高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.8解三角形中的多个三角形问题(精练)(原卷版+解析)

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【题型一 多三角形中基本量的计算】
1.(2023·全国·高三课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq \r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccsC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．
（1）求线段AD的长；
（2）求△ADE的面积．
3．(2023·全国高三单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq \r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
(1)若PB＝eq \f(1,2)，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）如图，在四边形中，
（1）求的正弦值；
（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.
5．(2023·全国高三课时练习）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．
(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
(2)如图2，若∠ABC＝eq \f(π,4)，求△ADC的面积．
6．(2023·山东潍坊高三期末）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=73，CD=14，BD=7，∠BAD=120°，
（1）求AD边的长；
（2）求∆ABC的面积.
【题型二 多三角形中最值、范围问题】
1.2022·广西河池·高三期末）如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
2.(2023·山东济南·高三期末）如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.
（1）当时，求线段的值；
（2）若为正三角形，求四边形面积的最大值.
3．(2023·河南·高三期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求角；
（2）若是等腰三角形，且，为的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且，设，求面积的最小值.
4.8 解三角形中的多个三角形问题
【题型解读】
【题型一 多三角形中基本量的计算】
1.(2023·全国·高三课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝eq \r(5)，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
【解析】(1)由已知S△ABD＝eq \f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(5)×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝eq \f(2\r(5),5)，
又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cs∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝eq \r(5)．
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝eq \f(π,2)，所以sin∠CBD＝cs∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．
又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cs∠ABD＝eq \f(4,5)，
∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－∠ABD))－2∠ABD＝eq \f(π,2)－∠ABD＝∠CBD，
所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD．
在△CBD中，由正弦定理eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，得CD＝eq \f(BD·sin∠CBD,sin∠BCD)＝eq \f(\r(5)×\f(\r(5),5),\f(4,5))＝eq \f(5,4)，
所以S△CBD＝eq \f(1,2)CB·CD·sin∠BCD＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×eq \f(5,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(5,8)．
2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccsC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．
（1）求线段AD的长；
（2）求△ADE的面积．
答案：（1）2 （2）156
【解析】（1）因为c=4，b=2，所以csC=b2c=14．
由余弦定理，得 csC=a2+b2−c22ab=a2+4−164a=14，
所以a=4，即BC=4，所以CD=2．
在△ACD中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs∠ACD=6，
所以AD=6．
（2）因为AE是∠BAC的平分线，
所以S△ABES△ACE=12AB⋅AE⋅sin∠BAE12AC⋅AE⋅sin∠CAE=ABAC=2，
又S△ABES△ACE=BEEC，所以BEEC=2，所以CE=13BC=43，
所以DE=2−43=23．
又因为csC=14，所以sinC=1−cs2C=154，
所以S△ADE=12×DE×AC⋅sinC=156
3．(2023·全国高三单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq \r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
(1)若PB＝eq \f(1,2)，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
【解析】(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcs∠PBA＝3＋eq \f(1,4)－2×eq \r(3)×eq \f(1,2)cs 30°＝eq \f(7,4)．故PA＝eq \f(\r(7),2)．
(2)设∠PBA＝α，由已知得eq \f(PB,BC)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，即PB＝sin α．
在△PBA中，由正弦定理得eq \f(\r(3),sin 150°)＝eq \f(sin α,sin (30°－α))，化简得eq \r(3)cs α＝4sin α．
所以tan α＝eq \f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq \f(\r(3),4)．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）如图，在四边形中，
（1）求的正弦值；
（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.
答案：（1）（2）
【解析】（1）在中，设，
由余弦定理得，整理得，解得.
所以
由正弦定理得，解得
（2）由已知得，所以，
化简得
所以
于是
因为，且为锐角，
所以.
代入计算因此
5．(2023·全国高三课时练习）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．
(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
(2)如图2，若∠ABC＝eq \f(π,4)，求△ADC的面积．
【解析】(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
所以tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1．
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝eq \f(π,4)．
(2)设∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝eq \f(π,4)，AD＝6，BD＝3．
由正弦定理得eq \f(AD,sin\f(π,4))＝eq \f(BD,sin α)，解得sin α＝eq \f(\r(2),4)．
因为AD>BD，所以α为锐角，从而cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(14),4)．
因此sin∠ADC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋csαsin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)＋\f(\r(14),4)))＝eq \f(1＋\r(7),4)．
所以△ADC的面积S＝eq \f(1,2)×AD×DC·sin∠ADC＝eq \f(1,2)×6×2×eq \f(1＋\r(7),4)＝eq \f(3,2)(1＋eq \r(7))．
6．(2023·山东潍坊高三期末）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=73，CD=14，BD=7，∠BAD=120°，
（1）求AD边的长；
（2）求∆ABC的面积.
答案：（1）AD=5 （2）3334
【解析】（1）在∆ABD中，由余下定理得：BD2=AB2+AD2−2AB∙AD∙cs120°，
即72=32+AD2−2×3∙AD∙−12，
解得AF=5或AD=−8（舍去），所以AD=5.
（2）由已知，BC2+BD2=CD2，所以∠ABD=90°，
在∆ABD中，由余弦定理可得：cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB∙BD=32+72−522×37=1114，
所以sin∠ABC=sin∠ABD+90°=cs∠ABD=1114，
所以S∆ABC=12AB∙BC∙sin∠ABC=12×3×73×1114=3334
【题型二 多三角形中最值、范围问题】
1.2022·广西河池·高三期末）如图，在中，，，延长至，使得.
(1)若，求的面积；
(2)求面积的取值范围.
【解析】(1)在中，，，.由正弦定理知，所以.
因为为锐角，所以，所以.
在中，，，则，
故.
(2)在中，设，则，.
在中，由正弦定理，得，
所以
由，得，又为锐角，
所以，，所以，
故面积的取值范围是.
2.(2023·山东济南·高三期末）如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.
（1）当时，求线段的值；
（2）若为正三角形，求四边形面积的最大值.
答案：（1）（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理得：
.
所以.
（2）设，所以，
则
.
所以当时，四边形的面积取得最大值.
3．(2023·河南·高三期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求角；
（2）若是等腰三角形，且，为的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且，设，求面积的最小值.
答案：（1）（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以，
因为，，所以.
又因为，所以，即.
（2）因为是等腰三角形，且，为的中点，
所以，，
在中，，所以.
在中，，所以.
因为，所以当时，
取得最小值，.