高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.9三角形中的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)，共23页。


【知识储备】
三角形中的最值范围问题处理方法
1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2.转为三角函数求最值、范围-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边
【题型精讲】
【题型一 与角有关的最值、范围问题】
例1 (2023·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－eq \r(3)a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求csA＋csB＋csC的取值范围．
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.
(1)求角C；
(2)求的取值范围.
2．(2023·合肥百花中学高三期末）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)csB－bcsA＝0．
(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；
(2)求sin2A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))的取值范围．
4．(2023·山东潍坊高三期末）在中，，，分别是角，，的对边，并且．
（Ⅰ）已知_______，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．
（Ⅱ）求的最大值．
【题型二 与边有关的最值、范围问题】
例3 (2023·广西河池·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例4 (2023·山东青岛·高三期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）已知分别为三个内角的对边，.
(1)求；
(2)若 ，求的最大值.
3. (2023·四川资阳市高三月考）在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______．
【题型三 与周长有关的最值、范围问题】
例5 (2023·河南·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例6 (2023·山东济南市高三月考）已知锐角的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)当时，求周长的取值范围.
【题型精练】
1．(2023·陕西高三期中）在∆ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，CB=2CD.
（1）若cs∠CDB=−55，求∆ABC的面积； （2）求∆ABC的周长的最大值。
2．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·济南省实验月考）已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【题型四 与面积有关的最值、范围问题】
例7 (2023·贵州金沙·高三阶段练习）在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例8 (2023·湖南益阳·高三期末）为边上一点，满足，，记，．
(1)当时，且，求的值；
(2)若，求面积的最大值．
【题型精练】
1．(2023·山东省济宁市高三月考）已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．
2.(2023·湖南益阳月考）（多选）设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角B．的内角
C．的面积为D．四边形面积的最大值为
3.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围．
4.9 三角形中的最值、范围问题
【题型解读】
【知识储备】
三角形中的最值范围问题处理方法
1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2.转为三角函数求最值、范围-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边
【题型精讲】
【题型一 与角有关的最值、范围问题】
例1 (2023·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－eq \r(3)a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求csA＋csB＋csC的取值范围．
【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝eq \r(3)sinA，又在△ABC中，sin A>0，
故sin B＝eq \f(\r(3),2)，由题意得B＝eq \f(π,3)．
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝eq \f(2π,3)－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))) ．
由csC＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝－eq \f(1,2)csA＋eq \f(\r(3),2)sinA，得
csA＋csB＋csC＝eq \f(\r(3),2)sin A＋eq \f(1,2)cs A＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))．
故csA＋csB＋csC的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2)))．
例2 (2023·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
答案：（1） （2）,
【解析】（1）因为，又，
所以，故，由为三角形的内角得；
（2）由（1）知，
，
，
因为，所以，所以，所以,，
故的取值范围,．
【题型精练】
1．(2023·全国高三单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.
(1)求角C；
(2)求的取值范围.
答案：(1)； (2).
【解析】
(1)由题设，，而，
所以，又，
所以，又，且，
所以且，则.
(2)由（1），，
由，则.
所以，故.
2．(2023·合肥百花中学高三期末）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：∵,\
∴，
∴由正弦定理得：，
即，
，则，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
∵，∴，
∴的最大值为.
故选：C.
3．(2023·全国高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)csB－bcsA＝0．
(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；
(2)求sin2A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))的取值范围．
【解析】(1)因为(2c－a)csB－bcsA＝0，
由正弦定理得(2sinC－sinA)csB－sinBcsA＝0，则2sinCcsB－sin(A＋B)＝0，
求得csB＝eq \f(1,2)，B＝eq \f(π,3)．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accsB，
即49＝(a＋c)2－2ac－2accsB，
求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsinB＝10eq \r(3)．
(2)sin2A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))＝sin2A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A－\f(π,6)))＝sin2A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝－cs2A＋csA＋1，A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
令u＝csA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，y＝－u2＋u＋1∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,4)))．
4．(2023·山东潍坊高三期末）在中，，，分别是角，，的对边，并且．
（Ⅰ）已知_______，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】（Ⅰ）∵b2+c2−a2=bc，
∴由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．
选择①②：∵b2+c2−a2=bc，
∴4+c2−7=2c，即c2−2c−3=0，解得c=3或−1（舍负），
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×2×3×sinπ3=332．
选择①③：由正弦定理知，bsinB=csinC，
∵sinC=2sinB，∴c=2b(∗)∵b2+c2−a2=bc
∴b2+c2−7=bc(∗)，由∗构成的方程组，解得b=7，c=27.
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×7×27×sinπ3=732．
选择②③：由正弦定理知，bsinB=csinC，
∵sinC=2sinB，∴c=2b=4，
∴∆ABC的面积S=12bc∙sinA=12×2×4×sinπ3=23．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A=π3，∴B+C=2π3，
∴csB+csC=csB+cs2π3−B=csB−12csB+32sinB=sin⁡(B+π6)，
∵0∴sinB+π6∈(12,1]，故csB+csC的最大值为1
【题型二 与边有关的最值、范围问题】
例3 (2023·广西河池·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
是边上的中线， 在中，①，
在中，②.
又，，
由①＋②得.
由余弦定理得.
，
，
，即，
.故选C.
例4 (2023·山东青岛·高三期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
答案：(1) (2)
【解析】(1)在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
(2)由正弦定理得：，∴，，
∴

，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即.
【题型精练】
1．(2023·河南·高三期中）在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.
答案：3
【解析】如图所示，设，，则，
在中，由余弦定理，可得，
即，①
在中，由余弦定理，可得，
即，②
由①+②，可得，
在中，由余弦定理，可得，
即，
解得，所以，即的最大值为.
故答案为：.
2．(2023·甘肃兰州·高三期中）已知分别为三个内角的对边，.
(1)求；
(2)若 ，求的最大值.
答案：(1) (2)
【解析】(1)解： ，
，
即，
即，
得，
即，
，
，又，所以．
(2)解：因为，，
由正弦定理
其中，由于，所以当时，
3. (2023·四川资阳市高三月考）在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______．
答案：
【解析】因为，，所以由余弦定理得，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，即，解得，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围是
【题型三 与周长有关的最值、范围问题】
例5 (2023·河南·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
例6 (2023·山东济南市高三月考）已知锐角的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)当时，求周长的取值范围.
答案：(1) (2)
【解析】(1)∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∴.
(2)∵，∴.
∵为锐角三角形，∴，
∴由正弦定理可得：，
周长
，
∵，
∴，
∴周长的取值范围是.
【题型精练】
1．(2023·陕西高三期中）在∆ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，CB=2CD.
（1）若cs∠CDB=−55，求∆ABC的面积； （2）求∆ABC的周长的最大值。
答案：（1）8 （2）8+45
【解析】（1）设CD=m，则CB=2m，
在∆BCD中，由余弦定理知，cs∠CDB=CD2+BD2−BC22CD∙BD=3−m22m=−55，
解得m=5，∴CD=5，CB=25，
由余弦定理知，cs∠CBD=BC2+BD2−CD22BC∙BD=9+20−52×3×25=255，
∴sin∠CBD=1−cs2∠CBD=55，
故∆ABC的面积为S=12BC∙ABsin∠CBD=12×25×8×55=8.
（2）由（1）知，CB=m，CB=2m，cs∠CDB=3−m22m，∵∠CDA+∠CDB=π，
∴cs∠CDA=−cs∠CDB=3−m22m，在∆ACD中，由余弦定理知，
AC2=AD2+CD2−2AD∙CDcs∠ADC
=25+m2−2×5×m2−32m=4(10−m2).
∴AC=210−m2，
设∆ABC的周长为z，
则z=AB+BC+AC=8+2m+10−m2≥8+2m2+10−m222=8+45，
当且仅当m=10−m2，即m=5时，等号成立，
故∆ABC的周长的最大值为8+45.
2．(2023·绵阳南山中学实验学校月考）设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，
故选C
3. (2023·济南省实验月考）已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
答案：（1）
【解析】（1）因为，
所以，
即，
所以，整理可得，
所以可得，因为，可得，，
所以，可得．
（2）由正弦定理，且，，
所以，；
所以．
因为为锐角三角形，所以得，解得．
所以；即周长的取值范围是.
【题型四 与面积有关的最值、范围问题】
例7 (2023·贵州金沙·高三阶段练习）在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，由余弦定理可得
，，
消去得，
又，
联立消去x得
所以，当且仅当时等号成立，
因此.
故选：B.
例8 (2023·湖南益阳·高三期末）为边上一点，满足，，记，．
(1)当时，且，求的值；
(2)若，求面积的最大值．
答案：(1) (2)
【解析】(1)设长为，当时，，，
则，
因为，所以，即
所以，得，所以，所以.
(2)在中，，则，
由正弦定理得，又，
所以，，
则的面积，
又，
所以
因为，所以，
所以当，即时，有最大值.
故面积的最大值为：.
【题型精练】
1．(2023·山东省济宁市高三月考）已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．
答案：
【解析】解:根据正弦定理边角互化结合得,由于，，
所以，即，
因为，所以
因为，
所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为.
故答案为：
2.(2023·湖南益阳月考）（多选）设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角B．的内角
C．的面积为D．四边形面积的最大值为
答案：ABD
【解析】∵，
∴，
∴，∴．故A正确．
又∵．∴，故B正确．
由于，由于角无法确定，故C不一定正确.
在等边中，设，，
在中，由余弦定理可得：，
由于，，代入上式可得：；
∴四边形的面积
，
∴当角时，四边形面积的最大值，最大值为，故D正确．
故选：ABD．
3.(2023·昆明市官渡区第一中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围．
答案：（1）， （2）
【解析】（1），∴，
，，，为锐角，，
∵，由正余弦定理可得，
整理可得，解得．
（2），
，，
，
，，，
，，
，