2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合P={x|−1A. {x|−12.命题p：∀x∈R，x2+1≥1，则￢p是( )
A. ∀x∈R，x2+1<1B. ∀x∈R，x2+1≥1
C. ∃x∈R，x2+1<1D. ∃x∈R，x2+1≥1
3.已知函数f(x)=|x−1|，则下列函数与f(x)相等的函数是( )
A. g(x)=|x2−1||x+1|B. g(x)=|x2−1||x+1|,x≠−12,x=−1
C. g(x)=x−1,x>01−x,x≤0D. g(x)=x−1
4.若函数y=lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )
A. B.
C. D.
5.设a=(34)0.5,b=(43)0.5,c=lg34(lg34)，则( )
A. c6.命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5
7.已知曲线C：f(x)=x3−ax+a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为( )
A. 278B. −2C. 2D. −278
8.已知函数f(x)=lg2x,x>0lg12(−x),x<0，若af(−a)>0，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)
9.已知函数f(x)=−x+1,x<0x−1,x≥0，则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
A. {x|−1≤x≤ 2−1}B. x|x≤1
C. {x|x≤ 2−1}D. {x|− 2−1≤x≤ 2−1}
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.函数f(x)=1 1−x+lg2(2x−1)的定义域是___ __．
11.已知f(x)=sinx−2x，x∈R，且f(2a)12.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a= ．
13.给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若a>b，则1a<1b；
③若a，b是非零实数，且a④若aab>b2，
其中正确的命题是______．
14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N∗)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为______时，营运的年平均利润最大．
15.已知函数f(x)=|x|,x>0−x2−2x+1,x≤0，若函数g(x)=f(x)+2m有三个零点，则实数m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
求下列各式的值：
(Ⅰ)lg535+2lg12 2−lg5150−lg514；
(Ⅱ)0.75−1×( 32)12×(634)14+10( 3−2)−1+(1300)−12+1614．
17.(本小题10分)
(1)已知0(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=12x3+cx在x=1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(本小题10分)
函数f(x)的定义域为(0,+∞)且对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，当x>1时，有f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)=1，解不等式f(x+5)−f(1x)<2．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=xlnx−x+m(m∈R)．
(1)若y=f(x)的图象恒在x轴上方，求m的取值范围；
(2)若存在正数x1，x2(x12．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：集合P={x|−1那么P∪Q={x|−1故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：因为命题p：∀x∈R，x2+1≥1，
则￢p：∃x∈R，x2+1<1．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=|x−1|的定义域为R，
选项A：g(x)=|x2−1||x+1|的定义域为{x|x≠−1}，
选项B：g(x)=|x2−1||x+1|,x≠−12,x=−1=|x−1|，且定义域也为R，故相等；
选项C：g(x)=x−1,x>01−x,x≤0与f(x)的对应关系不同；
选项D：g(x)=x−1的对应关系与其不同．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知图象过(3,1)，
故有1=lga3，解得a=3，
选项A，y=a−x=3−x=(13)x单调递减，故错误；
选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；
选项C，y=(−x)3=−x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D，y=lga(−x)=lg3(−x)，当x=−3时，y=1，
但图象明显当x=−3时，y=−1，故错误．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：0<(34)0.5<1，(43)0.5>1，
∵lg34>1，∴lg34(lg34)<0，
即01，c<0，
∴c故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1,2]，a≥x2，恒成立，
即只需a≥(x2)max=4，即“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：由f(x)=x3−ax+a，得f′(x)=3x2−a，
设切点为(x0,x03−ax0+a)，
∴f′(x0)=3x02−a，
∴过切点的切线方程为y−x03+ax0−a=(3x02−a)(x−x0)，
∵切线过点A(1,0)，
∴−x03+ax0−a=(3x02−a)(1−x0)，
解得：x0=0或x0=32．
∴f′(0)=−a，f′(32)=274−a，
由两切线倾斜角互补，得
−a=a−274，
∴a=278．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：作出函数f(x)=lg2x,x>0lg12(−x),x<0的图象，如图所示：
因为af(−a)>0，
所以a>0f(−a)>0或a<0f(−a)<0，
即a>0lg12a>0或a<0lg2(−a)<0
解得0故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：依题意得x+1<0x+(x+1)(−x)≤1或x+1≥0x+(x+1)x≤1
所以x<−1x∈R或x≥−1− 2−1≤x≤ 2−1⇒x<−1或−1≤x≤ 2−1⇒x≤ 2−1
故选C．
10.【答案】 (12,1)
【解析】
解：欲使函数f(x)有意义，须有
解得12所以函数f(x)的定义域为(12,1)．
故答案为(12,1)．
11.【答案】(−1,+∞)
【解析】解：根据题意，f(x)=sinx−2x，其导数f′(x)=csx−2，
又由csx≤1，则必有f′(x)=csx−2<0，
即函数f(x)在R上为减函数，
若f(2a)a−1，
解可得a>−1，即a的取值范围(−1,+∞)；
故答案为：(−1,+∞)
12.【答案】−32
【解析】解：若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，
则f(−x)=f(x)，
即ln(e3x+1)+ax=ln(e−3x+1)−ax，
即2ax=ln(e−3x+1)−ln(e3x+1)
=ln(e−3x+1e3x+1)=lne−3x(1+e3x)1+e3x=lne−3x=−3x，
即2a=−3，解得a=−32，
故答案为−32．
13.【答案】③④
【解析】解：①若a>b，取c=0，则ac2=0，bc2=0，则ac2>bc2不成立；
②若a>b，取a=1，b=−2，1a=1，1b=−12，1a>1b，则1a<1b不成立；
③∵a，b是非零实数，且a∴a−b<0，a2b2>0．
∴1ab2−1a2b=a−ba2b2<0．
则1ab2<1a2b成立；
④∵a∴a<0，b<0，a−b<0．
∴a2−ab=a(a−b)>0，
ab−b2=b(a−b)>0，
则a2>ab>b2成立．
故答案为：③④．
14.【答案】5
【解析】解：由题意设，y=a(x−6)2+11，
则a(4−6)2+11=7，
所以a=−1，y=−(x−6)2+11，
则yx=12−(x+25x)≤12−2 25=2，当且仅当x=25x，即x=5时取等号．
故答案为：5．
15.【答案】(−1,−12]
【解析】解：令g(x)=0，
∴f(x)=−2m，
画出函数f(x)的图象，如图示：
，
∴需满足1≤−2m<2即可，
解得：−1故答案为：(−1,−12].
16.【答案】解：(Ⅰ)原式=lg535+lg550−lg514+2lg12212=lg535×5014+lg122=lg553−1=2；
(Ⅱ)原式=43×( 32)12×(3 32)12+10×1 3−2+(13)−12×10+2=43×( 32×3 32)12−10×(2+ 3)+10 3+10 3+2
=2−20+2=−16．
17.【答案】解：(1)∵0(2)∵点(x,y)在直线x+2y=3上移动，
∴2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y=2 23=4 2，当且仅当x=2y=32时取等号．
∴2x+4y的最小值为4 2．
【解析】(1)0(2)由点(x,y)在直线x+2y=3上移动，可得2x+4y≥2 2x⋅4y=2 2x+2y，即可得出．
18.【答案】解：(1)f′(x)=32x2+c，当x=1时，f(x)取得极值，
则f′(1)=0，即32+c=0，得c=−32.故f(x)=12x3−32x.
(2)f′(x)=32x2−32=32(x2−1)=32(x−1)(x+1)，
令f′(x)=0，得x=−1或1．
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，f(x)的极大值为f(−1)=1，极小值为f(1)=−1．
【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)，求出c的值，从而求出f(x)的解析式即可；
(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
19.【答案】解：(1)∵对一切x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)−f(y)，
∴令x=y=1.则f(1)=f(1)−f(1)=0；
(2)f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数．
理由如下：令01，当x>1时，有f(x)>0．
∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
则f(x)在定义域(0,+∞)上递增；
(3)若f(6)=1，则f(6)=f(366)=f(36)−f(6)，f(36)=2f(6)=2，
∴f(x+5)−f(1x)<2即f[x(x+5)]∵f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数，
∴x(x+5)<36，且x+5>0,1x>0，
∴x>0且−9∴0故原不等式的解集为(0,4)．
【解析】(1)由条件只要令x=y=1，即可得到f(1)=0；
(2)令01，当x>1时，有f(x)>0.f(x2x1)>0，再由条件即可得到单调性；
(3)由f(6)=1，求出f(36)=2f(6)=2，f(x+5)−f(1x)<2即f[x(x+5)]20.【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，
当0当x>1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
因此，当x=1时，f(x)min=f(1)=m−1，
因为y=f(x)的图象恒在x轴上方，
所以f(x)>0恒成立
则f(x)min>0，即m−1>0，解得m>1，
所以m的取值范围为(1,+∞)；
(2)证明：由(1)及f(x)的单调性可知，0构造函数g(x)=f(x)−f(2−x)，0则g′(x)=lnx+ln(2−x)=ln[1−(x−1)2]，
当0所以g(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为x1<1，所以g(x1)>g(1)=0，即f(x1)>f(2−x1)，
由题意f(x2)=f(x1)，所以f(x2)>f(2−x1)，
因为f(x)在(1,+∞)，且单调递增，x2>1，2−x1>1，
所以x2>2−x1，即x1+x2>2．
【解析】(1)求出f(x)的定义域，求出f′(x)，将问题转化为求解函数f(x)的最小值，通过导函数的正负确定函数f(x)的单调性，然后求出函数f(x)的最小值，即可得到答案；
(2)利用(1)中的结论，得到0f(2−x1)，从而f(x2)>f(2−x1)，再利用f(x)的单调性，即可证明．x
(−∞,−1)
−1
(−1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

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