案：eq \r(106)
【解析】设BC＝a，则BM＝CM＝eq \f(a,2)．在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcs∠AMB，即72＝eq \f(a2,4)＋42－2×eq \f(a,2)×4·cs∠AMB．①，在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cs∠AMC，即62＝42＋eq \f(a2,4)＋2×4×eq \f(a,2)·cs∠AMB．②，①＋②得72＋62＝42＋42＋eq \f(a2,2)，∴a＝eq \r(106)．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）在△ABC中，已知AB＝eq \f(4\r(6),3)，cs∠ABC＝eq \f(\r(6),6)，AC边上的中线BD＝eq \r(5)，则sinA的值________．
答案：eq \f(\r(70),14)
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(2\r(6),3)．
∵cs∠ABC＝eq \f(\r(6),6)，∴cs∠BED＝－eq \f(\r(6),6)．设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cs∠BED，即5＝x2＋eq \f(8,3)＋2×eq \f(2\r(6),3)×eq \f(\r(6),6)x．解得x＝1或x＝－eq \f(7,3)(舍去)，故BC＝2．在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝eq \f(28,3)，即AC＝eq \f(2\r(21),3)．又sin∠ABC＝eq \r(1－cs2∠ABC)＝eq \f(\r(30),6)，∴eq \f(2,sin A)＝eq \f(\f(2\r(21),3),\f(\r(30),6))，∴sin A＝eq \f(\r(70),14)．
5．(2023·全国高三课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求边上的中线的长．
答案：（1） （2）
【解析】（1）由题意可得，
因为，所以，则，因为，所以．
（2）因为，所以．因为，
所以，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则．
6. (2023·山东济南期末）如图：在中，，，．
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长．
答案：（1） （2）
【解析】（1）根据题意，中，，则．
由正弦定理，即，得，
又由，则为钝角，为锐角，故．
（2）根据题意，，
则．
由正弦定理得，即得．在中由余弦定理得：
，故．
【题型二 与角平分线有关的解三角形问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝eq \f(\r(6),2)，则B的角平分线的长是________．
答案：1
【解析】设B的角平分线的长为BD．易知∠ACB＝180°－105°－30°＝45°，∠BDC＝180°－15°－45°＝120°．在△CBD中，有eq \f(BD,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 120°)，可得BD＝1．
2.(2023·山东济南·高三期末）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
答案：（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，在中，由正弦定理得，
即，解得．
3．(2023·河南·高三期中）已知在平面四边形中，，，为的角平分线
（1）若，求的面积;
（2）若，求长.
答案：（1）（2）6
【解析】（1）在三角形中，由得
由正弦定理可得，即
所以
因为为的角平分线，所以，
因为，故为锐角，故为锐角，
故
在三角形中由余弦定理得
所以，解得或（舍） .
所以
（2）设，则
在三角形中由余弦定理可得
在三角形中由余弦定理可得
因为
所以，解得或（舍）
综上所述的长为6.
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足4cs2A+B2−cs2(A+B)=72.
（1）求角C；
（2）设D为边AB上的点，CD平分∠ACB，且CD=1，若∆ACD与∆BCD的面积比2:1，求AC的长.
答案：（1）C=2π3 （2）3
【解析】（1）由已知可得4×1+cs(A+B)2−cs2(π−C)=72，
即2−2csC−cs2C=72，∴2−2csC−2cs2C+1=72，
∴4cs2C+4csC+1=0，∴csC=−12.∵0