高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.10统计概率和其他专题综合(精讲)(原卷版+解析)，共30页。


【题型精讲】
【题型一 统计概率和函数综合】
例1 (2023·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
例2 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中．
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
【题型精练】
1. (2023·贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.
2．(2023·全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
【题型二 统计概率和导数综合】
例3 (2023·四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
例4 (2023·武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
2. (2023·临沂二模）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．
（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为p（），且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．
【题型三 统计概率和数列综合】
例5 (2023·唐山二模）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
例6 (2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
2.(2023·广东高三模拟）《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.
某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下
（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;
（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).
综合得分的范围
减排器等级
减排器利润率
一级品
二级品
三级品
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
成绩
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
4
2
4
3
3
3
2
7
9.10 统计概率和其他专题综合
【题型解读】
【题型精讲】
【题型一 统计概率和函数综合】
例1 (2023·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于 份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验 次.二是混合检验，将 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这 份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 份血液检验的次数共为 次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为 ，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若 ，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
答案：见解析
【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是 ，
根据对立事件可得，阳性的概率为
（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为 ，则 的可能取值为
，其分布列为:
则 ，
方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为 ，若阳性，则检测次数,4，概率为 ，
方案二的检验次数记为 ，则 的可能取值为 ，
;
其分布列为:
则 ，
，
当 或 时，可得 ，所以方案一更“优”
当 或 时，可得 ，所以方案一、二一样“优”
当 时，可得 ，所以方案二更“优”.
例2 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：
减排器等级及利润率如下表，其中．
（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？
答案：（1）；（2）①二级品数的分布列见详解，；②投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【解析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，
甲型号减排器中的一级品的概率为，
分层抽样的方法抽取10件，
则抽取一级品为（件）
则至少有2件一级品的概率，
；
（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，
乙型号减排器中的一级品的概率为，
二级品的概率，
三级品的概率为，
若从乙型号减排器随机抽取3件，
则二级品数所有可能的取值为，且，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望：
；
②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：
；
乙型号减排器的利润的平均值：
；
，又，
则，
所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.
【题型精练】
1. (2023·贵州省思南中学高三月考）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）用表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量，
由题意可知：.
答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.
（2）方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.
∴，，
∴.
方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则.
∴，，，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴的取值范围.
2．(2023·全国高三课时练习）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从 移动到 或 .
（1）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.
（2）若棋盘的右上角为 ，马从 处出发，每一步仅向 方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段 上次数 的数学期望.
答案：见解析
【解析】（1）解：从 出发4步以内到达 且不出棋盘的走法共有8种，其中 种为：
另外4种与以上4种关于直线 对称.
对于以上4种，记第 种路线的概率为 ，则：
， ，
， .
因此总概率为 .
（2）解：设马有 步从 走到 ， 步走到 .
则 ，解得 .
即马共走了 步，总路径数为
路径上经过的点可能在线段上的有 ，共5个.
因此 .
因此 ， ，
， ，
.
所以马停留在线段 上次数 的分布列为：
因此 的数学期望 .
【题型二 统计概率和导数综合】
例3 (2023·四川模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
（1）若，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望；
（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
答案：见解析
【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，
则，，，
随机变量X的分布列如下：
则
（2）解：甲队只胜一场的概率为，
则．
故当时，，递增；
当时，，递增；
则
例4 (2023·武昌模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为B.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
答案：见解析
【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）解：①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
【题型精练】
1．(2023·石家庄模拟）某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人数占男性病人的，女性患型病的人数占女性病人的.
（1）若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次花费元，每个周期接种次，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附：，
答案：（1）；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【解析】（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
∵，，的最小整数值为，因此，男性患者至少有人；
（2）设甲研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、、，
，，
，
，
在递减，，
设乙研发团队试验总花费为元，则的可能取值为、，
，，
，
设，，
函数在递减，，恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
2. (2023·临沂二模）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．
（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为p（），且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．
答案：（1）分布列见解析，；（2）该预算合理，理由见解析.
【解析】（1）记事件A：一台机器被评定为不合格，则，
题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4．
由题意得：，
所以，
，，
，，
．
故随机变量X的分布列为：
从而．
（2）该预算合理．理由如下：
设每台仪器用于评估和维修的费用为元，则的可能取值为，．
，．
所以，
化简得，
令，
，
令解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
所以当时，的最大值为．
实施此方案，100台抽检仪器的费用期望值最高为元元，因此该预算合理．
【题型三 统计概率和数列综合】
例5 (2023·唐山二模）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：
依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
答案：(1)喜爱足球运动与性别有关
(2)（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大
【解析】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）
（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故．
（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列．
则，
∴，，
，故第19次触球者是甲的概率大
例6 (2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项公式．
答案：见解析
【解析】（1）记一轮踢球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， ， 相互独立．
由题意 ， ，甲的得分 的可能取值为 ，0，1．
，
．
，
∴X的分布列为：
．
（2）①由（1） ，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分．
∴ ，
②∵规定 ，且有 ，
∴ 代入得： ，
∴ ，∴数列 是等比数列，
公比为 ，首项为 ，∴ ．
∴
【题型精练】
1．(2023·高三课时练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1·q1和p2·q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．
答案：（1）（2）
【解析】（1），
，
.
（2），
，
因此，
从而，
即.
又的分布列为
故.
2.(2023·广东高三模拟）《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.
某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下
（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;
（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注: ).
答案：(1)0.29 (2)见解析
【解析】（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为.
由转换公式，得.
由，得.
显然原始成绩满足的同学有人，获得等级的学生有人，
恰好有名同学的等级分数不小于的概率为：.
（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或的概率为.
学生个数的可能取值为；
，，
，；
其数学期望是：
其中：
①
②
应用错位相减法“①式-②式”得：
故.
1
7
2
5
8
综合得分的范围
减排器等级
减排器利润率
一级品
二级品
三级品
0
1
2
3
1
2
3
4
5
X
0
1
2
3
P
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
z
女
合计
X
0
1
2
3
4
P
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
X
-1
0
1
P

0
1
2




成绩
93
91
90
88
87
86
85
84
83
82
人数
1
1
4
2
4
3
3
3
2
7