高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.4空间几何体的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.4空间几何体的最值、范围问题(精练)(原卷版+解析)，共20页。


【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
1.(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，，于，，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为
A．B．C．D．
2. (2023·陕西高三模拟）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为
A．3B．C．D．
3. (2023·海原县高三模拟）已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：
①长的最大值是9；
②三棱锥体积最大值是；
③存在过点的平面，截球的截面面积是；
④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；
⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．
其中判断正确的序号是 ．
【题型二 截面中的最值、范围问题】
1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，正三棱锥的侧棱长为，两侧棱、的夹角为，、分别是、上的动点，则的周长的最小值是
A．B．C．D．
2. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，
点是的中点，点是球的球面上任意一点，有以下判断：
（1）长的最大值是9；
（2）到平面的距离最大值是；
（3）存在过点的平面截球的截面面积是；
（4）三棱锥体积的最大值是20．
其中正确判断的序号是 ．
3. (2023·全国高三模拟）已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球的球面上任意一点，有以下判断，
（1）长的最大值是9；（2）三棱锥的最大值是；（3）存在过点的平面，截球的截面面积是；（4）三棱锥体积的最大值是20．正确的是 （1）（4） ．
【题型三 平行、垂直中的最值、范围问题】
1.(2023·江西高三模拟）在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为1，分别是线段、上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C． D．
【题型四 其它类型的最值、范围问题】
1.(2023·山东·模拟预测）已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．18D．36
2.(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3. 等腰直角三角形的斜边为正四面体侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（ ）
A．四面体的体积有最大值和最小值；
B．存在某个位置，使得；
C．设二面角的平面角为，则；
D．的中点与的中点连线交平面于点，则点的轨迹为椭圆.
4. （多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与平面所成角的正弦值的范围为
D．当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为
5.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若是线段的中点，则平面平面
B．若在线段上，则与所成角的取值范围为
C．若平面，则点的轨迹的长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
7.4 空间几何体的最值、范围问题
【题型解读】

【题型精讲】
【题型一 切接中的最值、范围问题】
1.(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，，于，，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，
如图所示：
由于：为球体的球心，
所以：，
由于，于，，
为的中点，
所以平面，
则，
．
故：，
由于．
所以：，解得．
所以．
故选：．
2. (2023·陕西高三模拟）若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为
A．3B．C．D．
答案：A
【解析】解：设底面边长，棱锥的高，
，
，
正四棱锥内接于球，
在直线上，设球半径为，
（1）若在线段上，如图一，则，
（2）若在在线段的延长线上，如图二，则，
平面，
是直角三角形，
，
，，
，或
，
即．
当且仅当取等号，
即时取得最小值．
故选：．
3. (2023·海原县高三模拟）已知底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球上任意一点，有以下判断：
①长的最大值是9；
②三棱锥体积最大值是；
③存在过点的平面，截球的截面面积是；
④是球上另一点，，则四面体体积的最大值为56；
⑤过点的平面截球所得截面面积最大时，垂直于该截面．
其中判断正确的序号是 ．
答案：①②④
【解析】①底面是正方形的长方体的底面边长，侧棱长，外接球的直径为，半径为5，点是的中点，，长的最大值是，故正确；
②到平面的最大值为，的面积为9，三棱锥体积最大值是，故正确；
③过点的平面，截球的截面面积最小是，故不正确；
④当中点与中点重合，且垂直于平面时，则四面体体积为56，故正确；
⑤过侧面是矩形，不垂直，不可能垂直于，故不正确．
故答案为：①②④．
【题型二 截面中的最值、范围问题】
1.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，正三棱锥的侧棱长为，两侧棱、的夹角为，、分别是、上的动点，则的周长的最小值是
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：三棱锥的侧面展开图，如图，
的周长的最小值为，
由于题 设知，正三棱锥的侧棱长为
所以，
故选：．
2. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，
点是的中点，点是球的球面上任意一点，有以下判断：
（1）长的最大值是9；
（2）到平面的距离最大值是；
（3）存在过点的平面截球的截面面积是；
（4）三棱锥体积的最大值是20．
其中正确判断的序号是 ．
答案：（1）（4）
【解析】由题意可知球心在体对角线的中点，直径为：
半径是5，（1）长的最大值是：，正确；
（2）到平面的距离最大值是，错误；
（3）球的大圆面积是，过与球心连线垂直的平面是小圆，面积为，因而（3）是错误的．
（4）三棱锥体积的最大值是最大是半径）正确．
故答案为：（1）（4）
3. (2023·全国高三模拟）已知正四棱柱的底面边长，侧棱长，它的外接球的球心为，点是的中点，点是球的球面上任意一点，有以下判断，
（1）长的最大值是9；（2）三棱锥的最大值是；（3）存在过点的平面，截球的截面面积是；（4）三棱锥体积的最大值是20．正确的是 （1）（4） ．
答案：（1）（4）
【解析】由题意可知球心在体对角线的中点，直径为：半径是5，（1）长的最大值是：，正确；
（2）到平面的距离最大值是，错误；
（3）球的大圆面积是，过与球心连线垂直的平面是小圆，面积为，因而（3）是错误的．
（4）三棱锥体积的最大值是最大是半径）正确．
故答案为：（1）（4）
【题型三 平行、垂直中的最值、范围问题】
1.(2023·江西高三模拟）在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．D．
答案：A
【解析】平面，平面，平面平面，
，
，
设到平面的距离为，则，
，
故，而，
四面体的体积，
当时取得最大值．
故选：．
2．(2023·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥中，平面，，，且为的中点，于，当变化时，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
在三棱锥中，平面，知：
，而，
而且，又
∵为的中点，知：
∴设，则，所以，
令，有，
令，，而由二次函数的性质知：时有最大值为，
∴最大值为，
故选：C
3. (2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为1，分别是线段、上的动点，若平面，则三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C． D．
答案：C
【解析】
如图，
由底面，可得平面底面，
在平面内过作于，
则底面，可得，
平面，
又平面，且，
平面平面，
可得，则平面，
又，且平面，
可得平面，
则到平面的距离等于到平面的距离，
设，则到平面的距离等于到平面的距离为，
则，
，
当时，.
故选：C
【题型四 其它类型的最值、范围问题】
1.(2023·山东·模拟预测）已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是
A．B．C．18D．36
答案：A
【解析】过作，垂足为，连接，
，，，
平面，
．
又，平面，
，，
取的中点，则，
，
当最大时，棱锥的体积取得最大值．
又，故当最大时，棱锥体积最大，
，，当时，取得最大值，
此时，
棱锥的体积最大值为．
故选：．
2.(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
3. 等腰直角三角形的斜边为正四面体侧棱，直角边绕斜边旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（ ）
A．四面体的体积有最大值和最小值；
B．存在某个位置，使得；
C．设二面角的平面角为，则；
D．的中点与的中点连线交平面于点，则点的轨迹为椭圆.
答案：C
【解析】
对A，当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，
当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，
∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故A正确；
对B，连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故B正确；
对C，取AB中点O，连接DO，EO，
则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角为θ，
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
，所以θ≥∠DAE不成立．C不正确；
对于D,AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，
P到BC的距离为：，因为，
所以点P的轨迹为椭圆．D正确．
故选：C．
4. （多选）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与平面所成角的正弦值的范围为
D．当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为
答案：BCD
【解析】
对于A中，由，所以A不正确；
对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面，
此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以B正确；对于C中，由正方体的结构特征和性质，可得点P到平面的距离为，
当点P在线段上运动时，（P为端点时），，
设直线与平面所成角为，则，所以C正确；
对于D中，当点P与重合时，此时三棱锥为，
设的中点为，因为，可得
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，其半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为，所以D正确.
故选BCD.
5.(2023·江西萍乡·三模）（多选）已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）
A．若是线段的中点，则平面平面
B．若在线段上，则与所成角的取值范围为
C．若平面，则点的轨迹的长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
答案：AC
【解析】
对于A，如下图，
，分别是线段，的中点，
故，
则，，
所以，易知平面，所以，
所以平面，从而平面平面，
故A正确.
对于B，正方体中，，
所以与所成的角为与所成的角，
连接，，
则为正三角形，
所以与所成角的取值范围为，
故B错误.
对于C，如下图，
设平面与直线交于点，
连接，，则为的中点，
分别取，的中点，，
连接，，，易知，
所以平面.
同理可得平面，所以平面平面，
由此结合平面，可得直线平面，
所以点的轨迹是线段，易得，
故C正确.
对于D，如下图，
取的中点，的中点，的中点，连接，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
连接，，则，又，
所以，所以平面，
连接，，易知，又，
所以，故，，，四点共面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段.
由知，，，
连接，，在中，
，所以，
所以，得为直角，
故线段长度的最小值为，
故D错误.
故选：AC．