高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.4数列求和6大题型(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.4数列求和6大题型(精练)(原卷版+解析)，共27页。


【题型一 公式法求和 】
1. (2023·四川成都市·高三三模）已知数列中，，且满足．设，.
（1）求数列的通项公式的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
2. (2023·黑龙江佳木斯市高三模拟）已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若设，求数列的前项和.
3. (2023·黑龙江实验中学高三月考）已知数列的前项和为，满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为．
4．(2023·广东深圳·一模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【题型二 错位相减求和 】
1. (2023·广东广东·一模）设数列的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
2. (2023·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．(2023·河南高三月考）已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
4．(2023·福建厦门市·厦门双十中学高三模拟）在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【题型三 裂项相消求和 】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
2. (2023·陕西·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
3. (2023·重庆八中高三期末）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
4. (2023·河南商丘市·高三月考）已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
5．(2023·商丘市第一高级中学高三模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【题型四 分组求和与并项求和 】
1. (2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和
2. (2023·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3. (2023·湖南·高三阶段练习）已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
4. (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．(2023·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
【题型五 倒序相加求和 】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
【题型六 放缩求和 】
1.(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
（1）和的通项公式；
（2）求数列的前8项和；
（3）证明：．
2．(2023·全国·高三专题练习）求证: .
6.4 数列求和6大题型
【题型解读】

【题型一 公式法求和 】
1. (2023·四川成都市·高三三模）已知数列中，，且满足．设，.
（1）求数列的通项公式的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，∴.
∵，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，.
（2）∵，
∴
，
∴，
∴，∴.
2. (2023·黑龙江佳木斯市高三模拟）已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若设，求数列的前项和.
答案：（1），；（2）.
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，解得，
∴，.
（2）由（1）知，，
故数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴.
3. (2023·黑龙江实验中学高三月考）已知数列的前项和为，满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由可知数列是公比为2的等比数列，所以．
又因为，所以，所以．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以.
4．(2023·广东深圳·一模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得或(舍去).
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
【题型二 错位相减求和 】
1. (2023·广东广东·一模）设数列的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
答案：(1)(2)
【解析】(1)当时，，
得
即，即
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(2)由（1）知，则
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
2. (2023·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)
【解析】(1)解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的
又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
(2)
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
3．(2023·河南高三月考）已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，数列满足，
可得，即，
又因为，可得，
所以，所以，
即数列的通项公式.
（2）由（1）知，可得，
则
.
令，
则，
所以，
所以.
所以.
4．(2023·福建厦门市·厦门双十中学高三模拟）在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
答案：条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）方案一：选条件①.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
方案二：选条件②.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
∴
方案三：选条件③.
∵点在直线上，
∴，∴，
两式相减，整理得，当时，，得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）可得，，则，
，
两式相减得
∴.
【题型三 裂项相消求和 】
1. (2023·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足
(1)求数列{}的通项公式：
(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.
答案：(1)(2)
【解析】(1)正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以.
(2)因为
所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由{}递增，得，
所以的最小值为.
2. (2023·陕西·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，
故，解得或（舍），故，，
因为，故，
又，
故数列是公差为的等差数列.
(2)因为，
故，
又是单调增函数，且，
又当时，，故，即证.
3. (2023·重庆八中高三期末）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由，得．
又，从而数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以．
（2）由（1）得，所以
．
4. (2023·河南商丘市·高三月考）已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
答案：（1）；（2）．
【解析】（1）由条件，可得，又
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以
因此
（2）．
所以，

5．(2023·商丘市第一高级中学高三模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，即，整理得，
又因为，所以，
即，所以；
（2）由（1）知，所以，
，
所以．
【题型四 分组求和与并项求和 】
1. (2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和
答案：(1)(2)
【解析】(1)∵，，，∴，
∴，
∴，，，…，，
将上述式子左右分别相乘得，
∴．
∵满足上式，
∴．
(2)∵，令，，
的前项和为，的前项和为，
∴，
，
∴．
2. (2023·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)，；(2)
【解析】(1)由得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
由可知数列是等差数列，首项，公差，
所以.
(2)
即
3. (2023·湖南·高三阶段练习）已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
答案：(1)(2)
【解析】(1)当时，，又，得，
由①
得②，①②两式相除可得，
则，且，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故.
(2)当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
.
所以数列的前14项和为
.
4. (2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.
【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为
(2)
则
当n为偶数时，；当n为奇数时，.
5．(2023·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.
(1)求的通项公式及其前项和；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设求数列的前项的和.
答案：(1)，(2)证明见解析，(3)
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，
由已知可得，即，解得，故，
.
(2)证明：因为，，则，
因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，
因此，，因此，.
(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.
当，，
则，
，
上式下式得
，
故.
当时，
，
所以，
，
因此，.
【题型五 倒序相加求和 】
1. (2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018B．2019C．4036D．4038
答案：A
【解析】∵，∴．
又∵，∴．
令，则，
两式相加得，∴．故选：A
2．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；
所以，
.
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此.
故选：D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题已知是上的奇函数，故，
代入得：， ∴函数关于点对称，
令，则，得到，
∵，，
倒序相加可得，即，故选：C．
4. (2023·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）
A．98B．99C．100D．101
答案：C
【解析】由已知，数列通项，所以，
所以，所以.故选：C
【题型六 放缩求和 】
1.(2023·浙江·效实中学模拟预测）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
（1）和的通项公式；
（2）求数列的前8项和；
（3）证明：．
答案：（1）的通项公式为，的通项公式为；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
分析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由等差数列、等比数列的通项公式和求和公式建立方程组，求解即可；
（2）运用错位相减法可求得答案；
（3）由（1）得，证明当时，当时，不等式成立；当时，，运用不等式放缩法和裂项求和法可得证.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
【小问2详解】
解：设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为
当时，．
【小问3详解】
解：由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
2．(2023·全国·高三专题练习）求证: .
答案：证明见解析.
【解析】
分析：利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可求证
【详解】，