高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.5平面向量中的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)
展开【知识必备】
一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.
二、平面向量范围与最值问题常用方法:
(1)坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
(2)基底法
第一步:利用其底转化向量
第二步:根据向量运算律化简目标
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
(3)几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步:解得结果
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的最值范围问题】
必备技巧 数量积的最值范围处理方法
(1)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算,
(2)建立坐标系,利用向量的坐标运算转化为函数来处理,
(3)利用极化恒等式来处理.
例1(2023·河南高三月考)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆(前轮),圆(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为
A.18B.24C.36D.48
例2 (2023·陕西·交大附中模拟预测)边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.
【跟踪精练】
1. (2023·山东·山师附中模拟预测)已知圆半径为2,弦,点为圆上任意一点,则的最大值是
2. (2023·云南玉溪·高三月考)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6 的可移动的线段,,, ,则的取值范围为 ________________ .
【题型二 平面向量模的最值范围问题】
方法技巧 模的最值范围处理方法
设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求.
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知△ABC为等边三角形,AB=2,△ABC所在平面内的点P满足,的最小值为( )
例4(2023·福建泉州·模拟预测)已知向量,满足,,则的最大值为______.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习)已知,点在线段上,且的最小值为,则()的最小值为( )
A.B.C.2D.
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)已知平面向量,,满足,,与的夹角为,则的最大值为___________.
【题型三 平面向量夹角的最值范围问题】
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)非零向量满足=,,则的夹角的最小值是 .
例6 (2023·河北武强中学高三月考)已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 .
【题型精练】
1.(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量与的夹角为,,,,,在时取最小值,当时,的取值范围为
A.,B.,C.,D.,
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 设向量、满足:,,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的取值范围是
A.B.
C.D.
【题型四 平面向量中系数的最值范围问题】
必备技巧 系数的最值范围处理方法
(1)建立坐标系,利用向量的坐标运算转化为函数来处理,
(2)利用极等和线定理来处理.
例7(2023·全国·高三专题练习)在矩形中,,,,分别是,上的动点,且满足,设,则的最小值为( )
A.48B.49C.50D.51
例8 (2023·海南海口·二模)设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于 .
【题型精练】
1. (2023•南通期末)在中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若(,),则的取值范围是( )
A.B.C.D.
2. (2023•济南期末)设,为单位向量,非零向量,,,若,的夹角为,则的最小值为
A.B.C.1D.4
5.5 平面向量中的最值、范围问题
【题型解读】
【知识必备】
一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.
二、平面向量范围与最值问题常用方法:
(1)坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
(2)基底法
第一步:利用其底转化向量
第二步:根据向量运算律化简目标
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
(3)几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步:解得结果
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的最值范围问题】
必备技巧 数量积的最值范围处理方法
(1)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算,
(2)建立坐标系,利用向量的坐标运算转化为函数来处理,
(3)利用极化恒等式来处理.
例1(2023·河南高三月考)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆(前轮),圆(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为
A.18B.24C.36D.48
答案:C
【解答】
据题意:圆(后轮)的半径均为,,,均是边长为4的等边三角形.点为后轮上的一点,故,
,故
【法二】:如图建立平面直角坐标系:
则,,.可设,
所以,.
故
.
故选:.
例2 (2023·陕西·交大附中模拟预测)边长为的正方形内有一内切圆,是内切圆的一条弦,点为正方形四条边上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是_________.
答案:
【解析】如下图所示:
设正方形的内切圆为圆,当弦的长度最大时,为圆的一条直径,
,
当为正方形的某边的中点时,,
当与正方形的顶点重合时,,即,
因此,.
故答案为:.
【跟踪精练】
1. (2023·山东·山师附中模拟预测)已知圆半径为2,弦,点为圆上任意一点,则的最大值是
答案:6
【解答】解:如图,取中点,连接,,,则:
;
;
当,即同向时取“”;
的最大值为6.
故答案为:6.
2. (2023·云南玉溪·高三月考)如图直角梯形ABCD中,EF是CD边上长为6 的可移动的线段,,, ,则的取值范围为 ________________ .
答案:
【解析】在上取一点,使得,取的中点,连接,,
如图所示:
则,,,
,即.
,
当时,取得最小值,此时,
所以.
当与重合时,,,
则,
当与重合时,,,
则,
所以,即的取值范围为.
故答案为:
【题型二 平面向量模的最值范围问题】
方法技巧 模的最值范围处理方法
设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求.
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知△ABC为等边三角形,AB=2,△ABC所在平面内的点P满足,的最小值为( )
答案:C
【解析】建系
A,B ,C,设P
,,
,
则P到距离为1,则最小值为
例4(2023·福建泉州·模拟预测)已知向量,满足,,则的最大值为______.
答案:
【解析】设向量的夹角为,
,
,
则,
令,
则,
据此可得:,
即的最大值是
故答案为:.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习)已知,点在线段上,且的最小值为,则()的最小值为( )
A.B.C.2D.
答案:B
【解析】当时,取得最小值,因为,
所以此时点为线段的中点,
因为,所以,故,
则,
因为,
故.
故选:B.
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)已知平面向量,,满足,,与的夹角为,则的最大值为___________.
答案:
【解析】∵,,∴,
如图所示,设平面向量,,都是以O为起点,终点分别是A,B,C,
则平面向量+的终点N到O的距离为2,
设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心,半径为1的圆周上.
由与的夹角为,∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上,
当C,M,N共线,且C,N在直线AB的两侧,并且CM⊥AB时,|CN|最大,也就是取得最大值,
此时,, |CN|=,
故答案为:.
【题型三 平面向量夹角的最值范围问题】
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)非零向量满足=,,则的夹角的最小值是 .
答案:
【解析】由题意得,,整理得,即
,,夹角的最小值为
例6 (2023·河北武强中学高三月考)已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 .
【解析】由于与的夹角为锐角,,且与不共线同向,由,解得,当向量与共线时,得,得,因此的取值范围是且.
【题型精练】
1.(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量与的夹角为,,,,,在时取最小值,当时,的取值范围为
A.,B.,C.,D.,
【解析】解:由题意得:
,
,
,
由二次函数知,当上式取最小值时,,
,,
解得.
的取值范围为.
故选:.
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 设向量、满足:,,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的取值范围是
A.B.
C.D.
【解析】解:向量、满足:,,的夹角是,.
若与的夹角为钝角,
则,且与不共线,
即,且,
即,且.
求得,,即,,,
故选:.
【题型四 平面向量中系数的最值范围问题】
必备技巧 系数的最值范围处理方法
(1)建立坐标系,利用向量的坐标运算转化为函数来处理,
(2)利用极等和线定理来处理.
例7(2023·全国·高三专题练习)在矩形中,,,,分别是,上的动点,且满足,设,则的最小值为( )
A.48B.49C.50D.51
答案:B
【解析】如图,建立平面直角坐标系,
则,,,,
设,,因为,
所以,,.
因为,所以,,
所以.
当且仅当,即,时取等号.
故选: B.
例8 (2023·海南海口·二模)设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于 .
【解析】解:,
只考虑,
则,
当且仅当时取等号.
则的最大值等于.
故答案为:.
【题型精练】
1. (2023•南通期末)在中,M为BC边上任意一点,N为线段AM上任意一点,若(,),则的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案:C
【解析】解:由题意,设,,
当时,,所以,
所以,从而有;
当时,因为(,),
所以,即,
因为、、三点共线,所以,即.
综上,的取值范围是.
故选:C.
2. (2023•济南期末)设,为单位向量,非零向量,,,若,的夹角为,则的最小值为
A.B.C.1D.4
【解析】解:,为单位向量,非零向量,,,若,的夹角为,
,
则,
则,
当且仅当时,取等号,
故选:.
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