2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，则P(2A. 0.02B. 0.03C. 0.07D. 0.08
2.已知一个圆锥底面半径为5cm，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. 1cmB. 2.5cmC. 5cmD. 10cm
3.已知函数f(x)=x2，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=( )
A. 1B. 2C. 4D. 6
4.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为( )
A. 24B. 36C. 72D. 144
5.函数f(x)=csx+12x，x∈[−π2,π2]的单调增区间为( )
A. [−π2,π6]B. [π6,π2]C. [−π2,π4]D. [π4,π2]
6.在三棱锥O−ABC中，已知BE=23BC，G是线段AE的中点，则OG=( )
A. 12OA+13OB+16OCB. 16OA+12OB+13OC
C. 13OA+16OB+12OCD. 12OA+16OB+13OC
7.已知函数f(x)=x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−2，则实数m的最大值为( )
A. 3B. 6C. 2 3D. 2 6
8.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球.先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为Ai(i=0,1,2)，“从乙箱中取出的球是黑球”为B，则( )
A. P(A0)=13B. P(B|A1)=56C. P(B)=59D. P(A2|B)=18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则( )
A. a0=1 B. a1=−5
C. a0+a2+a4=121 D. |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35
10.在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若l//m，m⊂β，则l//β
B. 若m⊥l，m⊥α，l⊥β，则α⊥β
C. 若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β
D. 若m//α，m//β，α∩β=l，则m//l
11.已知函数f(x)=x+a(1−ex)，则下列说法正确的有( )
A. 曲线y=f(x)恒过定点B. 若a=1，则f(x)的极小值为0
C. 若a<0，则f(x)2，则f(x)的最大值大于2−a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温(单位：℃)之间有如下数据：
由表中数据可得回归方程y =ax+b中a=−1.试预测当天平均气温为−3.2℃时，小吃店的日盈利约为______百元．
13.设随机变量X～B(2,p)，且P(X=0)=116，则p= ______；若Y=2X−1，则Y的方差为______．
14.已知六棱锥的底面是边长为1正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为2 3，则其外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1．
(1)求证：A1C⊥平面ABC1；
(2)求直线A1B与AC1所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下2×2列联表：
(1)能否有99%的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关？
(2)在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为X，求X的分布列．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−x，g(x)=ax2−2ax，a>0．
(1)设曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，若l与曲线y=g(x)相切，求a；
(2)设函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，讨论ℎ(x)的单调性．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=3，PD=AB=BC=6.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．
(1)求证：AD//EF；
(2)若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；
(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d12+d22的最小值．
19.(本小题17分)
箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共N个，其中红球的个数为n(n>1)，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，…，N，直到箱子中的球被摸完为止．
(1)求2号球为红球的概率(用N与n表示)；
(2)若N=11，n=5，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X)；
(3)若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被摸完(红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余)的概率．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由于随机变量X～N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，所以P(2故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：设圆锥母线长为l，展开图中，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
即2π×5=π×l，
解得l=10．
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：由题意Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=f′(2)，
因为f(x)=x2，
所以f′(x)=2x，
即f′(2)=4，
所以则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=4．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以A32种排法，
其他4个节目有A44种排法，
所以不同播出方案的种数为A32A44=6×24=144．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=csx+12x，x∈[−π2,π2]，
∴f′(x)=−sinx+12≥0，
即sinx≤12，−π2≤x≤π6．
单调增区间为[−π2,π6]．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：连接OE，因为G是线段AE的中点，所以OG=12OA+12OE，
因为BE=23BC，
所以OE=OB+BE=OB+23BC=13OB+23OC；
所以OG=12OA+12OE=12OA+12⋅(13OB+23OC)=12OA+16OB+13OC．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：假设x1>x2，∵f(x1)−f(x2)x1−x2>−2，
∴f(x1)−f(x2)>−2(x1−x2)，f(x1)+2x1>f(x2)+2x2，
设t(x)=f(x)+2x，∀x1，x2∈R，x1>x2，t(x1)>t(x2)，y=t(x)单调递增，
t(x)=x3+mx2+2x，t′(x)=3x2+2mx+2≥0恒成立，
∴Δ=4m2−4×3×2≤0，m2≤6，即可得− 6≤m≤ 6．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：甲箱中有2个红球和2个黑球，则P(A0)=C22C42=16，P(A1)=C21C21C42=23，P(A2)=C22C42=16，故A错误；
乙箱中有1个红球和3个黑球，则P(Ai)P(B|A0)=54+2=56，P(B|A1)=44+2=23，P(B|A2)=34+2=12，故B错误；
则P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=16×56+23×23+16×12=23，故C错误；
则P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=16×1223=18，故D正确．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】解：令f(x)=(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，
则f(0)=a0=1，故A正确；
又a1=C51×(−2)=−10，故B错误
又f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5=−1，①
f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，②
①+②，得2(a0+a2+a4)=243−1=242，
∴a0+a2+a4=121，故C正确；
又|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0−a1+a2−a3+a4−a5=f(−1)=35，故D正确．
故选：ACD．
令f(x)=(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，分别求得f(0)，f(−1)，f(1)即可作出判断．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，若l//m，m⊂β，则l//β或者l⊂β，故A错误；
对于B，可以用法向量来思考．l，m所在的方向取α，β的法向量，法向量垂直可推出面面垂直．故B正确；
对于C，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊂β，l//β，或者相交，故C错误；
对于D，过直线m分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为m//α，过直线m的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知m//s，
同理可得m//t，则s//t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s//平面β，
因为s⊂平面α，α∩β=l，则s//l，又因为m//s，则m//l，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，令x=0，可得f(0)=0，所以曲线y=f(x)恒过(0,0)，故A正确；
对于B，当a=1时，f(x)=x−ex+1，则f′(x)=1−ex，
令f′(x)=1−ex=0，解得：x=0，当x<0时，f′(x)>0，则f(x)在(−∞,0)上单调递增；
当x>0时，f′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)=0，
故B不正确；
对于C，f′(x)=1−aex，当a<0，则f′(x)=1−aex>0，所以f(x)在R上单调递增，
又x2+1−x=(x−12)2+34>0，即x2+1>x，则f(x)对于D，当a>2时，由f′(x)=1−aex=0，解得：x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，当x>−lna，f′(x)<0，
则f(x)在(−lna,+∞)上单调递减，
所以f(x)max=f(−lna)=−lna+a(1−e−lna)=−lna+a−1，
令g(a)=−lna+a−1(a>2)，则g′(a)=−1a+1，
所以当a>2时，g′(a)=−1a+1>0，则g(a)在(2,+∞)上单调递增，
所以g(a)>g(2)=1−ln2，即f(x)的最大值大于1−ln2，
而ln2<1，故1−ln2>0，即f(x)max>1−ln2>0>2−a，所以D正确．
故选：ACD．
12.【答案】6
【解析】解：由已知数据x−=−2−1+0+1+25=0，y−=5+4+2+2+15=2.8，
因为a=−1，则y =−x+b，代入(0,2.8)，得b=2.8，
则y =−x+2.8，令x=−3.2，则y =−(−3.2)+2.8=6．
故答案为：6．
13.【答案】34 32
【解析】解：(1)X～B(2,p)，
则P(X=k)=C2kpk(1−p)2−k，
则P(X=0)=116=C20p0(1−p)2，解得p=34；
(2)X～B(2,p)，由(1)得X～B(2,34)，
则D(X)=npq=2×34×14=38．
Y=2X−1，则D(Y)=4D(X)=4×38=32．
故答案为：34；32．
14.【答案】289π16
【解析】解：根据几何知识可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，
因为底面正六边形的边长为1，
所以底面外接圆的半径为1，六棱锥的底面积S=6×12×1×1×sin60°=3 32，
设六棱锥的高为ℎ，所以V=13Sℎ=2 3，即13×3 32ℎ=2 3，解得ℎ=4．
设外接球的半径为R，可得R2=12+(4−R)2，
得R=178，
故球O的表面积为4πR2=4π×(178)2=289π16．
故答案为：289π16．
15.【答案】(1)证明：由直棱柱可得：平面ABC⊥平面A1C1CA，平面ABC∩平面A1C1CA=AC，
AB⊥AC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面A1C1CA，A1C⊂平面A1C1CA，
所以AB⊥A1C，
又因为AC=AA1，即四边形A1C1CA为正方形，
所以A1C⊥AC1，
又因为AB∩AC1=A，
所以A1C⊥平面ABC1；
(2)由(1)可设以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，

设AB=1，则AB=AC=AA1=1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，A1(0,0,1)，
所以A1C=(0,1,−1),AB=(1,0,0),AC1=(0,1,1)，
由(1)知，A1B=(1,0,−1),AC1=(0,1,1)，
所以|A1B|= 2,|AC1|= 2,A1B⋅AC1=−1，
记直线A1B与AC1所成角为θ，
则csθ=|cs〈A1B,AC1〉|=|A1B⋅AC1||A1B||AC1|=12，
故直线A1B与AC1所成角的余弦值为12．
【解析】(1)由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面A1C1CA，AB⊥A1C，由题意可知四边形A1C1CA为正方形，可知A1C⊥AC1，进而可证得结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
16.【答案】解：(1)零假设H0：喜欢山地自行车项目和性别无关，
由题可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30(12×8−6×4)2(12+4)(12+6)(4+8)(6+8)=4514≈3.214<6.635，
由小概率值α=0.01的独立性检验，可判断H0成立，
即没有99%的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关；
(2)由题可得男性的人数X可能取值为：0，1，2，3，
P(X=0)=C43C163=4560=1140，
P(X=1)=C121C42C163=72560=970，
P(X=2)=C122C41C163=264560=3370，
P(X=3)=C123C163=220560=1128，
所以X的分布列为：
【解析】(1)根据独立性检验计算判断结论；
(2)根据题意求出离散型随机变量可能取值以及对应的概率，列出分布列．
17.【答案】解：(1)f′(x)=1x−1，f′(1)=0，且f(1)=−1，
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y=−1，
则y=−1y=ax2−2ax，得ax2−2ax+1=0，
因为y=−1与g(x)=ax2−2ax相切，
所以Δ=4a2−4a=0，得a=0(舍)或a=1；
(2)ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx−x+ax2−2ax=lnx+ax2−(2a+1)x的定义域为(0,+∞)，
则ℎ′(x)=1x+2ax−(2a+1)=2ax2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x，
因为a>0，
令ℎ(x)=0，得x=1或x=12a，
当01，当x∈(0,1和(12a,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，
当x∈(1,12a)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，
当a>12时，12a<1，
所以当x∈(0,12a)和(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，当x∈(12a,1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，
当a=12时，ℎ′(x)≥0，当x=1时取等号，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
综上所述，0a=12时，ℎ(x)的单调增区间为(0,+∞)，没有减区间；
a>12时，ℎ(x)的单调增区间为(0,12a)，(1,+∞)，单调减区间为(12a,1)．
【解析】(1)求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，与g(x)=ax2−2ax联立方程组，由Δ=0解得a=1；
(2)先求ℎ(x)的定义域，求导数得，ℎ′(x)=(2ax−1)(x−1)x，对a进行分类讨论，求解即可．
18.【答案】解：(1)因为AD//BC，BC⊂平面BCEF，AD⊄平面BCEF，所以AD//平面BCEF．
又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF，所以AD//EF．
(2)取BC中点M，连接DM，如图所示：
因为AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD．
在四边形ABMD中，AD//BM，且AD=BM=3，
所以四边形ABMD为矩形，DM⊥平面PAD．
又在△PDA和△DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD．
所以△PDA≅△DMC(SSS)，所以PD⊥AD，所以DA，DM，DP两两垂直．
以D为原点，分别以DA、DM、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
当E为PA中点时，A(3,0,0)，B(3,6,0)，C(−3,6,0)，P(0,0,6)，E(32,0,3)．
所以AB=(0,6,0)，CB=(6,0,0)，EB=(32,6,−3)．
设平面ABE的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则n⊥ABn⊥EB，即(x1,y1,z1)⋅(0,6,0)=0(x1,y1,z1)⋅(32,6,−3)=0，化简得y1=0x1−2z1=0，取n=(2,0,1)．
设平面BEC的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则n⊥CBn⊥EB，即(x2,y2,z2)⋅(6,0,0)=0(x2,y2,z2)⋅(32,6,−3)=0，化简得x2=02y2−z2=0，取m=(0,1,2)．
所以cs=m⋅n|m||n|=2 5× 5=25．
所以二面角A−BE−C的正弦值为 1−(25)2= 215．
(3)设F(0,0,ℎ)，(0<ℎ<6)，则FM=(0,6,−ℎ)，FA=(3,0,−ℎ)，FP=(0,0,6−ℎ)．
设平面BCE的法向量为k=(x,y,z)，则k⊥CBk⊥FM，即(x,y,z)⋅(6,0,0)=0(x,y,z)⋅(0,6,−ℎ)=0，
化简得x=06y−ℎz=0，取k=(0,ℎ,6)．
则A到平面BCE的距离为d1=|FA⋅k||k|=6ℎ ℎ2+36，
P到平面BCE的距离为d2=|FP⋅k||k|=6(6−ℎ) ℎ2+36，
所以d12+d22=36[ℎ2+(6−ℎ)2]ℎ2+36=36×[2−12(ℎ+3)ℎ2+36]，
设ℎ+3=t，则t∈(3,9)，
所以ℎ+3ℎ2+36=t(t−3)2+36=tt2−6t+45=1t+45t−6≤12 45−6= 5+124(当且仅当t=45t，即t=3 5时取“=”)，
所以d12+d22≥36(2− 5+12)=36(3− 52)=18(3− 5)，
所以d12+d22的最小值为18(3− 5).
【解析】(1)先证AD//平面BCEF，再根据线面平行的性质定理可得AD//EF．
(2)先证DA，DM，DP两两垂直，再以D为原点，建立空间直角坐标系，求平面ABE和平面BEC的法向量，用向量法求二面角的三角函数值．
(3)设F(0,0,ℎ)，求平面BEC的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出d12+d22，再结合不等式求它的最小值．
19.【答案】解：(1)设事件Ai：第i号球为红球，
则P(A2)=P(A1A2)+P(A1−A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=nN⋅n−1N−1+N−nN⋅nN−1=nN；
(2)根据题意，随机变量X的取值为5，6，7，8，9，10，11，
从袋中5个红球和6个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有C115种情况；
则P(X=5)=1C115，P(X=6)=C54C115，P(X=7)=C64C115，P(X=8)=C74C115，
P(X=9)=C84C115，P(X=10)=C94C115，P(X=11)=C104C115，
所以X的分布列为：
E(X)=5C115+6C54C115+7C64C115+8C74C115+9C84C115+10C94C115+11C104C115=10；
(3)根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球．
问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完，
此时的概率为An1A4n−14n−1A4n4n=14，
同理可得，最后一球为白球的概率为An1A4n−14n−1A4n4n=14，
最后一球为黑球的的概率为A2n1A4n−14n−1A4n4n=12，
将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n，n，2n，
按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查；
问题2：发现最后一球是红的概率为A11A33A44=14，最后一球是白球的概率为A11A33A44=14，
最后一球是黑的概率为A21A33A44=12，所以问题1与问题2等价；
不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即A44=24，
记“红球先于白球和黑球被摸完(红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余)”为事件A，
现在对事件A进行分析：
第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有A33=6种可能；
第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有A21A22=4种可能；
共6+4=10种可能．
所以P(A)=1024=512．
【解析】(1)设事件Ai：第i号球为红球，利用全概率公式求P(A2)；
(2)根据题意，先得出X的可能取值为5，6，7，8，9，10，11结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果；
(3)将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为n，n，2n，按照比例转化，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案．x/℃
−2
−1
0
1
2
y/百元
5
4
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2
1
男性
女性
喜欢
12
4
不喜欢
6
8
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
1140
970
3370
1128
X
5
6
7
8
9
10
11
P
1C115
C54C115
C64C115
C74C115
C84C115
C94C115
C104C115

2023-2024学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含解析）

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