2023-2024学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 2的平方根是4B. 0的任何次方根都是0
C. −3没有五次方根D. 1的立方根是±1
2.如图，下列说法中错误的是( )
A. ∠GBD和∠HCE是同位角
B. ∠ABD和∠ACH是同位角
C. ∠FBC和∠ACE是内错角
D. ∠GBC和∠BCE是同旁内角
3.下列说法中，正确的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短
C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条
4.已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是( )
A. 2B. 2或10C. 4D. 2或4
5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是…( )
A. 42° B. 40°
C. 36° D. 30°
6.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC/​/OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=βB. α=2βC. α+β=90°D. α+2β=180°
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7. 36−5的平方根是______．
8.计算：( 15−32 15)÷ 15= ______．
9.用科学记数法表示，并保留三个有效数字：−0.0002024≈ ______．
10.点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，那么A、B两点间的距离为______．
11.如果点P(x−4,y+1)在第一象限，那么点Q(3−x,y+2)在第______象限．
12.在△ABC中，如果∠B=30°，∠C=55°，那么按角分类，△ABC是______三角形．
13.已知：如图，a/​/b，三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=49°，∠2的度数为______．
14.已知：如图，∠ACB=∠DBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是______．
15.我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB//DE，则α、β和θ之间的数量关系是______．
16.如图是由6个边长相等的正方形组合的图形，则∠1+∠2+∠3=______．
17.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为15cm和18cm两部分，这个等腰三角形底边的长为______．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE=AF=DE，那么∠BAC=______度．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：(3−2 3)÷ 3−( 2−1)0．
20.(本小题8分)
利用分数指数幂的运算性质进行计算： 8×316÷632．
21.(本小题5分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，且AD=AE．
试说明BE=CD的理由．
解：因为AC=AB(已知)，
所以∠B=∠C(______)，
同理：______= ______，
在△ABE与△ACD中，
∠B=∠C∠AED=∠ADE( )=( )，
所以△ABE≌△ACD(______)，
所以BE=CD(______).
22.(本小题6分)
如图，在△ABE中，∠EAC=∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由．
解：结论：______．
理由：
因为AD平分∠BAC(已知)，所以______(角的平分线的意义)．
因为∠B=∠EAC，(已知)，
所以∠EAD=∠2+∠EAC.(等式性质)
而∠EDA= ______+ ______.(三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
所以∠EDA=∠EAD(等量代换)．
请完成以下说理过程：
23.(本小题5分)
如图，已知在三角形ABC中，AC=AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE．
24.(本小题12分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，以CD为边向形外作等边三角形CDE，联结AD、BE．
(1)试说明AD=BE的理由；
(2)如果∠CBE=30°，试说明BD=CD的理由．
25.(本小题6分)
如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标(−3,0)．
(1)图中B点的坐标是______；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是______；点B关于y轴对称的点D的坐标是______；
(3)△ABC的面积是______；
(4)在x轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是______.(用坐标表示)
26.(本小题11分)
阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
完成以下问题：
(1)填空：
①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，则∠B= ______；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A=40°，则∠C= ______；
(2)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由．
(3)在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=42°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：2的平方根是± 2，故A不符合题意；
0的任何次方根是0，故B符合题意；
−3有五次方根，故C不符合题意；
1的立方根是1，故D符合题意；
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：A、∠GBD和∠HCE不符合同位角的定义，故说法错误，符合题意；
B、∠ABD和∠ACH是同位角，故说法正确，不符合题意；
C、∠FBC和∠ACE是内错角，故说法正确，不符合题意；
D、∠GBC和∠BCE是同旁内角，故说法正确，不符合题意；
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
故A错误，不符合题意；
联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
故B错误，不符合题意；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
故C错误，不符合题意；
在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条，
故D正确，符合题意；
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴它的一条腰长=10−22=4，
∵2+4=6>4，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的一腰长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴它的底边长=10−2−2=6，
∵2+2=4<6，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的一条腰长是4，
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD=BD=BC，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC=12(180°−α)，
∵BC/​/OA，
∴∠OBC=180°−∠O=180°−90°=90°，
∴β+12(180°−α)=90°，
整理得，α=2β．
故选B．
7.【答案】±1
【解析】解： 36−5=6−5=1，
∵1的平方根为± 1=±1，
∴ 36−5的平方根为±1，
故答案为：±1．
8.【答案】−12
【解析】解：( 15−32 15)÷ 15
=−12 15÷ 15
=−12，
故答案为：−12．
9.【答案】−2.02×10−4
【解析】解：−0.0002024≈−2.02×10−4．
故答案为：−2.02×10−4．
10.【答案】52 3
【解析】解：∵点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，
∴AB=|− 3−32 3|=|−52 3|=52 3．
故答案为：52 3．
11.【答案】二
【解析】解：因为点P(x−4,y+1)在第一象限，
所以x−4>0y+1>0，
解得x>4，y>−1，
所以3−x<0，y+2>0，
所以点Q(3−x,y+2)在第二象限．
故答案为：二．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得(2−x)，(y+2)的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
12.【答案】钝角
【解析】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=55°，
∴∠A=180°−30°−55°=95°，
则三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
13.【答案】41°
【解析】解：∵a/​/b，
∴∠3=∠1=49°，
∴∠2=180°−90°−49°=41°．
故答案为：41°．
由a/​/b，得到∠3=∠1=49°，由平角定义得到∠2=180°−90°−49°=41°．
14.【答案】∠A=∠D
【解析】解：添加∠A=∠D；
∵∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCBO=CO，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
故答案为：∠A=∠D．
15.【答案】θ=α+β
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠DFC=α，
∵θ=∠DFC+β，
∴θ=α+β．
故答案为：θ=α+β．
16.【答案】135°
【解析】解：利用三角形全等可知，
∠1+∠3=90°，
又因为∠2=45°，
所以∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135°．
17.【答案】13cm或9cm
【解析】解：设等腰三角形的腰长是x cm，底边是y cm.根据题意，得：
x+x2=15 x2+y=18 或x+x2=18 x2+y=15 ，
解得：x=10y=13或x=12 y=9
根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形．
故答案为：13cm或9cm．
18.【答案】108
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
令∠B=∠C=x，
由折叠的性质可得∠D=∠B=x，
∵AE=ED，
∴∠EAD=∠D=x，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=90°−x2，
∵∠AEF+∠AEB=180°，∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠AEB=∠EFD=90°+x2，
∵∠AEB=∠AED，
∴∠AED=90°+x2，
∴∠FED=x，
在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D=180°，
即x+(90°+x2)+x=180°，
解得x=36°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=180°−2∠B=108°．
故答案为：108．
19.【答案】解：(3−2 3)÷ 3−( 2−1)0
=3÷ 3−2 3÷ 3−1
= 3−2−1
= 3−3．
【解析】先计算二次根式的除法，零指数幂，然后再算加减，即可解答．
20.【答案】解：原式= 23×324÷625
=232×243÷256
=232+43−56
=22
=4．
【解析】首先把每个式子化成以2为底数的幂的形式，然后利用同底数的幂的乘法、除法法则即可求解．
21.【答案】等边对等角 ∠ADE ∠AED AAS 全等三角形的对应边相等
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角)，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
在△ABE与△ACD中，
∵∠B=∠C∠AEB=∠ADCAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴BE=CD，
∴BE−DE=CD−DE，
即BD=CE．
故答案为：等边对等角；AD=AE；∠ADE，∠AED；AB=AC；全等三角形的对应边相等．
22.【答案】∠AEF=∠DEF ∠1=∠2 ∠B ∠1
【解析】解：结论：∠AEF=∠DEF．
因为AD平分∠BAC(已知)，
所以∠1=∠2(角的平分线的意义)．
因为∠B=∠EAC，(已知)，
所以∠1+∠B=∠2+∠EAC.(等式性质)
而∠EDA=∠1+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)，
∠EAD=∠2+∠EAC，
所以∠EDA=∠EAD(等量代换)．
所以EA=ED(等角对等边)．
又因为AF=DF(线段中点的意义)
所以∠AEF=∠DEF(等腰三角形的三线合一)．
故答案为：∠AEF=∠DEF，∠1=∠2，∠1+∠B．
23.【答案】证明：∵AC=AB，
∴∠B=∠ACB，
∵AB//DE，
∴∠B=∠BCE，
∴∠ACB=∠BCE，
∴BC平分∠ACE．
【解析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
24.【答案】证明：
(1)∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=EC，∠ACB=∠BCE=60°，
在△ADC和△BEC中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ADC≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
(2)由(1)可知△ADC≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60°−30°=30°，
∴∠CAD=∠BAD，即AD平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD=CD．
【解析】(1)利用等边三角形的性质证明△ADC≌△BEC即可；
(2)由(1)的结论，再结合条件可证明AD平分∠BAC，根据等边三角形的性质可证得BD=CD．
25.【答案】(−4,5) (4,−5) (4,−5) 15 (95,0)或(−395,0)
【解析】解：如图，
(1)过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为−4，因此点B的横坐标为−4，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为5，因此点B的纵坐标为5，
所以点B(−4,5)；
故答案为：(−4,5)；
(2)由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B(−4,5)关于原点对称点C(4,−5)，
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点B(−4,5)关于y轴对称点D(4,5)，
故答案为：(4,−5)，(4,5)；
(3)S△ABC=2S△ABO=2×12×3×5=15，
故答案为：15；
(4)因为S△ABC=15，
所以12AF⋅5=12，
∴AF=245，
又∵点F在x轴上，A(−3,0)
∴点F(95,0)或(−395,0)，
故答案为：(95,0)或(−395,0)．
26.【答案】15° 115°或130°
【解析】解：(1)①∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，
∴α，β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90°，∠A=60°，
∴2α+60°=90°或2×60°+β=90°，
解得：α=15°，β=−30(不合题意舍去)，
∴∠B=15°，
故答案为：15°；
②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，
∴α，β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90°，∠A=40°，
∴2α+40°=90°或2×40°+β=90°，
解得：α=25°，β=10°(不合题意舍去)，
∴∠B=25°或10°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=115°或130°，
故答案为：115°或130°；
(2)△ABD是“奇妙互余三角形”的理由如下：
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“奇妙互余三角形”；
(3)如图，当点P在线段BC上时，此时∠APB>90°，
∵△ABP是“奇妙互余三角形”，
∴2∠BAP+∠ABP=90°或∠BAP+2∠ABP=90°，
即2∠BAP+42°=90°或∠BAP+2×42°=90°，
解得：∠BAP=24°或6°，
∴∠APC=∠BAP+∠ABP=66°或48°；
当点P在线段CB的延长线上时，∠APB<90°，如图所示：
，
此时∠ABC=∠BAP+∠APC=42°，
∵△ABP是“奇妙互余三角形”，
∴2∠BAP+∠APB=90°或∠BAP+2∠APB=90°，
解得：∠BAP=48°或−6°(不合题意舍去)，
∴∠APC=∠ABC−∠BAP=−6°(不符合题意舍去)；
综上可知：∠APC的度数为66°或48°．