高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)，共20页。


【题型一 与角有关的最值、范围问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acsB−bsinB=c.
（1）若B=30°，求A. （2）求sinA+sinB的取值范围.
3．(2023·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．
4．(2023·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．
5．(2023·全国高三课时练习）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积记为S∆ABC，满足
a2+b2−c2=433S∆ABC．
（1）求∠C；
（2）若c=3，求2a−4sinB的取值范围．
6．(2023·山东潍坊高三期末）已知锐角∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b2+c2−a2=2bcsin(A+π6)
（1）求角A的大小； （2）求sinB∙csC的取值范围
【题型二 与边有关的最值、范围问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
2.(2023·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（ ）
A．7B．C．D．
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小. （2）若a+c=1，求b的取值范围.
【题型三 与周长有关的最值、范围问题】
1.(2023·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________
2.(2023·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
3．(2023·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
5. (2023·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A＝sin2B＋cs2C＋sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
【题型四 与面积有关的最值、范围问题】
1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．
(1)求角A；
(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
2.(2023·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
（1）求角C；
（2）若，求面积的最大值.
4.(2023·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．
5.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
4.9 三角形中的最值、范围问题
【题型解读】
【题型一 与角有关的最值、范围问题】
1.(2023·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．
又cs C＝＝≥＝.
当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cs C取到最小值，从而角C取到最大值.
当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．
所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．
故选：.
2.(2023·全国·高三专题练习）在∆ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acsB−bsinB=c.
（1）若B=30°，求A. （2）求sinA+sinB的取值范围.
答案：（1）A=120° （2）1,2
【解析】（1）由正弦定理得：sinAcsB−sin2B=sinC，
∵sinC=sinπ−A+B=sinA+B，
∴sinAcsB−sin2B=sinA+B，
即sinAcsB−sin2B=sinAcsB+csAsinB，
∴csAsinB=−sin2B，∵sinB≠0，∴csA=−sinB=−sin30°=−12，
∵0（2）由（1）得csA=−sinB，
∴sinA+sinB=sinA−csA=2sinA−45°
又csA=−sinB=cs90°+B，∴A=90°+B，
∵A+B<180°，∴90°∴22则sinA+sinB的取值范围是1,2
3．(2023·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．
答案：
【解析】因为，
所以.
因为,所以.
所以
因为，所以，所以，
所以，所以.
即的最大值为.
故答案为：.
4．(2023·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．
答案：
【解析】解：因为，
所以，由余弦定理得，得，
由余弦定理可得
当且仅当 , 即时取等号 , 此时取得最小值，
根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为
所以的最大值是
故答案为 :
5．(2023·全国高三课时练习）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积记为S∆ABC，满足
a2+b2−c2=433S∆ABC．
（1）求∠C；
（2）若c=3，求2a−4sinB的取值范围．
答案：（1）C=π3 （2）−23,23
【解析】（1）∵a2+b2−c2=433S∆ABC，
∴2abcsC=433×12absinC，所以tanC=3，
由C为三角形内角得C=π3；
（2）由正弦定理得asinA=csinC=2，
∴a=2sinA，∴2a−4sinB=4sinA−4sinB=4sinA−4sin2π3−A=4sin⁡A−π3，
由0∴−32故2a−4sinB的取值范围−23,23．
6．(2023·山东潍坊高三期末）已知锐角∆ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b2+c2−a2=2bcsin(A+π6)
（1）求角A的大小； （2）求sinB∙csC的取值范围
答案：（1）A=π6 （2）0,12
【解析】（1）∵b2+c2−a2=2bcsin(A+π6)，
结合余弦定理，可得：csA=sin⁡(A+π6)，
∴csA=32sinA+12csA，∴tanA=33
又∵0（2）因为A+B+C=π，A=π6，所以B+C=5π6，∴B=5π6−C，
所以sinB∙csC=sin5π6−C∙csC=32sinC+12csC∙csC
=32sinCcsC+12cs2C=34sin2C+14cs2C+14
=12sin2C+π6+14.
∵∆ABC时候锐角三角形，∴0<5π6−C<π20∴C∈π3,π2，∴2C+π6∈5π6,7π6，∴sin2C+π6∈−12,12，
∴12sin2C+π6+14∈0,12，综上，sinB∙csC的取值范围是0,12
【题型二 与边有关的最值、范围问题】
1.(2023·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
答案：A
【解析】依题意，所以，
设，则
，
化简得，
当且仅当时等号成立.
故选：A
2.(2023·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵角A，B，C成等差数列，∴，
∵，∴，∴.
根据正弦定理得：
＝
，
∵，∴，∴，∴.
故选：A.
3．(2023·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
4．(2023·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（ ）
A．7B．C．D．
答案：B
【解析】设，由正弦定理知，因此
，
故
，其中，
所以当时，，取得最大值，且最大值为，
故选：B.
5. (2023·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小. （2）若a+c=1，求b的取值范围.
答案：（1）B=π3 （2）[12,1)
【解析】（1）由题意得，C=π−A+B，
∴csC=−csA+B，
∴−csA+B+csAcsB−3sinAcsB=0，
∴−csAcsB+sinAsinB+csAcsB−3sinAcsB=0，
∴sinAsinB−3sinAcsB=0，
∵0∵0（2）由（1）B=π3，∵a+c=1，
∴由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accsπ3=a+c2−3ac=1−3ac，
由ac≤a+c22=14，∴b2=1−3ac≥1−34=14，即b≥12，当且仅当a=c=12等号成立
又由a+c>b，得b>1，∴12≤b<1
【题型三 与周长有关的最值、范围问题】
1.(2023·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________
答案：
【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，
则为的重心，
因为，故，则.
，
，
所以，
即，
所以，，
，当且仅当时，等号成立.
因此，周长的最大值为.
2.(2023·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
答案：(1) (2)
【解析】(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，
所以，
又，所以，
(2)解：由正弦定理可得，所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以
所以，
即，
所以周长的取值范围为．
3．(2023·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得．
因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，
所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
4．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
答案：9
【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cs A＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋3sin B＋3cs B＝3＋6sin，
∵B∈，所以，
∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9.
故答案为：9.
5. (2023·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2A＝sin2B＋cs2C＋sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
答案：（1）C＝eq \f(2π,3) （2）
【解析】（1）由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(－ab,2ab)＝－eq \f(1,2)，
又∵0（2）由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋eq \r(3)
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－A))))＋eq \r(3)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＋eq \r(3)．
∵0∴2eq \r(3)<2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＋eq \r(3)≤2＋eq \r(3)，∴△ABC周长的取值范围是(2eq \r(3)，2＋eq \r(3)]．
【题型四 与面积有关的最值、范围问题】
1.(2023·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．
(1)求角A；
(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．
答案：(1) (2)
【解析】(1)因为，由正弦定理得：．
又，所以，
即：，得出，又，所以；
(2)
在中，由余弦定理得： ①
又因为，所以，且，即，
由余弦定理，得 ②
将①②联立得：，即，（当且仅当时等号成立）
．
2.(2023·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由得：，；
，，，解得：，
；
由正弦定理得：；
为锐角三角形，，解得：，
，，，
.
故选：D.
3．(2023·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
（1）求角C；
（2）若，求面积的最大值.
答案：（1） （2）
【解析】（1）由，可得，，
因为，所以，.
（2）由，得，
由基本不等式得：，即，
所以，
当时，面积的最大值为.
4.(2023·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．
答案：
【解析】，因为，所以，
由正弦定理得，，所以.
因为是锐角三角形，所以.所以解得，
所以.由正弦定理，得，
所以.
所以的面积.
故答案为：.
5.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
答案：（1） （2）
【解析】（1）由正弦定理得，
由于，，
所以，
即，
则，又，所以．
（2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ，
从而，
所以的面积取得最大值．