高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.6双曲线方程及其性质(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.6双曲线方程及其性质(精练)(原卷版+解析)，共28页。


【题型一 双曲线的定义及应用】
1.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．或C．或D．
2.(2023·福建高三期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3.(2023·全国·高三专题练习）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.(2023·河南高三高三模拟）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
6. (2023·深圳模拟)在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型二 焦点三角形问题】
1.(2023·青岛高三模拟）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8B．C．16D．
2.(2023·山东日照高三模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
3．(2023·武功县普集高级中学期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
4．(2023·全国高三模拟）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1B．C．2D．3
【题型三 双曲线的标准方程】
1.(2023·全国高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.(2023·全国高三专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·全国·模拟预测）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为 ．
5.(2023·山西太原五中高三期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；
（2）渐近线方程为，经过点．
（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
【题型四 双曲线的几何性质】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双由线C上的一点，若线段与y轴的交点M恰好是线段的中点，，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3.(2023·滨州模拟)已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·德阳三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
5. (2023·江西·高三开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
6.(2023·威海模拟)已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
7.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型五 直线与双曲线的位置关系】
1.(2023·湖北模拟）直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. (2023·德阳三模）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·江西·高三开学考试）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
【题型六 弦长与中点弦】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
3. (2023·德阳三模）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·江西·高三开学考试）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
【题型七 双曲线的综合应用】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．
2. (2023·德阳三模）已知双曲线C：（）的左､右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.
8.6 双曲线方程及其性质
【题型解读】
【题型一 双曲线的定义及应用】
1.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．或C．或D．
答案：D
【解析】由题意知，所以，所以，
所以，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，
故选：D.
2.(2023·福建高三期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：C
【解析】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为
比较方程，得
所以双曲线方程为，点
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以
所以
由两点之间线段最短，得最小为
因为点在圆上运动
所以最小为点到圆心的距离减去半径1
所以
所以的最小值为8
故选：C
3.(2023·全国·高三专题练习）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】由题意可知，，，，
若，则，或1（舍去），
若，，或13，
故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．
4.(2023·河南高三高三模拟）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由双曲线 可知：
的周长为 .
当 轴时， 的周长最小值为
故答案为：C
5. (2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
答案：BCD
【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
6. (2023·深圳模拟)在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
【题型二 焦点三角形问题】
1.(2023·青岛高三模拟）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8B．C．16D．
答案：C
【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以。故答案为：C
2.(2023·山东日照高三模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A．B．1C．D．
答案：A
【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，
又，所以，，设，
所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值是，故答案为：A.
3．(2023·武功县普集高级中学期末）已知双曲线：的左､右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
答案：
【解析】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，
由双曲线定义知，所以，
所以，
所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，
此时，直线方程为，
由，得，
故点，
.
故答案为：.
4．(2023·全国高三模拟）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1B．C．2D．3
答案：A
【解析】由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
【题型三 双曲线的标准方程】
1.(2023·全国高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意得：双曲线的焦点在轴上，且，，再由，解得：，该双曲线的标准方程为，
故选D.
2.(2023·全国高三专题练习）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由于分别是的中点，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
由于，所以，
即，也即，即，
解得，负根舍去.
所以.
所以双曲线的方程为.
故选：A
3．(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】双曲线中，，则渐近线方程为，离心率为。
对于A，，则离心率，故A错误；
对于B，，则渐近线方程为，故B错误；
对于C，，则离心率，故C错误；
对于D，，则渐近线方程为，离心率，故D正确。
故选：D
4. (2023·全国·模拟预测）已知焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程为 ．
答案：
【解析】由题设，可知：，，
∴由，可得，，又焦点在轴上，
∴双曲线的标准方程为.
故答案为：.
5.(2023·山西太原五中高三期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；
（2）渐近线方程为，经过点．
（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
答案：（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为：，由题知：
，双曲线方程为：.
（2）解：设双曲线方程为：，
将代入，解得，
所以双曲线方程为：.
（3）由 ，得 ，即 ，
又 ，即 ，
双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．
所以，双曲线 的方程为 ．
（4）椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以，双曲线 的方程为 ．
【题型四 双曲线的几何性质】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双由线C上的一点，若线段与y轴的交点M恰好是线段的中点，，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设双曲线的半焦距为，则点，由题意知轴，
所以点的横坐标为，由双曲线的对称性特点不妨设点P(c，y0)(y0>0)，
所以，解得，所以点，所以点的坐标为(0，b22a)，
所以MF1=(−c，−b22a)，MO=(0，−b22a)，故MF1⋅MO=(−c，−b22a)⋅(0，−b22a)=b44a2=2b2，
所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：B.
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支上，
又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以
连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，
所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .
故答案为：C.
3.(2023·滨州模拟)已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知，点的坐标为，故，
因为以F为圆心的圆经过点A，O，
所以，则△为等边三角形，
所以，则，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：A
4. (2023·德阳三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，点在线段上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：B
【解析】根据题意，作图如下：
因为，故可得，
故可得//，且，故分别为的中点；
又，故可得既是三角形的中线又是角平分线，
故可得；又为中点，由对称性可知：垂直于轴.
故△为等边三角形，则；
令，可得，解得，故可得，
则，由双曲线定义可得：，
即，解得，则离心率为.
故选：B.
5. (2023·江西·高三开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C上，点I为的内心，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
答案：A
【解析】依题意，，由双曲线定义知：，于是得，，
令双曲线C的半焦距为c，内切圆半径为r，因，
则有，即有，
于是得：，即，
所以双曲线C的离心率为。故答案为：A
6.(2023·威海模拟)已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
答案：
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
7.(2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
【题型五 直线与双曲线的位置关系】
1.(2023·湖北模拟）直线与双曲线：有且仅有一个公共点，那么值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：D
【解析】联立，消去y得
当时，即时，方程组只有一个解；
当时，，解得：
所以的取值为，共4个，
故选：D.
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为表示双曲线的右支，
由消去得，整理得，
设直线与曲线的两交点为，，
其中，，
则，解得，
又，解得，
综上，.
3. (2023·德阳三模）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，
设交点，联立可得，
由题意可得解得：，故选：D．
4. (2023·江西·高三开学考试）已知直线与双曲线有且只有一个公共点，则C的离心率等于________．
答案：
【解析】双曲线的渐近线方程为，，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以直线与渐近线平行，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
【题型六 弦长与中点弦】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.弦长|MN|.故选：D.
2.(2023·江苏省前黄高级中学高三月考）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
3. (2023·德阳三模）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，则，两式作差，并化简得，
，所以，
因为为线段的中点，即所以，即，由，得.
故选：B.
4. (2023·江西·高三开学考试）双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______.
答案：
【解析】设，则，
将两点坐标代入双曲线方程得：；
将上述两式相减可得：
即，也即
所以，即
故答案为：
【题型七 双曲线的综合应用】
1.(2023·湖北模拟）已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由已知
（2）设直线方程为，
直线的方程为，可得
直线的方程为，可得
联立，消去，整理得．
可得
又，所以的范围是
2. (2023·德阳三模）已知双曲线C：（）的左､右焦点分别为，，，过焦点，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足.
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，
过，且斜率为的直线方程为，
由，
由，
由于，即，
所以.
所以双曲线的方程为.
（2）设，
由消去并化简得，
，且.
设，则
，
所以中点的坐标为，
由于，所以，，
，化简得，
，解得或，
由于且，所以，
所以直线的方程为