高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.7抛物线方程及其性质(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.7抛物线方程及其性质(精练)(原卷版+解析)，共17页。

【题型一 抛物线的定义及应用】
1.(2023·全国·高三专题练习） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
2.(2023·福建高三期末）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
3.(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
5. (2023·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6.(2023·全国高三模拟）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【题型二 抛物线的方程】
1.(2023·青岛高三模拟）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.(2023·山东日照高三模拟）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·武功县普集高级中学期末）已知抛物线：，点，在抛物线上，且直线过点，为的焦点，若，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国高三模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【题型三 抛物线的焦点弦问题】
1.(2023·全国高三专题练习）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．
2.(2023·全国高三专题练习）已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
3.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______
4．(2023·全国·高三专题练习）已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.
5. (2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
6.(2023·山西太原五中高三期末）已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A．B．C．D．
7.直线与抛物线交于，两点，若，则______.
8.(2023·长宁区·上海市延安中学高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
【题型四 直线和抛物线】
1.(2023·湖北模拟）已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点．
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程．
2. (2023·德阳三模）设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
3. (2023·江西·高三开学考试）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(EB,\s\up7(―→))的最小值．
8.7 抛物线方程及其性质
【题型解读】
【题型一 抛物线的定义及应用】
1.(2023·全国·高三专题练习） 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
答案：A
【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，
连接，则，又，所以是正三角形，
∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A
2.(2023·福建高三期末）已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
答案：A
【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
3.(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
答案：
【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
4. (2023·全国·高三专题练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
答案：
【解析】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
5. (2023·深圳模拟)在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以，轨迹方程为，
故选：D
6.(2023·全国高三模拟）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
答案：5
【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.
【题型二 抛物线的方程】
1.(2023·青岛高三模拟）若抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题得抛物线的准线方程为
到准线的距离等于它到焦点的距离，则，所以，
故抛物线方程为，
故选：B．
2.(2023·山东日照高三模拟）不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，则，
相减得，，所以，
即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．
故选：C．
3．(2023·武功县普集高级中学期末）已知抛物线：，点，在抛物线上，且直线过点，为的焦点，若，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，
由抛物线的定义可知，，，∵，∴，则易知为的中点．连接，则为的中位线，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，∴点的横坐标为是，∴，∴，∴抛物线的标准方程为．
故选：C
4．(2023·全国高三模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
【题型三 抛物线的焦点弦问题】
1.(2023·全国高三专题练习）过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______．
答案：
【解析】如图，抛物线的焦点为，准线为，
分别过，作准线的垂线，垂足为，，
则有．
过的中点作准线的垂线，垂足为，
则为直角梯形中位线，
则，即，解得.
所以的横坐标为．故答案为：．
2.(2023·全国高三专题练习）已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
答案：4
【解析】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为且，
所以，即，
所以，可得，因为，所以.
故答案为：.
3.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______
答案：
【解析】由抛物线可得，设直线的方程为，
由 ，可得，
设，，则，
所以，
则线段的中点坐标，
到直线的距离为，
则点，到直线的距离之和，
所以当时，取最小值，
此时，
故答案为：.
4．(2023·全国·高三专题练习）已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.
答案：
【解析】由题设，直线、的斜率一定存在，
设为，，，联立抛物线方程，可得且，
∴，，而，，
∴，
由，设为，，，联立抛物线，可得，同理有，，
∴，
综上，.
故答案为：.
5. (2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】焦点，设直线为，代入抛物线方程得.
设，由韦达定理得：①.
由，即，有②
∴由①②得：或，即，
，化简得，
或（舍）.
故选：B.
6.(2023·山西太原五中高三期末）已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，
由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
7.直线与抛物线交于，两点，若，则______.
答案：8
【解析】将带入可得
，
根据题意由韦达定理可得：，，
解得，
所以，
故答案为：8
8.(2023·长宁区·上海市延安中学高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
答案：16
【解析】联立，
得：，
即，
设，，
则，，
所以
.
故答案为：16.
【题型四 直线和抛物线】
1.(2023·湖北模拟）已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点．
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程．
【解析】由已知可得F(0,1)，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(x\\al(2,1),4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(x\\al(2,2),4)))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，
所以x1＋x2＝4k，①
x1x2＝－8.②
(1)|FA|＋|FB|＝eq \f(x\\al(2,1),4)＋1＋eq \f(x\\al(2,2),4)＋1
＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,4)＋2.
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)由题意可知，eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(x\\al(2,1),4)－1))，
eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(x\\al(2,2),4)－1))，eq \(FC,\s\up6(→))＝(－3，－3)．
由∠CFA＝∠CFB，
得cs〈eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉，
即eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FA,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FB,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FB,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)，
又|FA|＝eq \f(x\\al(2,1),4)＋1，|FB|＝eq \f(x\\al(2,2),4)＋1，
所以由eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FA,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FB,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FB,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
即4＋8k＋8＝0.
解得k＝－eq \f(3,2)，
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.
2. (2023·德阳三模）设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
【解析】(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝eq \f(1,2)x＋1或y＝－eq \f(1,2)x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝2x))得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝eq \f(2,k)，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(x2y1＋x1y2＋2y1＋y2,x1＋2x2＋2).①
将x1＝eq \f(y1,k)＋2，x2＝eq \f(y2,k)＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y1)＝eq \f(2y1y2＋4ky1＋y2,k)＝eq \f(－8＋8,k)＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
3. (2023·江西·高三开学考试）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(EB,\s\up7(―→))的最小值．
【解析】(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得eq \r(x－12＋y2)－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋eq \f(4,k2)，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－eq \f(1,k).设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.所以eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(EB,\s\up7(―→))＝(eq \(AF,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→)))·(eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(FB,\s\up7(―→)))
＝eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(AF,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→))·eq \(EF,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝|eq \(AF,\s\up7(―→))|·|eq \(FB,\s\up7(―→))|＋|eq \(FD,\s\up7(―→))|·|eq \(EF,\s\up7(―→))|
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2 eq \r(k2·\f(1,k2))＝16.
当且仅当k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±1时，eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(EB,\s\up7(―→))取最小值16.