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高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.4排列、组合中的10大技巧(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.4排列、组合中的10大技巧(精讲)(原卷版+解析)，共30页。
【知识储备】
1.排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
2.组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
3. 解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素、位置优先法．
(2)相邻问题捆绑法．
(3)不相邻问题插空法．
(4)定序问题倍缩法．
(5)分排问题直排法．
(6)环排问题直排法
(7)至多、至少问题正难则反法
(8)不同元素平均分组倍除法
(9)相同元素分组分配隔板法
(10)“小集团”排列问题先整体后局部法．
【题型精讲】
【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
方法技巧 排列问题常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【题型精练】
1. (2023·华师大二附中高三期中）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
2．(2023·全国高三课时练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
3．(2023·全国高三课时练习）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
例2 (2023·云南师大附中高三模拟）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8B．12C．16D．20
2. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
例3 (2023·青岛二中高三课时练习）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2.(2023·广东高三模拟）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．36种B．40种C．44种D．48种
3. (2023·浙江高三模拟）现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
必备技巧 分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
例4 (2023·福建泉州科技中学月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
例5 (2023·湖北车城高中高三月考）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰 ､ 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 ､ 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（ ）
A．9B．18C．19D．20
2.(2023·济北中学高三月考）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
例6 (2023福建省部分名校高三联合测评）如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480B．1468C．1516D．1492
2．(2023·济南中学高三月考）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A．70B．64C．58D．52
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
例7 (2023·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江西·景德镇一中月考）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780B．840C．900D．960
3. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种B．1440种C．2880种D．4320种
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
例8 (2023·浙江模拟）方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）方程的正整数解的个数__________.
9.4 排列、组合中的10大技巧
【题型解读】
【知识储备】
1.排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
2.组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
3. 解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素、位置优先法．
(2)相邻问题捆绑法．
(3)不相邻问题插空法．
(4)定序问题倍缩法．
(5)分排问题直排法．
(6)环排问题直排法
(7)至多、至少问题正难则反法
(8)不同元素平均分组倍除法
(9)相同元素分组分配隔板法
(10)“小集团”排列问题先整体后局部法．
【题型精讲】
【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
方法技巧 排列问题常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
答案：(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
【题型精练】
1. (2023·华师大二附中高三期中）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)
【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；
(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；
(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法.
2．(2023·全国高三课时练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
答案：
【解析】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种故答案为：.
3．(2023·全国高三课时练习）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
4. (2023·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
答案：A
【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，故答案为：A.
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
例2 (2023·云南师大附中高三模拟）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)
用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，
所以可组成个五位数.
(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.
(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，
所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;
若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.
所以根据分类计数原理，共可组成
个无重复数字的且是3的倍数的三位数.
(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，
所以可组成个无重复数字的五位奇数.
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8B．12C．16D．20
答案：D
【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为： ．
故答案为：D．
2. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
答案：（1）24（2）96（3）48
【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位､十位，有 种情况，
则有 个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2､3､4､5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位､十位､个位，有 种情况，
则有 个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有 种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有 种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有 种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有 个符合题意的五位数.
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
例3 (2023·青岛二中高三课时练习）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
答案：（1）120 （2）246 （3）196 （4）191
【解析】(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有Ceq \\al(3,6)种选法；
第二步，选2名女运动员，有Ceq \\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq \\al(3,6)· Ceq \\al(2,4)＝120(种)选法．
(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,6)＝246(种)．
方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,6)＝246(种)．
(3)方法一 (直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为Ceq \\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq \\al(4,8)；
“男、女队长都入选”的选法种数为Ceq \\al(3,8)，所以共有2Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(3,8)＝196(种)选法．
方法二 (间接法)从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，
其中不选队长的方法有Ceq \\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,8)＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq \\al(4,9)＋Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)＝191(种)．
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
答案：（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2.(2023·广东高三模拟）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．36种B．40种C．44种D．48种
答案：B
【解析】根据题意，将9个数分为2组，
一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，
若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：
①取出的3个数全部为奇数，有种情况，
②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有种情况，
则和为奇数的情况有种.
故选：B.
3. (2023·浙江高三模拟）现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
答案：1220
【解析】由题可知，分配方式可分为以下情况：
甲分2本，乙分4本，则有种，
甲分3本，乙分3本，则有种，
甲分4本，乙分2本，则有种，
甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有种，
则不同的分配方案共有种.
故答案为：1220.
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
必备技巧 分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
例4 (2023·福建泉州科技中学月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
答案：（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30
【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.
（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).
（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法.
例5 (2023·湖北车城高中高三月考）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
答案：（1）240（2）1560（3）10（4）2160
【解析】（1）解：从5个不同的小球中任取 个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，
共有 种
（2）解：若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，
若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，
所以共有 种
（3）解：等价于2个相同的元素填入四个不同的空位，共有 种
（4）解：从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有 种，
另外三个盒子中，小球的个数可能为：① ，② ，③ ，
若为①，则共有 种；
若为②，则共有 种；
若为③，则共有 种，
所以一共有 种.
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰 ､ 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 ､ 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（ ）
A．9B．18C．19D．20
答案：B
【解析】依题意 小组“冰墩墩”可能有1个或2个，
① 小组有1个“冰墩墩”，则有 种分配方法；
② 小组有2个“冰墩墩”，则有 种分配方法；
综上可得一共有 种分配方法；故答案为：B
2.(2023·济北中学高三月考）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
答案：(1）24（2）144（3）8（4）12
【解析】（1）解：根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；
（2）解：先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；
（3）解：考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，
因此，所求放法种数为（种）；
（4）解：按两步进行，空盒编号有4种情况，
然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，
则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
例6 (2023福建省部分名校高三联合测评）如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.故选：B.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480B．1468C．1516D．1492
答案：B
【解析】因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，
从中任选两个，共有种情况，
因为平行六面体有六个面,六个对角面，
从8个顶点中4点共面共有12种情况，
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.
2．(2023·济南中学高三月考）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A．70B．64C．58D．52
答案：C
【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个，
不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个，
∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C.
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
例7 (2023·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
答案：A
【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：A．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有种涂法，故基本事件总数，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有种涂法，这一共有种涂法，
所求概率为．故选：A．
2．(2023·江西·景德镇一中月考）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780B．840C．900D．960
答案：D
【解析】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
3. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种B．1440种C．2880种D．4320种
答案：D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
例8 (2023·浙江模拟）方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
答案：A
【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，故选：A.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）方程的正整数解的个数__________.
答案：
【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．故答案为：
【知识储备】
1.排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
2.组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
3. 解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素、位置优先法．
(2)相邻问题捆绑法．
(3)不相邻问题插空法．
(4)定序问题倍缩法．
(5)分排问题直排法．
(6)环排问题直排法
(7)至多、至少问题正难则反法
(8)不同元素平均分组倍除法
(9)相同元素分组分配隔板法
(10)“小集团”排列问题先整体后局部法．
【题型精讲】
【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
方法技巧 排列问题常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
【题型精练】
1. (2023·华师大二附中高三期中）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
2．(2023·全国高三课时练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
3．(2023·全国高三课时练习）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
4. (2023·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
例2 (2023·云南师大附中高三模拟）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8B．12C．16D．20
2. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
例3 (2023·青岛二中高三课时练习）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2.(2023·广东高三模拟）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．36种B．40种C．44种D．48种
3. (2023·浙江高三模拟）现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
必备技巧 分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
例4 (2023·福建泉州科技中学月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
例5 (2023·湖北车城高中高三月考）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰 ､ 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 ､ 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（ ）
A．9B．18C．19D．20
2.(2023·济北中学高三月考）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
例6 (2023福建省部分名校高三联合测评）如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480B．1468C．1516D．1492
2．(2023·济南中学高三月考）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A．70B．64C．58D．52
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
例7 (2023·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江西·景德镇一中月考）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780B．840C．900D．960
3. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种B．1440种C．2880种D．4320种
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
例8 (2023·浙江模拟）方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）方程的正整数解的个数__________.
9.4 排列、组合中的10大技巧
【题型解读】
【知识储备】
1.排列与排列数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
（2）排列数的公式：．
特例：当时，；规定：．
（3）排列数的性质：
①；②；③．
（4）解排列应用题的基本思路：
通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．
注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．
2.组合与组合数
（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；
根据分步计数原理，得到；
因此．
这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：．
（3）组合数的主要性质：①；②．
（4）组合应用题的常见题型：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
3. 解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素、位置优先法．
(2)相邻问题捆绑法．
(3)不相邻问题插空法．
(4)定序问题倍缩法．
(5)分排问题直排法．
(6)环排问题直排法
(7)至多、至少问题正难则反法
(8)不同元素平均分组倍除法
(9)相同元素分组分配隔板法
(10)“小集团”排列问题先整体后局部法．
【题型精讲】
【题型一 10大技巧在排队问题中的应用】
方法技巧 排列问题常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
例1 (2023·华师大二附中高三练习） 有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体站成一排，女生互不相邻；
(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
(5)男生顺序已定，女生顺序不定；
(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；
(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．
答案：(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有（种）．
（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有种排法．故排法共有（种）．
（3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有种排法，故排法共有（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有种排法，其他位置有种排法，故排法共有（种）．
（4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有种排法．故排法共有（种）．方法二 7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边时，有种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，故排法共有（种）．
（5）7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有（种）．
（6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（种）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．故排法共有（种）．
（8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有种排法，甲、乙两人可交换位置，故排法共有（种）．
【题型精练】
1. (2023·华师大二附中高三期中）现有8个人男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
(8)第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)
【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
(2)根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
(3)根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
(4)根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，则甲、乙两人不相邻有种排法；
(5)根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
(6)根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
(7)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
(8)根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，则第3和第6个排男生，有种不同排法；
(9)根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲乙不能排在前3位，有种不同排法；
(10)根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则女生两旁必须有男生，有种不同排法.
2．(2023·全国高三课时练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）
答案：
【解析】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种故答案为：.
3．(2023·全国高三课时练习）十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
4. (2023·汕头模拟）2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
答案：A
【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，故答案为：A.
【题型二 10大技巧在数字问题中的应用】
例2 (2023·云南师大附中高三模拟）用0、1、2、3、4五个数字:
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
答案：(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)
用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，
所以可组成个五位数.
(2)用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.
(3)无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，
所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；
若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;
若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.
所以根据分类计数原理，共可组成
个无重复数字的且是3的倍数的三位数.
(4)由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，
所以可组成个无重复数字的五位奇数.
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）.
A．8B．12C．16D．20
答案：D
【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或者5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8，
数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，
这样组成的无重复数字的三位数个数为： ．
故答案为：D．
2. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；
（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
答案：（1）24（2）96（3）48
【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况，
②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百位､十位，有 种情况，
则有 个三位偶数，
（2）根据题意，分2步进行分析：
①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2､3､4､5，有4种情况，
②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百位､十位､个位，有 种情况，
则有 个符合题意的四位数；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有 种情况，
②将这个整体与其他2个数字全排列，有 种情况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种，
则有 种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况，
故有 个符合题意的五位数.
【题型三 10大技巧在组合问题中的应用】
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
例3 (2023·青岛二中高三课时练习）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．
答案：（1）120 （2）246 （3）196 （4）191
【解析】(1)分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有Ceq \\al(3,6)种选法；
第二步，选2名女运动员，有Ceq \\al(2,4)种选法．由分步计数原理可得，共有Ceq \\al(3,6)· Ceq \\al(2,4)＝120(种)选法．
(2)方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,6)＝246(种)．
方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．
从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq \\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法有Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,6)＝246(种)．
(3)方法一 (直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为Ceq \\al(4,8)；“只有女队长”的选法种数为Ceq \\al(4,8)；
“男、女队长都入选”的选法种数为Ceq \\al(3,8)，所以共有2Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(3,8)＝196(种)选法．
方法二 (间接法)从10人中任选5人有Ceq \\al(5,10)种选法，
其中不选队长的方法有Ceq \\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法有Ceq \\al(5,10)－Ceq \\al(5,8)＝196(种)．
(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq \\al(4,9)种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有Ceq \\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq \\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有(Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5))种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有Ceq \\al(4,9)＋Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,5)＝191(种)．
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
答案：（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，
所以甲、乙两组的比例是，
又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；
（Ⅱ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，
所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；
（Ⅲ）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，
所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．
2.(2023·广东高三模拟）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）
A．36种B．40种C．44种D．48种
答案：B
【解析】根据题意，将9个数分为2组，
一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，
若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：
①取出的3个数全部为奇数，有种情况，
②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有种情况，
则和为奇数的情况有种.
故选：B.
3. (2023·浙江高三模拟）现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
答案：1220
【解析】由题可知，分配方式可分为以下情况：
甲分2本，乙分4本，则有种，
甲分3本，乙分3本，则有种，
甲分4本，乙分2本，则有种，
甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有种，
则不同的分配方案共有种.
故答案为：1220.
【题型四 10大技巧在分组分配问题中的应用】
必备技巧 分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
例4 (2023·福建泉州科技中学月考）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
答案：（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30
【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.
（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.
（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.
（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).
（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.
（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).
（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (种)选法.
例5 (2023·湖北车城高中高三月考）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）
（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
答案：（1）240（2）1560（3）10（4）2160
【解析】（1）解：从5个不同的小球中任取 个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，
共有 种
（2）解：若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，
若四个盒子中小球的个数为： ，则共有 种，
所以共有 种
（3）解：等价于2个相同的元素填入四个不同的空位，共有 种
（4）解：从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有 种，
另外三个盒子中，小球的个数可能为：① ，② ，③ ，
若为①，则共有 种；
若为②，则共有 种；
若为③，则共有 种，
所以一共有 种.
【题型精练】
1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰 ､ 两个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物，平均分配给 ､ 两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6个吉祥物的分配方法种数为（ ）
A．9B．18C．19D．20
答案：B
【解析】依题意 小组“冰墩墩”可能有1个或2个，
① 小组有1个“冰墩墩”，则有 种分配方法；
② 小组有2个“冰墩墩”，则有 种分配方法；
综上可得一共有 种分配方法；故答案为：B
2.(2023·济北中学高三月考）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
答案：(1）24（2）144（3）8（4）12
【解析】（1）解：根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；
（2）解：先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；
（3）解：考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，
因此，所求放法种数为（种）；
（4）解：按两步进行，空盒编号有4种情况，
然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，
则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.
【题型五 10大技巧在几何问题中的应用】
例6 (2023福建省部分名校高三联合测评）如图，的边上有四点、、、，上有三点、、，则以、、、、、、、中三点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】利用间接法，先在个点中任取个点，再减去三点共线的情况，
因此，符合条件的三角形的个数为.故选：B.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480B．1468C．1516D．1492
答案：B
【解析】因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，
从中任选两个，共有种情况，
因为平行六面体有六个面,六个对角面，
从8个顶点中4点共面共有12种情况，
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.
2．(2023·济南中学高三月考）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A．70B．64C．58D．52
答案：C
【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个，
不能组成四面体的4个顶点有：已有的6个面，对角面:有6个，共12个，
∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70−12=58个.故答案为C.
【题型六 10大技巧在染色问题中的应用】
例7 (2023·浙江模拟）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96B．144C．240D．360
答案：A
【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：A．
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有种涂法，故基本事件总数，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有种涂法，这一共有种涂法，
所求概率为．故选：A．
2．(2023·江西·景德镇一中月考）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ）
A．780B．840C．900D．960
答案：D
【解析】先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为．
故选：D.
3. (2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．720种B．1440种C．2880种D．4320种
答案：D
【解析】根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
【题型七 10大技巧在方程问题中的应用】
例8 (2023·浙江模拟）方程的正整数解共有（ ）组
A．165B．120C．38D．35
答案：A
【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，故选：A.
【题型精练】
1.(2023·全国高三课时练习）方程的正整数解的个数__________.
答案：
【解析】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．共有种．故答案为：
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