高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.3数列求通项6大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.3数列求通项6大题型(精练)(原卷版+解析)，共20页。

【题型一 由数列的前n项和Sn求an 】
1. (2023·四川高三月考）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
2. (2023·全国·高三专题练习）（多选）在数列中，其前的和是，下面正确的是（ ）
A．若，，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且，则
3. (2023·北京交通大学附属中学高三月考）已知数列满足，则____.
4. （2023·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
5. (2023·浙江高三模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式。
6．(2023·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
7．(2023·全国高三模拟）已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式；
【题型二 利用累加法求an】
1.(2023·江苏江苏·一模）设数列满足，，则数列的通项公式
2. (2023·四川达州市·高三二模）数列满足，求数列的通项公式
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足，，当时，，求数列、的通项公式；
4．(2023·河南·灵宝市高三模拟）数列满足，求数列的通项公式 .
【题型三 利用累乘法求an】
1.(2023·浙江高三模拟）已知数列满足．求数列的通项公式；
2. (2023·江苏高三模拟）已知数列的前项和为，且，（），则
3．(2023·深圳实验学校高中部高三模拟）已知数列满足，．数列的通项公式
4．(2023·吉林白山市高三模拟）数列满足：，，求的通项公式；
【题型四 构造法求通项公式】
1.(2023·历城二中月考）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
2.(2023·珠海市第二中学高三模拟）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
3.(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
4. (2023·四川宜宾·二模）在数列中，，，且满足，则___________.
5．(2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．
6．(2023·山西师范大学实验中学高三模拟）已知数列满足，，则___________.
7．已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.
【题型五 分奇偶求通项公式】
1.(2023·全国·一模）已知数列中，，，则的前200项和_________.
2. (2023·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记bn=2an,n为奇数an,n为偶数，求数列的前项和.
【题型六 周期数列求通项公式】
1.(2023·鄂尔多斯市第一中学高三模拟）在数列中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国高三专题练习）在数列中，，，则的值为
3. (2023·安徽合肥市·高三二模）已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48B．C．52D．
6.3 数列求通项6大题型
【题型解读】

【题型一 由数列的前n项和Sn求an 】
1. (2023·四川高三月考）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)；(2).
【解析】(1)由，得
，即，解得：(舍或.
(2)由，得，即或（舍）
当时，．
当时，．验证时上式成立，．
2. (2023·全国·高三专题练习）（多选）在数列中，其前的和是，下面正确的是（ ）
A．若，，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且，则
答案：ABC
【解析】A：由题设，是首项为1，公差为2的等差数列，则，正确；
B：由题设，，则，可得，即，正确；
C：由题设，，则，正确；
D：时有，整理得，而，故为常数列且，可得，错误；故选：ABC
3. (2023·北京交通大学附属中学高三月考）已知数列满足，则____.
答案：
【解析】因为，所以当时，有，
，得，当时，也适合，故答案为：
4. （2023·江苏省灌云高级中学）设Sn是正项数列{an}的前n项和，且．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
答案：(1)3(2)an＝2n＋1
【解析】(1)由所给条件知，当n＝1时 ，
整理得 ，由于 ，得 ；
(2)由条件得 ， ，
①- ②得 ，
整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，
因为：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2）， 是首项为3，公差为2的等差数列，
，
故 .
5. (2023·浙江高三模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式。
答案：3×+1
【解析】当n=1时，，解得a1=4.
当n≥2时，，即，
即，故数列是以3为首项，为公比的等比数列，
则，所以.故选：C.
6．(2023·四川眉山市·高三三模）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式．
答案：
【解析】当时，由得，
当时，由有，
所以，，则，
又．所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．
，所以．
当时，．
当时，也满足．
所以数列的通项公式为．
7．(2023·全国高三模拟）已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式；
答案：
【解析】由题意，数列满足，
所以当时，，
两式相减可得，
因为，符合上式，
所以，故，
当时，，
当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为.
【题型二 利用累加法求an】
1.(2023·江苏江苏·一模）设数列满足，，则数列的通项公式
答案：
【解析】，
所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，
．
2. (2023·四川达州市·高三二模）数列满足，求数列的通项公式
答案：
【解析】根据题意，可得到，
，
，
……
将以上个式子累加可得，，
，
，
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列、满足，，当时，，求数列、的通项公式；
答案：，
【解析】，
所以，，即，
所以，
，
所以，.
因为当时，，故；
4．(2023·河南·灵宝市高三模拟）数列满足，求数列的通项公式 .
答案：
【解析】根据题意，可得到，，
，……
将以上个式子累加可得，,
，，又 满足，所以
【题型三 利用累乘法求an】
1.(2023·浙江高三模拟）已知数列满足．求数列的通项公式；
答案：；
【解析】当时，，则，即，
，n＝1也满足上式，故；
2. (2023·江苏高三模拟）已知数列的前项和为，且，（），则
答案：
【解析】由题得（）所以（）
由题得，所以（）.
所以所以.
所以.故选：B
3．(2023·深圳实验学校高中部高三模拟）已知数列满足，．数列的通项公式
答案：
【解析】，
当时，
当时，，
两式相减得：，即，，，，
，累乘得：，所以，，故答案为：.
4．(2023·吉林白山市高三模拟）数列满足：，，求的通项公式；
答案：
【解析】由得，，
，
即．
【题型四 构造法求通项公式】
1.(2023·历城二中月考）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．
答案：2
【解析】由，得，
当时，得，，…，，
则，
即，则，
当n=1时符合上式，
则，
所以k最小为2．
故答案为：.
2.(2023·珠海市第二中学高三模拟）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.
故选：B.
3.(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
答案：
【解析】∵，∴，
即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴数列的通项公式．故答案为：.
4. (2023·四川宜宾·二模）在数列中，，，且满足，则___________.
答案：
【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
5．(2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．
答案：
【解析】∵，∴，即,∴,
且，，则,又，
∴数列是首项为，公比为3的等比数列．∴．故答案为：.
6．(2023·山西师范大学实验中学高三模拟）已知数列满足，，则___________.
答案：
【解析】由已知可得，设，则，
所以，，可得，所以，，且，
由题意可知，对任意的，，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，因此，.
故答案为：.
7．已知数列的通项公式为，求数列的通项公式.
答案：
【解析】因为，所以，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，所以
【题型五 分奇偶求通项公式】
1.(2023·全国·一模）已知数列中，，，则的前200项和_________.
答案：
【解析】
当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出.
【详解】
由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
2. (2023·山东师范大学附中模拟预测）已知是数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记bn=2an,n为奇数an,n为偶数，求数列的前项和.
【解析】(1)变形为，
因为，
所以，故；
(2)当为奇数时，，
当为偶数时，，
则
【题型六 周期数列求通项公式】
1.(2023·鄂尔多斯市第一中学高三模拟）在数列中，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，，
所以，，，，，…，
由此可归纳得到(，)，所以.故选：.
2. (2023·全国高三专题练习）在数列中，，，则的值为
答案：
【解析】在数列中，，，
，，，
数列是周期为3的周期数列，
，
3. (2023·安徽合肥市·高三二模）已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48B．C．52D．
答案：D
【解析】由，得，
则，
，
，
，
所以，于是数列的前50项和
．
故选：D