高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.4排列、组合中的10大技巧(精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.4排列、组合中的10大技巧(精练)(原卷版+解析)，共22页。

【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
1.(2023·华师大二附中高三练习）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
2. (2023·华师大二附中高三期中）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．44种B．48种C．60种D．50种
3．(2023·全国高三课时练习）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（ ）
A．18种B．12种C．9种D．6种
4．(2023·全国高三课时练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）．
A．72B．96C．120D．144
5. (2023·汕头模拟）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
1.(2023·云南师大附中高三模拟）由数字1，2，3组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（ ）
A．420B．450C．510D．520
2．(2023·石家庄模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）
3. (2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问
（1）能够组成多少个五位奇数？
（2）能够组成多少个正整数？
（3）能够组成多少个大于40000的正整数？
4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
1.(2023·青岛二中高三课时练习）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员.
2．(2023·高三课时练习）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，、两社区需要招募义务宣传员，现有、、、、、六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往、两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A．120B．90C．60D．30
3.(2023·广东高三模拟）2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．
4. (2023·浙江高三模拟）非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文明健康，绿色环保的生活方式.在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座.高三年级男生60人，女生40人参加.按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选出________人.再从此5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第2空3分）
5. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
1.(2023·福建泉州科技中学月考）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种
2.(2023·湖北车城高中高三月考）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．40B．30C．20D．80
3．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．30种
4.(2023·济北中学高三月考）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？
（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
5. (2023·晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．120种B．96种C．48种D．24种
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
1.(2023福建省部分名校高三联合测评）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70B．64C．60D．58
2.(2023·全国高三课时练习）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）
A．32B．15C．16D．31
3．(2023·济南中学高三月考）表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ）
A．286B．281C．256D．176
4. (2023·北京丰台区·高三期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）
A．21B．28C．42D．56
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
1.(2023·浙江模拟）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．72B．48C．36D．24
2.(2023·全国高三课时练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．180B．192C．300D．420
3．(2023·江西·景德镇一中月考）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A．96种B．72种C．48种D．24种
4. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
5. (2023·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120种B．720种C．840种D．960种
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
1.(2023·浙江模拟）三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.
2.(2023·全国高三课时练习）不定方程的非负整数解的个数为（ ）
A．B．C．D．
9.4 排列、组合中的10大技巧
【题型解读】
【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
1.(2023·华师大二附中高三练习）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
答案：B
【解析】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式. 故答案为：B
2. (2023·华师大二附中高三期中）今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．44种B．48种C．60种D．50种
答案：C
【解析】由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；
若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有 种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有 种方案 所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有60-12-4=44 不同的安排方案.故选：C
3．(2023·全国高三课时练习）安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（ ）
A．18种B．12种C．9种D．6种
答案：A
【解析】根据题意分2种情况讨论：
（1）B去甲单位，则A，B在一起，都去甲单位，将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个单位即可，有种安排方法；
（2）B不去甲单位，则B必去丙单位，在剩下4人中选出2人安排在乙单位，再将剩下2人分别安排到甲、丙，有种安排方法，
则有种安排方法，
故答案为：A
4．(2023·全国高三课时练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（ ）．
A．72B．96C．120D．144
答案：D
【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有种情况，
第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有种情况，
第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，
共有种情况，所以。故答案为：D
5. (2023·汕头模拟）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
（1）男甲必排在首位；
（2）男甲、男乙必排在正中间；
（3）男甲不在首位，男乙不在末位；
（4）男甲、男乙必排在一起；
（5）4名女生排在一起；
（6）任何两个女生都不得相邻；
（7）男生甲、乙、丙顺序一定．
答案：（1）A99（2）A22A77（3）A1010﹣2A99+A88（4）A22A88（5）A44A77（6）A66A74（7）=A107
【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A99种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A22A77种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A22A88种，
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A44A77种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种，
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
1.(2023·云南师大附中高三模拟）由数字1，2，3组成六位数（数字可以不完全使用），若每个数字最多出现三次，则这样的六位数的个数是（ ）
A．420B．450C．510D．520
答案：C
【解析】所求的六位数分三类，
第一类：一个数字出现0次，另外两个数字各出现3次，有 个；
第二类：一个数字出现1次，一个数字出现2次，一个数字出现3次，有 个；
第三类；每个数字出现2次，有 个.
所以共有 个满足题意的六位数.故答案为：C.
2．(2023·石家庄模拟）将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）
答案：16
【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示：
然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有种.故答案为：16.
3. (2023·全国·高三专题练习）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问
（1）能够组成多少个五位奇数？
（2）能够组成多少个正整数？
（3）能够组成多少个大于40000的正整数？
答案：（1）；（2）；（3）；
【解析】（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有种，其余4个数全排列有种，按照分步乘法计数原理可得有个五位奇数；
（2）根据题意，
若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数；
若组成两位数，有种情况，即可以有20个两位数；
若组成三位数，有种情况，即可以有60个三位数；
若组成四位数，有种情况，即可以有120个四位数；
若组成五位数，有种情况，即可以有120个五位数；
则可以有个正整数；
（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况；
在剩下的4个数，安排在后面四位，共有种情况，
则有个比40000大的正整数；
4. 用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
答案：（1）156 （2）108 （3）284
【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于是有 个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个．
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有 个；个位数上的数字是5的五位数有 个．故满足条件的五位数的个数共有 个．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如124□，125□，共有 个；
第四类：形如123□，共有 个
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有： 个．
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
1.(2023·青岛二中高三课时练习）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员.
答案：（1）共有(种)选法；（2）246；（3）191.
【解析】⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.
第二步：选2名女运动员，有种选法.
共有(种)选法.
⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种)
2．(2023·高三课时练习）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，、两社区需要招募义务宣传员，现有、、、、、六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往、两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A．120B．90C．60D．30
答案：C
【解析】由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B.
按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.
第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有种，
第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有种，
再分别派往两个社区的不同选派种数：种，
故选：C。
3.(2023·广东高三模拟）2020年国庆档上映的影片有《夺冠》，《我和我的家乡》，《一点就到家》，《急先锋》，《木兰·横空出世》，《姜子牙》，其中后两部为动画片．甲、乙两位同学都跟随家人观影，甲观看了六部中的两部，乙观看了六部中的一部，则甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为________．
答案：
【解析】甲观看了六部中的两部共有种，
乙观看了六部中的一部共有种，
则甲、乙两人观影共有种，
则甲、乙两人观看同一部动画片共有种，
所以甲、乙两人观看了同一部动画片的概率为，
故答案为：
4. (2023·浙江高三模拟）非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文明健康，绿色环保的生活方式.在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座.高三年级男生60人，女生40人参加.按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选出________人.再从此5人中选出两名同学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第1空2分，第2空3分）
答案：3
【解析】按分层抽样的方法，在100名同学中选出5人，则男生中选人，女生中选2人；
从此5人中选出两名同学作为联络人，设这两名联络人中男女都有为事件A，
则.
5. 一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
答案：(1) ；(2) .
【解析】(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.
当取红球个时，取法有种；
当取红球个和白球个时，.取法有种.
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.
(2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.
第一种，红球个和白球个，取法有种;
第二种，红球个和白球个，取法有种,
根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
1.(2023·福建泉州科技中学月考）为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种
答案：A
【解析】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有 种；故答案为：A.
2.(2023·湖北车城高中高三月考）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，若小王和小高必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．40B．30C．20D．80
答案：A
【解析】小王和小高必须安装不同的吉祥物，则有 （种）分配方案，剩下5人分两组，一组2人，一组3人，有 （种）分配方案， 然后分配到参与两个吉祥物的安装，有 （种）分配方案，则共有40种分配方案.故答案为：A.
3．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．30种
答案：C
【解析】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有种安排方法；若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组两人，则有种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法. 故答案为：C
4.(2023·济北中学高三月考）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？
（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
【解析】（1）24（2）144（3）8
答案：（1）每盒至多一球，这是4个元素全排列问题，共有 种．
答：共有24种放法．
（2）先取四个球中的两个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子，有 种投放方法，所以共有 （种）放法．
答：共有144种放法．
（3）一个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种，故共有 （种）放法．
答：共有8种放法．
5. (2023·晋城二模）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）
A．120种B．96种C．48种D．24种
答案：C
【解析】若将2名男老师安排在相邻两天，由捆绑法知有种安排方案，同理将2名女老师安排在相邻两天，有种安排方案，
2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天，有种安排方案，
所以符合条件的安排方案共有.故答案为：C.
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
1.(2023福建省部分名校高三联合测评）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70B．64C．60D．58
答案：D
【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有个.故选：D.
2.(2023·全国高三课时练习）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）
A．32B．15C．16D．31
答案：D
【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为，此题，所以最多可分为31个区域.故选：D.
3．(2023·济南中学高三月考）表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为（ ）
A．286B．281C．256D．176
答案：C
【解析】由题意可得表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况有2种，
所以从13个点中可以构成三角形的个数为个．故选C．
4. (2023·北京丰台区·高三期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）
A．21B．28C．42D．56
答案：B
【解析】线段由个端点组成，因此只需要从个点中选取个即可构成一条线段，
所以线段条数为，故选：B.
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
1.(2023·浙江模拟）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．72B．48C．36D．24
答案：A
【解析】由图知： 两组颜色可以相同，
若涂4种颜色： 颜色相同，则4种选一种涂 有 ，余下3种颜色涂3个区域有 ，共 种，同理 颜色相同也有24种；
若涂3种颜色，则 、 分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有 种，再所选3种中选一种涂5有 种，余下2种颜色涂 、 个区域有 ，共有 种；
综上，共有72种.故答案为：A
2.(2023·全国高三课时练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．180B．192C．300D．420
答案：D
【解析】
如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，
若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有种情况；则一共有种情况
故选：D．
3．(2023·江西·景德镇一中月考）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）
A．96种B．72种C．48种D．24种
答案：A
【解析】依题意可知，将区域标号如图，
用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有种。故答案为：A
4. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）如图所示是由一个圆､一个三角形和一个长方形构成的图形，现有红､蓝两种颜色随意为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有：（红，蓝，蓝），（红，蓝，红），（红，红，蓝），（红，红，红），（蓝，蓝，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（蓝，红，红），共个基本事件.
相邻两个图形颜色不相同的情形为：（红，蓝，红），（蓝，红，蓝），共2个基本事件，
所以所求的概率为，
故选：C.
5. (2023·全国·高三课时练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120种B．720种C．840种D．960种
答案：D
【解析】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
若同色，有4种颜色可选；
若同色，有4种颜色可选；
若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种．
法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；
当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，
∴共有种涂色方法.
故选：D.
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
1.(2023·浙江模拟）三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____.
答案：
【解析】由,则
设，则且，
则三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数等价于,的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，
又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有种分法，即三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有个，
故答案为：.
2.(2023·全国高三课时练习）不定方程的非负整数解的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程的非负整数解的个数为.故选：C.